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1、逻辑推理 -排列与组合问题2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - 菁优网?2010-2013 菁优网逻辑推理 -排列与组合问题2一填空题（共10 小题）1一楼梯共有n 级台阶，规定每步可以迈1 级台阶或 2 级台阶或 3 级台阶，设从地面到第n 级台阶所有不同的走法为 M 种（1）当 n=2 时，M=_种；（2）当 n=7 时，M=_种2小虎训练上楼梯赛跑，他每步可上1 阶或 2 阶或 3 阶，这样上到第16 阶但
2、不踏到第7 阶和第 15 阶，那么不同上法共有_种3平面上n 条直线，它们恰有2002 个交点， n 的最小值是_4从 6 名男生中选出4 人，从 4 名女生中选出2 人站成一排，并要求两名女生必须相邻，则共有_种安排方案5欧锦赛共有16 支球队参赛，先平均分成四个小组，每个小组进行单循环比赛（即每个队都与其他三个队各赛一场） ，选出 2 个优胜队进入8 强；这 8 支球队再分成甲、乙两组进行单循环赛，每组再选出2 个优胜队进入4 强；这 4 支球队，甲组的第一名对乙组的第二名，甲组的第二名再对乙组的第一名，两个胜队进入决赛争夺亚军，两个输队再夺三、四名，则欧锦赛共赛_场6把 7 本不同的书分
3、给甲、乙两人，甲至少要分到2 本，乙至少要分到1 本，两人的本数不能只相差1，则不同的分法共有_种718 八个数排成一排，要求相邻两个数字互质，可以有_种排法8一个楼梯共有10 级台阶规定每步可以上一级或二级台阶，最多可以上三级台阶从地面到最高一级，一共有_种不同的上法9将正整数1，2，10 分成 A、B 两组，其中A 组： a1，a2， ，am；B 组： b1， b2， ， bn现从 A、B 两组中各取出一个数，把取出的两个数相乘则所有不同的两个数乘积的和的最大值为_10如图，有 20 枚铁钉钉成十字图案，任选 4 枚铁钉用橡皮圈绷紧，使成为正方形 这样一共可以绷成_个不同的正方形二解答题（
4、共20 小题）11如图，是一个计算装置的示意图，A、 B 是数据入口， C 是计算结果的出口，计算过程是用A、B 分别输入自然数 m 和 n，经过计算后得自然数k 由 C 输出，若此种计算装置表达的运算满足以下三个性质：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - 菁优网?2010-2013 菁优网（1）A 与 B 分别输入1，则输出结果1；（2）若 A 输入任何固定自然数不变，B 输入自然数增加1，则输出结果比原来增加2；
5、（3）若 B 输入 1，A 输入自然数增加1，则输出结果为原来的2 倍试问：（1）若 A 输入 1，B 输入自然数n，输出结果为多少？（2）若 A 输入自然数m，B 输入自然数n，输出结果为多少？（3）若输出结果为100，则不同的输入方式有多少种？12在平面内有n 条两两不平行的直线，并过其中任意两条直线的交点还有一条已知直线求证：这n 条直线都通过同一个点13平面上给定了2n 个点，其中任意三点不共线，并且n 个点染成了红色，n 个点染成了蓝色，证明：总可以找到两两没有公共点的n 条直线段，使得其中每条线段的两个端点具有不同的颜色148 分和 15 分的邮票可以无限制地取用，某些邮资额数，例
6、如7 分、 29 分，不能够刚好凑成，求不能凑成的最大额数 n，即大于n 的额数都能够凑成（证明你的答案）15从 1，2， ， 16 中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中，任意三个数都不是两两互质16平面上给定四个点，两两连接这四点的诸直线不平行，不垂直，也不重合过每一点作其余三点两两连接的直线的垂线，若不算已知的四点，这些垂线间有多少个不同交点？证明你的结论17某市有 n 所中学，第i 所中学派出Ci名学生（ 1 Ci 39，1 i n）来到体育馆观看球赛，全部学生总数之和C1+C2+Cn=1990，看台上每一横排有199 个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多
