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1、“ 解三角形问题 ” 命题角度及解题技巧例析解三角形是高中数学必修5 第一章的内容，是高考考查的热点内容之一。它包括正弦定理、 余弦定理、三角形的面积公式、投影公式等知识。在高考中这部分内容的考查还可以和必修 4 的第一章、 第三章结合在一起。高考对解三角形的考查不仅注重基础知识、基本方法，也注重运算能力，灵活运用基础知识的能力考查。解三角形问题在高考中主，客观题都有出现。且多以解答题为主。现把近几年高考中出现的题型总结如下：命题角度一、解三角形的基本题型【基本思路 】正余弦定理单一或结合运用，此类问题的基本思路是运用定理将边化为角或将角化为边，一般难度较低。多以选择，填空题出现。例 1、 （
2、2013陕西卷） 设 ABC的内角 A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若coscossinbCcBaA, 则 ABC的形状为( ) A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不确定解析 因为 bcosC+ccosB=asinA ,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以 sin(B+C)=sin2A, sinA=sin2A, sinA=1,所以三角形ABC是直角三角形. 例 2 （2014 天津卷） 在 ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c.已知 bc14a，2sin B3sin C，则 cos A 的值为 _解析 2sin
3、B3sin C， 2b3c. 又 b ca4， a2c，b32c，cos Ab2 c2 a22bc94c2c24c2232cc14. 例 3（2015 年福建卷） 若ABC中，3AC，045A，075C，则BC_ 解 析 由 题 意 得0018060BAC、由 正 弦 定 理 得sinsinACBCBA， 则s i ns i nA CABCB，所以232232BC命题角度二、与三角函数综合【基本思路 】三角函数与解三角形的综合性问题，是高考重点考查的内容，这类问题大多属于中档题。解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正余弦定理和三角函数化简、求值、图像性质分析。1 与两角和差、倍角公式综合精选
4、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页【基本思路 】 正余弦定理与两角和差公式及倍角公式的结合，其基本解题思路是利用公式确定三角函数值，特别要注意角的范围对三角函数值的制约作用，再灵活利用正余弦定理。例 4（ 2013新课标卷）已知锐角 ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，02coscos232AA，7a，c=6，则b（）A.10 B.9 C.8 D.5 【解析】选D.因为02coscos232AA，所以01cos2cos2322AA，解得251cos2A，方法一 :因为 ABC为锐角三角形，所以51cosA,
5、562sin A. 由正弦定理CcAasinsin得，Csin65627. 35612sinC，3519cosC.又)(CAB，所以CACACABsincoscossin)sin(sin，17565035612513519562sin B.由正弦定理BbAasinsin得, 1756505627b， 解得5b. 方法二 :由余弦定理Abccbacos2222，51cos A，则495112362bb，解得5b例 5（2014安徽卷）设 ABC的内角 A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且 b3，c 1，A2B. (1)求 a 的值；(2)求 sin A4的值【解析】(1)因为 A2B，所以
6、sin Asin 2B2sin Bcos B，由余弦定理得cos Ba2c2b22acsin A2sin B，所以由正弦定理可得a2ba2c2b22ac. 因为 b3， c1，所以 a212，即 a2 3. (2)由余弦定理得cos Ab2c2a22bc9112613.因为 0A，所以 sin A1cos2A1192 23. 故 sinA4 sin Acos4cos Asin42 2322 1322426. 例 6.（2015 北京理科） 在ABC中，4a，5b，6c，则sin2sinAC【解析】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2
7、页，共 7 页222sin 22 sincos2sinsin2AAAabcaCCcbc24253616162562、与三角函数图像性质综合【基本思路 】三角函数图像性质是三角函数的核心内容，每年高考必考。它包括正弦型、余弦型、正切型函数的定义域、至于、奇偶性、单调性、周期性、对称性、图形变换等知识，主要考查正弦型函数的图像性质，及灵活运用这些性质的能力及运算的准确性。例 7、2014 浙江卷 在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知 a b，c3，cos2Acos2B3sin Acos A3sin Bcos B. (1)求角 C 的大小；(2)若 sin A45，求 A
8、BC 的面积【解析】(1)由题意得1cos 2A21cos 2B232sin 2A32sin 2B， 即32sin 2A12cos 2A32sin 2B12cos 2B，sin 2A6sin2B6. 由 ab，得 AB，又 AB(0，)，得 2A6 2B6 ，即 AB23，所以 C3. (2)由 c3， sin A45，asin Acsin C，得 a85. 由 ac， 得 AC， 从而 cos A35， 故 sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C43 310. 所以， ABC 的面积为S12acsin B8 31825. 例 8、 （2015 年天津理科） 在ABC
9、中，内角,A B C所对的边分别为, ,a b c， 已知ABC的面积为3 15，12,cos,4bcA则a的值为. 【解析】：因为0A，所以215sin1cos4AA，又115sin3 15,2428ABCSbcAbcbc，解方程组224bcbc得6,4bc，由余弦定理得2222212c o s642646 44abcb cA，所以8a. 3 、与三角形面积公式的结合【基本思路 】这类问题主要分两种题型。第一种直接根据已知条件求三角形的面积，第二种是利用题中给出的已知条件选择正确的面积公式求出未知的边或角，进而增加已知的边角个数，进一步利用正余弦定理求解三角形。例 9.（2013新课标全国卷
