《2022年第一中学高考数学二轮复习专项备考讲义八“解三角形问题”命题角度及解题技巧例析3.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年第一中学高考数学二轮复习专项备考讲义八“解三角形问题”命题角度及解题技巧例析3.docx（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - “解三角形问题 ”命题角度及解题技巧例析解三角形是高中数学必修5 第一章的内容,是高考考查的热点内容之一；它包括正弦定理、 余弦定理、三角形的面积公式、投影公式等学问；在高考中这部分内容的考查仍可以和必修 4 的第一章、 第三章结合在一起；高考对解三角形的考查不仅留意基础学问、基本方法,也留意运算才能,敏捷运用基础学问的才能考查；解三角形问题在高考中主,客观题都有显现；且多以解答题为主；现把近几年高考中显现的题型总结如下：命题角度一、解三角形的基此题型【基本思路 】正余弦定理单一或结合运用,此类问题的基本思路是运用定理将边化为角或将角化为边,一
2、般难度较低；多以挑选,填空题显现；例 1、（2022 陕西卷） 设 ABC的内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c, 如b cos C c cos B a sin A , 就 ABC的外形为 A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定解析 由于 bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin 2A,所以 sinB+C=sin 2A, sinA=sin 2A, sinA=1,所以三角形 ABC是直角三角形 . 例 2（2022 天津卷） 在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 bc1
3、4a,2sin B3sin C,就 cos A 的值为 _解析 2sin B3sin C, 2b3c. 又 b ca 4, a2c,b3 2c,A450,C0 75,就 BC_cos Ab2 c 2 a 22bc9 4c2c24c 21 4. 23 2c c例 3（2022 年福建卷） 如ABC 中,AC3 解 析 由 题 意 得B1800AC600BC, 就AC、 由 正 弦 定 理 得sinBsinABCA C s i nA,s i n B所以BC332222命题角度二、与三角函数综合是高考重点考查的内容,这类问题大多属【基本思路 】三角函数与解三角形的综合性问题,于中档题；解决此类问题,
4、要依据已知条件,敏捷运用正余弦定理和三角函数化简、求值、图像性质分析；1 与两角和差、倍角公式综合名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【基本思路 】 正余弦定理与两角和差公式及倍角公式的结合,其基本解题思路是利用公式确定三角函数值,特殊要留意角的范畴对三角函数值的制约作用,再敏捷利用正余弦定理；例 4（ 2022 新课标卷）已知锐角ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a , b , c ,23cos2Acos2A0,a7,c=6,就 b（）A.10 B.9 C.8 D.5 0,解得【解析】选D.由于23cos2Aco
5、s2A0,所以23cos2A2cos2A1cos2 A1,25方法一 :由于 ABC为锐角三角形,所以cosA1,sin A256. 5由正弦定理aAcC得,2766C. sinsinsin5sinC126,cosC19.又BAC,B得, 276b6,解3535所以sinBsinACsinAcosCcosAsinC,sin B256191126506.由正弦定理aAb35535175sinsin50得b5. 5175方法二 :由余弦定理a2b2c22 bccosA,cos A1,就b23612b149,解55得b5a,b,c,且 b3,c 1,例 5（2022 安徽卷）设 ABC的内角 A,B
6、,C所对边的长分别是A2B. 1求 a 的值；2 求 sin A4的值【解析】1由于 A2B,所以 sin Asin 2B2sin Bcos B,由余弦定理得 cos Ba 2c 2b 22acsin A 2sin B,所以由正弦定理可得 a2ba 2c2ac 2b 2. 由于 b3, c1,所以 a 212,即 a2 3. 2由余弦定理得 cos Ab 2c2bc 2a 2911261 3.由于 0A ,所以 sin A1cos 2A192 3 2. 故 sin A 4 sin Acos 4cos Asin 42 3 22 1 3246 2. 例 6.（2022 北京理科） 在ABC 中,a