7、少横排才能保证全部学生都能坐下？18一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b如果 a 恰是 b 的 3 倍，我们称a 是一个 “ 希望数 ” （1）请你举例说明：“ 希望数 ” 一定存在（2）请你证明：如果a，b 都是 “ 希望数 ” ，则 ab一定是 729 的倍数19从数 1，2，3， ，1995 中任意取出n 个不同的数（ 1 n 1995）形成一组叫做一个n 元数组，如（ 1，2，3，4）就是一个四元数组， （4，8，12，20，32）就是一个五元数组现要给出一个自然数k，使得每一个k 元数组中总能找到三个不同的数，此三数能构成一个三角形的三边长，则给出的k 至少是多少时才
8、能满足要求？证明你的结论205 个人站成一排照相（1）若甲、乙两人必须相邻，则有多少不同的站队方法？（2）若甲、乙两人必不相邻，则有多少不同的站队方法？21在一次有n 个足球队参加的循环赛中（即每一队必须同其余各个队进行一场比赛），每场比赛胜队积2 分，平局各积 1 分，败队积 0 分，结果有一队积分比其他各队都多，而胜的场次比其他任何一队都少，求 n 最小的可能值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - 菁优网?201
9、0-2013 菁优网22假定 n 个人各恰好知道一个消息，而所有n 个消息都不相同，每次“ A” 打电话给 “ B” ，“ A” 都把所知道的一切告诉“ B” ，而“ B” 不告诉 “ A” 什么消息为了使各人都知道一切消息求所有需要两人之间通话的最少次数证明你的答案是正确的23有一批规格相同的圆棒，每根划分成长度相同的五节，每节用红、黄、蓝三种颜色来涂，问：可以得到多少种着色不同的圆棒？24 （a）请你在平面上画出6 条直线（没有三条共点） ，使得它们中的每条直线都恰与另三条直线相交，并简单说明画法（b）能否在平面上画出7 条直线（任意三条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另三条直线相交
10、？如果能请画出一例，如果不能请简述理由25设计一套邮票，设计要求如下：该套邮票由四种不同面值的邮票组成，面值数为正整数，并且对于连续整数1，2，R 中的任一面值数，都能够通过适当选取面值互相不同且不超过三枚的邮票实现试求出 R 的最大值， 并给出一种相应的设计26试将 7 个数字： 3、4、5、6、7、8、9 分成两组，分别排成一个三位数和一个四位数，并且使这两个数的乘积最大，试问应该如何排列？证明你的结论？27在 m（m 2）个不同数的排列P1P2P3Pm中，若 1 i j m 时， PiPj（即前面某数大于后面某数），则称 Pi与Pj构成一个逆序一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数记
11、排列（n+1）n（n1） 321 的逆序数为an，如排列 21 的逆序数 a1=1，排列 4321 的逆序数a3=6（1）求 a4、a5，并写出 an的表达式（用n 表示，不要求证明） ；（2）令 bn=+2，求 b1+b2+ bn并证明 b1+b2+ bn3，n=1，2，28设 m，n 是给定的整数，4mn，A1A2 A2n+1是一个正2n+1 边形， P=A1，A2，A2n+1求顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m 边形的个数29凸 n 边形 P 中的每条边和每条对角线都被染为n 种颜色中的一种颜色问：对怎样的n，存在一种染色方式，使得对于这n 种颜色中的任何3 种不同颜色，都能找到一个三