10、）ABC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c，已知2b，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页6B，4C，则ABC的面积为（）A.2 32B.31C.2 32D.3 1【解析】选B.因为,64BC,所以712A.由正弦定理得sinsin64bc，解得2 2c。所以三角形的面积为117sin222 sin2212bcA. 因为73221231sinsin()()12342222222，所以1231sin2 2()312222bcA，选 B. 例 10、 2014 福建卷 在 ABC 中， A60，AC4，BC23
11、，则 ABC 的面积等于_解析 由BCsin AACsin B，得 sin B4sin 60231，B 90， C180 (AB)30，则 SABC12 ACBCsin C124 2 3sin 30 2 3，即 ABC 的面积等于2 3. 例 11、 2014 新课标全国卷 钝角三角形ABC 的面积是12， AB1， BC2， 则 AC () A5 B.5 C2 D1 解析 根据三角形面积公式，得12BABCsin B12，即1212sin B12，得 sin B22，其中 Cc.已知 BA BC2，cos B13， b3.求：(1)a 和 c 的值；(2)cos(BC)的值解析 (1)由BA
12、BC2 得 c a cos B2，又 cos B13，所以 ac6. 由余弦定理，得a2c2b22accos B， 又 b3，所以 a2c292213. 解ac6，a2c213，得a2，c3或a3，c2.因为 ac，所以 a3，c2. (2)在 ABC 中， sin B1cos2B11322 23. 由正弦定理，得sin Ccbsin B232 234 29. 因为 ab c，所以 C 为锐角，因此 cos C1 sin2C14 29279. 所以 cos(BC)cos Bcos C sin Bsin C13792 234 292327. 例 15、 (15年陕西理科)C的内角，C所对的边分别
13、为a，b，c向量,3mab与cos,sinn平行（I）求；（II）若7a，2b求C的面积解析 （I ）因为/m n，所以sin3 cos0aBbA-=，由正弦定理，得sinAsinB3sinBcosA0-=又sin0，从而tan3A =，由于0A，所以3A(II)解法一：由余弦定理，得2222cosabcbcA=+-而7 b2,a =3得2742cc=+-，即2230cc-=，因为0c ，所以3c =. 故ABC的面积为13 3bcsinA22=. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页命题角度四、与不等式综合【基本思路
14、 】不等式的性质、 均值定理、比较法是不等式的重要内容。这类问题的关键是灵活运用不等式的性质、准确理解运用均值定理应用的条件、把握好用比较法解决问题的一般步骤。例 16、(2013新课标全国高考理科)ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB . (1)求 B (2)若 b=2,求 ABC面积的最大值 . 【解析】 (1)因为 a=bcosC+csinB, 所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB, 所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB, 即 cosBsinC=sinCsinB ,因为 sinC0, 所以 tanB=
15、1,解得 B=.4(2)由余弦定理得 :b2=a2+c2-2accos4,即 4=a2+c2-2ac,由不等式得a2+c22ac,当且仅当 a=c时,取等号 ,所以 4(2-2)ac,解得 ac4+22,所以 ABC的面积为12acsin424(4+22)=2+1.所以 ABC面积的最大值为2+1. 例 17、2014 新课标全国卷 已知 a，b，c 分别为 ABC 三个内角A，B，C 的对边， a2，且 (2b) (sin Asin B)(cb)sin C，则 ABC 面积的最大值为_解析 根据正弦定理和a2 可得 (ab)(ab)(cb)c，故得 b2c2a2bc，根据余弦定理得 cos
16、Ab2 c2a22bc12，所以 A3.根据 b2c2a2bc 及基本不等式得bc2bca2，即 bc4，所以 ABC 面积的最大值为124323. 例 18、2014 重庆卷 已知 ABC 的内角 A，B，C 满足 sin 2Asin(ABC)sin(CAB)12，面积 S满足 1S2，记 a， b，c 分别为 A，B，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是 () Abc(bc)8 Bab(ab)162 C6abc12 D12abc24 解析 因为 ABC， 所以 AC B， C(AB)， 所以由已知等式可得sin 2Asin(2B)sin2(AB)12，即 sin 2Asin 2Bsin
17、2(AB)12，所以 sin(AB)(A B)sin(AB)(AB)sin 2(A B)12，所以 2 sin(AB)cos(AB)2sin(AB)cos(A B)12，所以 2sin(AB)cos(A B)cos(AB)12，所以 sin Asin Bsin C18. 由 1S2，得 112bcsin A2.由正弦定理得a2Rsin A，b 2Rsin B，c2Rsin C，所以 12R2sin Asin Bsin C2，所以 1R242，即 2R 22，所以 bc(bc)abc8R3sin Asin Bsin CR38. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
18、- - - - - -第 6 页，共 7 页例 19、2014 陕西卷 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c. (1)若 a，b，c 成等差数列，证明：sin Asin C2sin(AC)；(2)若 a，b，c 成等比数列，求cos B 的最小值解析 (1)a， b，c 成等差数列，ac 2b. 由正弦定理得sin Asin C2sin B. sin Bsin(AC)sin(AC)， sin Asin C2sin(AC)(2)a，b， c成等比数列，b2ac. 由余弦定理得cos Ba2c2b22aca2 c2 ac2ac2ac ac2ac12，当且仅当 ac 时等号成立，cos B 的最小值为12. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页