7、 4,b 5,c 6,就sin 2 Asin C【解析】名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - sin 2A2 sinAcosA2 ab2c2a 22642536161sinCsinCc2 bc2562、与三角函数图像性质综合【基本思路 】三角函数图像性质是三角函数的核心内容,每年高考必考；它包括正弦型、余弦型、正切型函数的定义域、至于、奇偶性、单调性、周期性、对称性、图形变换等学问,主要考查正弦型函数的图像性质,及敏捷运用这些性质的才能及运算的精确性；例 7、2022 浙江卷 在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分
8、别为a,b,c.已知 a b,c3,cos 2Acos 2B3sin Acos A3sin Bcos B. 1求角 C 的大小；2如 sin A4 5,求 ABC 的面积【解析】1 由题意得1cos 2A21cos 2B22 sin 2A32 sin 2B,即 32 sin 2A3 12cos 2A2 3sin 2B1 2cos 2B,sin 2A6sin 2B6 . 由 a b,得 A B,又 AB0, ,得 2A 6 2B 6 ,即 AB23,所以 C 3 . 2由 c3, sin A5,sin Asin C,得 a8 5. 4 a由 ac,得 AC,从而 cos A3 5,故 sin B
9、sinACsin Acos Ccos Asin C43 3. 所以,ABC 的面积为 S1 2acsin B8 25 318. 例 8、（2022 年天津理科） 在 ABC 中,内角 A B C 所对的边分别为 a b c,已知 ABC的面积为 3 15,b c 2,cos A 1 , 就 a 的值为 . 4【解析】：由于 0 A,所以 sin A 1 cos 2A 15,4又 S ABC 1bc sin A 15bc 3 15, bc 24,解方程组 b c 2得 b 6, c 4,2 8 bc 24由余弦定理得 a 2b 2c 22 b c c o s A 6 24 22 6 4 1,所以
10、 6 4 a 8 . 4 3 、与三角形面积公式的结合【基本思路 】这类问题主要分两种题型；第一种直接依据已知条件求三角形的面积,其次种是利用题中给出的已知条件挑选正确的面积公式求出未知的边或角,进而增加已知的边角个数,进一步利用正余弦定理求解三角形；名师归纳总结 例 9.（2022 新课标全国卷）ABC 的内角A B C 的对边分别为a b c ,已知b2,第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - B6,C4,就ABC 的面积为（）A. 2 32B.31C.2 32D.3 16c4,解得【解析】选B.由于B6,C4,所以A7.由正弦定理
11、得b12sinsinc2 2；所以三角形的面积为1bcsinA1222 sin7. 2212由于sin7sin343221231,122222222所以1 2bcsinA2 223131,选 B. 222例 10、2022福建卷 在 ABC 中, A60 ,AC4,BC2 _解析 由BC sin A AC sin B,得 sin B4sin 602 31,B 90 , C180 AB30 ,3,就 ABC 的面积等于名师归纳总结 就 S ABC1 2ACBCsin C1 2 4 2 3sin 30 2 3,即 ABC 的面积等于2 3. 第 4 页,共 7 页例 11、2022新课标全国卷 钝
12、角三角形ABC 的面积是1 2,AB1,BC2,就 AC A5 B.5 C2 D1 解析 依据三角形面积公式,得1 2BA BC sin B2,即1 2 12 sin B1 2,得 sin B2 2,其中 Cc.已知 BA BC解析 1由BA BC 2 得 cacos B2,又 cos B1 3,所以 ac6. 由余弦定理,得 a 2c 2b 22accos B, 又 b3,所以 a 2c 292 213. ac6,a2,a3,解a 2c 213,得c3 或c2.由于 ac,所以 a3,c2. 2在 ABC 中, sin B1cos 2B113 22 2 3 . 由正弦定理,得 sin Cc