12、角形，其顶点为多边形P 的顶点，且它的3 条边分别被染为这3 种颜色？30世界杯足球赛每个小组共有四个队参加比赛，采用单循环赛制（即每两个队之间要进行一场比赛），每场比赛获胜的一方得3 分，负的一方得0 分，如果两队战平，那么双方各得1 分，小组赛结束后，积分多的前两名从小组出线如果积分相同，两队可以通过比净胜球或其他如抽签等方式决定谁是第二名，确保有两支队伍出线（1）某队小组比赛后共得6 分，是否一定从小组出线？（2）某队小组比赛后共得3 分，能从小组出线吗？（3）某队小组比赛后共得2 分，能从小组出线吗？（4）某队小组比赛后共得1 分，有没有出线的可能？名师资料总结 - - -精品资料欢迎
13、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - 菁优网?2010-2013 菁优网逻辑推理 -排列与组合问题2参考答案与试题解析一填空题（共10 小题）1一楼梯共有n 级台阶，规定每步可以迈1 级台阶或 2 级台阶或 3 级台阶，设从地面到第n 级台阶所有不同的走法为 M 种（1）当 n=2 时，M=2种；（2）当 n=7 时，M=44种考点 ： 排列与组合问题80 8 51 8分析：（ 1）先用 n 表示台阶的级数，a n 表示某人走到第n 级台阶时，所有可能
14、不同的走法，得出当n=1 时，显然只要 1 种跨法，当n=2 时，即可求出M 的值；（2）由（ 1）可得出当n=3、4时的不同走法，找出规律，求出当n=7 时 M 的值即可解答：解：如果用n 表示台阶的级数，a n表示某人走到第n 级台阶时，所有可能不同的走法，容易得到：（1）根据题意得：当n=1 时，显然只要1 种跨法，即a1=1当 n=2 时，可以一步一级跨，也可以一步跨二级上楼，因此，共有2 种不同的跨法，即M=2 （2）由（ 1）可得：当 n=3 时，可以一步一级跨，也可以一步三级跨，还可以第一步跨一级，第二步跨二级或第一步跨二级，第二步跨一级上楼，因此，共有4 种不同的跨法，即a3=
15、4 当 n=4 时，分三种情况分别讨论：如果第一步跨一级台阶，那么还剩下三级台阶，由可知有 a3=4（种）跨法如果第一步跨二级台阶，那么还剩下二级台阶，由可知有 a2=2（种）跨法如果第一步跨三级台阶，那么还剩下一级台阶，由可知有 a1=1（种）跨法根据加法原理，有a4=a1+a2+a3=1+2+4=7 类推，有 a5=a2+a3+a4=2+4+7=13 ；a6=a3+a4+a5=4+7+13=24 ；a7=a4+a5+a6=7+13+24=44 ，即 M=44 ；故答案为： 2，44点评：本题考查的是排列组合问题，根据排列组合原理分别求出当n=1、 2、3、4 时的不同走法，找出规律是解答此
16、题的关键2小虎训练上楼梯赛跑，他每步可上1 阶或 2 阶或 3 阶，这样上到第16 阶但不踏到第7 阶和第 15 阶，那么不同上法共有1849种考点 ： 排列与组合问题80 8 51 8专题 ： 探究型分析：如果用 n 表示台阶的级数，an 表示某人走到第n 级台阶时，所有可能不同的走法，求出当n=1，2，3，4时不同的走法，找出规律即可求解解答：解：如果用n 表示台阶的级数，an 表示某人走到第n 级台阶时，所有可能不同的走法，容易得到： 当 n=1 时，显然只要1 种跨法，即a 1=1 当 n=2 时，可以一步一级跨，也可以一步跨二级上楼，因此，共有2 种不同的跨法，即a2=2名师资料总结
17、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - 菁优网?2010-2013 菁优网 当 n=3 时，可以一步一级跨，也可以一步三级跨，还可以第一步跨一级，第二步跨二级或第一步跨二级，第二步跨一级上楼，因此，共有4 种不同的跨法，即a3=4 当 n=4 时，分三种情况分别讨论：如果第一步跨一级台阶，那么还剩下三级台阶，由可知有 a3=4（种）跨法如果第一步跨二级台阶，那么还剩下二级台阶，由可知有 a2=2（种）跨法如果第一步跨三级台阶，那么
18、还剩下一级台阶，由可知有 a1=1（种）跨法根据加法原理，有a4=a1+a2+a3=1+2+4=7 类推，有 a5=a2+a3+a4=2+4+7=13 ；a6=a3+a4+a5=4+7+13=24 ；a7=0；a8=a5+a6=13+24=37 ；a9=a6+a8=24+34=61 ；a10=a8+a9=37+61=98；a11=a8+a9+a10=37+61+98=196 ；a12=a9+a10+a11=61+98+196=355 ；a13=a10+a11+a12=98+196+355=649 ；a14=a11+a12+a13=196+355+649=1200 ；a15=0，a16=a13+
19、a14=649+1200=1849 故答案为： 1849点评：本题考查的是排列与组合问题，分别根据排列与组合原理求出当n=1，2，3，4时不同的走法，找出规律，是解答此题的关键3平面上n 条直线，它们恰有2002 个交点， n 的最小值是64考点 ： 排列与组合问题80 8 51 8专题 ： 常规题型分析：平面上 n 条直线， 如果任何两条直线都相交，任何三条直线不共点，则可求出交点数为S，然后根据交点数不小于 2002，求出 n 的范围解答：解：平面上n 条直线，如果任何两条直线都相交，任何三条直线不共点，则有交点数为S=，这是因为可以任选一条直线，有n 中选法，再选另一条直线，有n1 种选
20、法，搭配得n（n1）种选法，这两条直线有一个交点，所有的交点都可以这样得到，但两条直线没有先后之分，同一个交点有两种方法可以得到，所以交点数为S=，考虑不等式 2002，n 是正整数，估值：=63，63 62=3906，64 63=4032，可得 n 64，故答案为： 64点评：本题主要考查排列与组合问题的知识点，解答本题的突破口是找到n 条直线交点的个数，本题难度一般4从 6 名男生中选出4 人，从 4 名女生中选出2 人站成一排，并要求两名女生必须相邻，则共有21600种安排方案考点 ： 排列与组合问题80 8 51 8分析：首先算出 6 名男生中选出4 人，共有 C64种方法， 从 4
21、名女生中选出2 人共有 C42种方法，抽出的6 人，把两名相邻的女生，看作一个整体，调整2 人的顺序，按这三步完成，利用排列组合公式计算解答即可名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - 菁优网?2010-2013 菁优网解答：解：第一步， 6 名男生中选出4 人，共有 C64=15 种方法，第二步， 4 名女生中选出2 人，共有 C42=6 种方法，第三步，选出的6 人，设两名女生为甲、乙，把“ 甲乙” 看做一个整体，相
22、当于5 人，安排方案有5!=5 4 3 2 1=120 种，再把 “ 乙甲 ” 看做一个整体，相当于5 人，安排方案有5!=5 4 3 2 1=120 种，因此共有 15 6 120 2=21600 种安排方案故答案为 21600点评：此题考查排列组合公式，解答时要注意分几步完成，每一步所运用的是排列计算方法还是组合计算方法，由此进一步完成题目的解答5欧锦赛共有16 支球队参赛，先平均分成四个小组，每个小组进行单循环比赛（即每个队都与其他三个队各赛一场） ，选出 2 个优胜队进入8 强；这 8 支球队再分成甲、乙两组进行单循环赛，每组再选出2 个优胜队进入4 强；这 4 支球队，甲组的第一名对
23、乙组的第二名，甲组的第二名再对乙组的第一名，两个胜队进入决赛争夺亚军，两个输队再夺三、四名，则欧锦赛共赛40场考点 ： 排列与组合问题；一元一次方程的应用80 8 51 8专题 ： 数字问题分析：每个小组进行单循环比赛（即每个队都与其他三个队各赛一场），共需进行 6 场比赛， 一共有 4+2=6 个小组，算出比赛场次，再加上最后四强进行的4 场比赛即可解答解答：解：每个小组进行单循环比赛（即每个队都与其他三个队各赛一场），则要进行3+2+1=6 场比赛， 6 6=36，4 支球队，甲组的第一名对乙组的第二名，甲组的第二名再对乙组的第一名，两个胜队进入决赛争夺亚军，两个输队再夺三、四名，需要进行