13、bsin B232 3 24 9 2. 由于 ab c,所以 C 为锐角,名师归纳总结 因此 cos C1 sin 2C14 9227 9. 第 5 页,共 7 页所以 cosBCcos Bcos C sin Bsin C1 3 7 92 324 9223 27. 例 15、 15年陕西理科C 的内角, C 所对的边分别为a ,b, c 向量ma,3 b与ncos,sin平行（I）求；（II）如a7,b2求C 的面积解析 （I ）由于m n ,所以asinB-3 cosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-3sinBcosA=0又 sin0,从而 tanA =3,由于 0A,所以A3II解法
14、一：由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA而a =7 b=2,3得7=4+c2-2 c,即c2-2 c-3=0,由于c 0,所以c =3. 故ABC的面积为1 2bcsinA=3 3. 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 命题角度四、与不等式综合【基本思路 】不等式的性质、 均值定理、比较法是不等式的重要内容；这类问题的关键是灵活运用不等式的性质、精确懂得运用均值定理应用的条件、把握好用比较法解决问题的一般步骤；例 16、2022 新课标全国高考理科 ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB. 1求 B 2
15、如 b=2,求 ABC面积的最大值 . 【解析】 1由于 a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sinB+C=sinBcosC+sinCsinB,即 cosBsinC=sinCsinB,由于 sinC 0, 所以 tanB=1,解得 B= .42由余弦定理得 :b 2=a 2+c 2-2accos ,即 4=a 2+c 2-2 ac,由不等式得 a 2+c 22ac,当且仅当 a=c 时,4取等号 ,所以 42-2 ac,解得 ac4+2 2 ,所以 ABC的面积为1 acsin22 4 44+2 2 = 2 +1.所以 ABC面积的最
16、大值为 2 +1. 例 17、2022新课标全国卷 已知 a,b,c 分别为ABC 三个内角 A,B,C 的对边, a2,且 2b sin Asin Bcbsin C,就 ABC 面积的最大值为 _解析 依据正弦定理和 a2 可得 ababcbc,故得 b 2c 2a 2bc,依据余弦定理得 cos Ab 2 c2bc 2a 21 2,所以 A 3 .依据 b 2c 2a 2bc 及基本不等式得 bc2bca 2,即 bc4,所以ABC 面积的最大值为 12 423 3. 例 18、2022重庆卷 已知ABC 的内角 A,B,C 满意 sin 2A sinABCsinCAB1 2,面积 S满意
17、 1S2,记 a, b,c 分别为 A,B, C 所对的边,就以下不等式肯定成立的是 Abcbc8 Babab16 2 C6abc12 D12abc24 解析 由于 ABC ,所以 AC B,C AB,所以由已知等式可得 sin 2Asin 2Bsin 2AB 1,即 sin 2Asin 2Bsin 2 AB1,2 2所以 sinABA Bsin ABABsin 2 A B1 2,所以 2 sinABcosAB2sinABcosA B1 2,所以 2sinABcos A BcosAB1 2,所以 sin Asin Bsin C 1 8. 由 1S2,得 11 2bcsin A2.由正弦定理得a
18、2Rsin A,b 2Rsin B,c2Rsin C,所以 12R2 2 sin Asin Bsin C2,所以 1R 42,即 2R 22,所以 bcbcabc8R 3sin Asin Bsin CR 38. 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 19、2022陕西卷 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 1如 a,b,c 成等差数列,证明：sin Asin C2sinAC；2如 a,b,c 成等比数列,求cos B 的最小值sin Asin C2sin B. 解析 1a, b,c 成等差数列,ac 2b. 由正弦定理得sin Bsin ACsinAC, sin Asin C2sinAC名师归纳总结 2a,b, c 成等比数列,b2ac. 由余弦定理得第 7 页,共 7 页cos Ba2c2b2a2 c 2 ac2ac ac 2ac1 2,2ac2ac当且仅当 ac 时等号成立, cos B 的最小值为1 2. - - - - - - -