24、4 场比赛， 36+4=40 故答案为： 40点评：本题主要考查排列与组合问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出每一小组的比赛场次，再列式解答6把 7 本不同的书分给甲、乙两人，甲至少要分到2 本，乙至少要分到1 本，两人的本数不能只相差1，则不同的分法共有49种考点 ： 排列与组合问题80 8 51 8专题 ： 计算题分析：可以分为三类分法： 甲 2 本、乙 5 本； 甲 5 本、乙 2 本；甲 6 本、乙 1 本；然后求三类分法的总和即为所求解答：解：合要求的分法有： 甲 2 本、乙 5 本，共有=21（种）； 甲 5 本、乙 2 本，共有=21（种）； 甲 6 本、乙
25、 1 本，共有1 7=7（种） ；所以，一共有21+21+7=49 （种）；故答案为： 49点评：本题考查了排列组合的问题解答此题的关键的地方是分清排列与组合的区别排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关如231 与 213 是两个排列， 2+3+1 的和与 2+1+3 的和是一个组合718 八个数排成一排，要求相邻两个数字互质，可以有1728种排法考点 ： 排列与组合问题80 8 51 8名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 21 页 - - - - - - -
26、- - 菁优网?2010-2013 菁优网专题 ： 计算题分析：不能相邻的数有两组：2、 4、6、8 和 3、6先选出1、3、5、7 做排列，为P（4，4） ，然后把2、4、6、8分别插入到1、3、5、 7 的间隔或两边，每处最多1 张，排列数为P（5，4） ，所以总的排列数为P（ 4，4） P（5，4） 这里面还包括了3、6 相邻的情形，需要排除解答：解：有 P（4，4） P（5， 4）P（4，4） 2 P（4，3） =1728 种排法可以这样理解，不能相邻的数有两组：2、4、6、8 和 3、6先考虑 2、4、6、8先选出 1、3、5、7 做排列，为P（4，4） ，然后把2、4、6、8 分别
27、插入到1、3、5、 7 的间隔或两边，每处最多 1 张，排列数为P（5， 4） ，所以总的排列数为P（4，4） P（5，4） 这里面还包括了3、6 相邻的情形，需要排除下面考虑 3、6 相邻的排列数在把1、3、5、7 做排列后，选出6 放在与 3 相邻的位置上，有2 种可能，再把 2、4、8 分别插入到剩余的个4 间隔或两边，为P（4，3）种，总的排列为P（4，4） 2 P（4，3）种所以，可能的排法有P（4， 4） P（5，4） P（4，4） 2 P（4，3） =1728 种点评：本题主要考查了排列的方法，理解：不考虑条件的情况下，所有情况减去不满足条件的情况即为所求，这种解题思路是需要掌握
28、的8一个楼梯共有10 级台阶规定每步可以上一级或二级台阶，最多可以上三级台阶从地面到最高一级，一共有274种不同的上法考点 ： 排列与组合问题80 8 51 8专题 ： 探究型分析：分别求出当n=1、2、3、4 时的不同走法，找出规律，求出当n=10 时 a10的值即可解答：解：如果用n 表示台阶的级数，a n表示某人走到第n 级台阶时，所有可能不同的走法，容易得到： 当 n=1 时，显然只要1 种跨法，即a 1=1 当 n=2 时，可以一步一级跨，也可以一步跨二级上楼，因此，共有2 种不同的跨法，即a2=2 当 n=3 时，可以一步一级跨，也可以一步三级跨，还可以第一步跨一级，第二步跨二级或
29、第一步跨二级，第二步跨一级上楼，因此，共有4 种不同的跨法，即a3=4 当 n=4 时，分三种情况分别讨论：如果第一步跨一级台阶，那么还剩下三级台阶，由可知有 a3=4（种）跨法如果第一步跨二级台阶，那么还剩下二级台阶，由可知有 a2=2（种）跨法如果第一步跨三级台阶，那么还剩下一级台阶，由可知有 a1=1（种）跨法根据加法原理，有a4=a1+a2+a3=1+2+4=7 类推，有 a5=a2+a3+a4=2+4+7=13 ；a6=a3+a4+a5=4+7+13=24 ；a7=a4+a5+a6=7+13+24=44 ；a8=a5+a6+a7=13+24+44=81 ；a9=a6+a7+a8=24
30、+44+81=149 ；a10=a7+a8+a9=44+81+149=274 故答案为： 274点评：本题考查的是排列组合问题，根据排列组合原理分别求出当n=1、 2、3、4 时的不同走法，找出规律是解答此题的关键9将正整数1，2，10 分成 A、B 两组，其中A 组： a1，a2， ，am；B 组： b1， b2， ， bn现从 A、B 两组中各取出一个数，把取出的两个数相乘则所有不同的两个数乘积的和的最大值为756考点 ： 排列与组合问题80 8 51 8专题 ： 计算题分析：首先根据题意可得：所有不同的两个数乘积的和为：S=（a1+a2+am） （b1+b2+ bn） ，再记 x=a1+
31、a2+am，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - 菁优网?2010-2013 菁优网y=b1+b2+bn，即可求得x+y 的值，由S=xy=（x+y ）2（ xy）2即可求得所有不同的两个数乘积的和的最大值，还注意分析等号取得的条件解答：解：由条件知，所有不同的两个数乘积的和为：S=（a1+a2+am） （b1+b2+bn） ，记 x=a1+a2+am， y=b1+b2+ bn，则 x+y=1+2+ +10=55，
32、x+y 的最大值 =55，最小值 =1，S=xy=（x+y ）2（ xy）2 （55212）=756当且仅当 |xy|=1 时，上式等号成立令 ai=i（i=1，2，7） ，b1=8， b2=9，b3=10，则 x=28，y=27， 等号能取到故所有不同的两个数乘积的和的最大值为756故答案为： 756点评：此题考查了不等式的性质注意在利用不等式性质解题时要分析等号取得的条件，看看是否能取得等号10如图，有20 枚铁钉钉成十字图案，任选4 枚铁钉用橡皮圈绷紧，使成为正方形这样一共可以绷成21个不同的正方形考点 ： 排列与组合问题80 8 51 8专题 ： 数形结合分析：题中的正方形共有4 类，
33、即边长为1，边长为，边长为，边长为2，分别找出其对应的正方形的个数再求和即可解答：解：由图可知，边长为1 的小正方形共有9 个；边长为的正方形共有4 个；边长为的正方形共有4 个，如正方形ABCD 等；边长为 2的正方形的个数为4 个所以题中的正方形的个数为9+4+4+4=21 个故答案为 21点评：本题主要考查了正方形四条边相等的性质问题，应熟练掌握正方形的性质，并能求解一些简单的问题二解答题（共20 小题）11如图，是一个计算装置的示意图，A、 B 是数据入口， C 是计算结果的出口，计算过程是用A、B 分别输入自然数 m 和 n，经过计算后得自然数k 由 C 输出，若此种计算装置表达的运
34、算满足以下三个性质：（1）A 与 B 分别输入1，则输出结果1；（2）若 A 输入任何固定自然数不变，B 输入自然数增加1，则输出结果比原来增加2；（3）若 B 输入 1，A 输入自然数增加1，则输出结果为原来的2 倍试问：（1）若 A 输入 1，B 输入自然数n，输出结果为多少？（2）若 A 输入自然数m，B 输入自然数n，输出结果为多少？（3）若输出结果为100，则不同的输入方式有多少种？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 21 页 - - - - - -
35、 - - - 菁优网?2010-2013 菁优网考点 ： 排列与组合问题80 8 51 8专题 ： 计算题分析：（ 1）若 A 输入 1，B 输入自然数n，比 1 增加 n1，则输出结果比原来增加2（n 1） ，据此即可求解；（2）首先确定A 输入 1，B 输入 n 所得数值，进而根据若A 输入任何固定自然数不变，B输入自然数增加1，则输出结果比原来增加2，即可确定结果；（3）根据（ 2）的结果，即求解m，n 的整数值解答：解：由题意设输出数，设C（m，n）为 k，则 C（ 1，1）=1，C（m，n）=C（ m，n1）+2，C（m，1）=2（m1，1） （1）C（1，n）=C（1，n 1）+2
36、=C（1，n2）=C（1， n2）+2 2=C（1，1）+2（n1） =1+2（n1）=2n1（2）C（m，1）=2（ C（m1，1）=25?C（m2，1）=2 m1 C（1，1）=2 m1（ 3）C（m，n）=C（m，n1）+2=C（m，n2）+2 2= =C（m1）+2（n1）=22C（m2，1）+2（ n1）= =2 mk C（1， 1）+2n2=2m1+2n2=2m+2n3点评：本题主要考查了数据的变化规律，正确理解性质：设C（m，n）为 k，则 C（1，1）=1，C（m，n）=C（m，n1）+2，C（m，1）=2（m1，1）是解题的关键12在平面内有n 条两两不平行的直线，并过其中任
37、意两条直线的交点还有一条已知直线求证：这n 条直线都通过同一个点考点 ： 排列与组合问题80 8 51 8专题 ： 证明题分析：考虑运用反证法证明，通过假设这n 条直线不通过同一个点，则可知必有两个或两个以上的交点，然后得到的结论与已知相矛盾即可解答：证明：假设这n 条直线不通过同一个点则必有两个或两个以上的交点x4与 x1的交点没有第三条已知直线这和已知相矛盾故这 n 条直线都通过同一个点点评：本题主要考查排列与组合的知识点，解答本题的突破口运用反证法进行证明，得到与已知相矛盾即可，此题难度不是很大13平面上给定了2n 个点，其中任意三点不共线，并且n 个点染成了红色，n 个点染成了蓝色，证
38、明：总可以找到两两没有公共点的n 条直线段，使得其中每条线段的两个端点具有不同的颜色名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - - 菁优网?2010-2013 菁优网考点 ： 排列与组合问题80 8 51 8专题 ： 常规题型分析：首先知道这2n 个点可以组成n（2n1）条直线段，分析这些线段中一端为红色，一端为蓝色的直线段有多少条，再分析这些线段中两两没有公共点且两个端点具有不同的颜色的条数解答：证明：因为平面上给定了2n
39、 个点，其中任意三点不共线，所以这 2n 个点连接任意两点可以构成的直线段的条数为C2n2=n（2n1）条，又因为这 2n 个点有 n 个点染成了红色，n 个点染成了蓝色，故可知这 2n 个点组成的直线段中一短为红色，一端为蓝色共有Cn1?Cn1个，若两两线段没有公共点，则这些线段不相交，即一个红色的点和另外一个蓝色的点连接，组成一个线段，故这些线段共有n 条，即总可以找到两两没有公共点的n 条直线段，使得其中每条线段的两个端点具有不同的颜色点评：本题主要考查排列与组合的知识点，解答本题的关键是理解两两没有公共点的n 条直线段的含义，本题难度一般148 分和 15 分的邮票可以无限制地取用，某
40、些邮资额数，例如7 分、 29 分，不能够刚好凑成，求不能凑成的最大额数 n，即大于n 的额数都能够凑成（证明你的答案）考点 ： 排列与组合问题80 8 51 8专题 ： 探究型分析：根据一个数可以利用8 和 15 凑成，则这个数一定大于15，即可对大于15 的数依次进行判断，即可确定解答：证明：98=8 1+15 6；99=8 3+15 5；100=8 5+15 4；101=8 7+15 3；102=8 9+15 2；103=8 11+15 1；104=8 13+15 0；105=8 0+15 7； 由以上可知，比97 大的数，可用以上8 数加上 8 的适当倍数而得到而97 不能用 8 与
41、15 凑成故答案为： 97点评：本题主要考查了数的整除性，进行验证是解题的基本方法，一般的当正整数P，q 互质时，不能用p，q 平成的最大整数是pqpq15从 1，2， ， 16 中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中，任意三个数都不是两两互质考点 ： 排列与组合问题；质数与合数80 8 51 8专题 ： 常规题型分析：解答之前要理解任意三个数不是两两互质的含义，再从这 16个数中找出任意三个数都不是两两互质的个数解答：解：质数又称素数，指在一个大于1 的自然数，除了1 和其整数自身外，没法被其他自然数整除的数，若被选出的数中，任意三个数都不是两两互质，故在这些数中取出所有2 或 3 的倍数
42、即可故这些数为2，3，4， 6，8，9，10，12，14，15，16一共 11 个点评：本题主要考查排列与组合和质数与合数的知识点，解答本题的突破口是理解任意三个数不是两两互质，本题难度一般名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - 菁优网?2010-2013 菁优网16平面上给定四个点，两两连接这四点的诸直线不平行，不垂直，也不重合过每一点作其余三点两两连接的直线的垂线，若不算已知的四点，这些垂线间有多少个不同交点？证
43、明你的结论考点 ： 排列与组合问题80 8 51 8专题 ： 常规题型分析：先考虑所有4 个点间的连线情况，再考虑每点向所有连线作的垂线的情况，利用多个点向一条直线作垂线没有交点，三角形的三条高交于一点，去掉多计数的点即可解答：解： 4 3 （1 2）=6 个，4 3 2 （1 2 3）=4 个，4 3=12 条，12 11 （1 2）=66 个，6 3=18 个，4 3=12 个，661812+4=40 个答：这些垂线间有40 个不同交点点评：本题主要考查排列与组合的知识，解答本题的关键是求出这些点过另外3 点两两连接的直线的垂线的条数，再利用组合的知识很容易解答，本题难度一般17某市有n
44、所中学，第i 所中学派出Ci名学生（ 1 Ci 39，1 i n）来到体育馆观看球赛，全部学生总数之和C1+C2+Cn=1990，看台上每一横排有199 个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能保证全部学生都能坐下？考点 ： 排列与组合问题80 8 51 8分析： 根据 199+1=25 8，1990=79 25+15推知由于每排最多坐7 所 25 人校，故排数不小于【】12； 逐个整校地将前5 排占满（每排的最后一校有人暂时无座位），总共不少于5 200=1000 人，然后计算一下各排最后一校是总人数的最大值，据此可以推知各校人数如何分布，6 排必可坐下不少
45、于1000 人那 12 排必可坐下2000 人了解答：解：199+1=25 8，1990=79 25+15取 n=80，其中 79 所各 25 人，1 所 15 人由于每排最多坐7 所 25 人校，故排数不小于12另一方面，逐个整校地将前5 排占满（每排的最后一校有人暂时无座位），总共不少于5 200=1000 人各排最后一校的总人数不多于5 39=195，可在第 6 排就坐因此无论各校人数如何分布，6 排必可坐下不少于1000 人12 排必可坐下不少于2000 人故保证全部学生都能坐下的最少排数是12点评：本题考查了排列组合的问题解答此题时，关键是找出“ 每排最多坐7 所 25 人校 ” 这
46、一条件18一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b如果 a 恰是 b 的 3 倍，我们称a 是一个 “ 希望数 ” （1）请你举例说明：“ 希望数 ” 一定存在（2）请你证明：如果a，b 都是 “ 希望数 ” ，则 ab一定是 729 的倍数考点 ： 排列与组合问题；数的整除性80 8 51 8专题 ： 证明题；新定义分析：（ 1）根据希望数的定义可知，428571=3 142857，故此数即为希望数；（2）由于 a、b 均为希望数，所以存在一个由a 的数字重新排列而成的自然数p，使得 a=3p 并且 a 的数字和等于 p 的数字和， 根据整除的判别法可知a 为 3 的倍数、 p
47、为 9 的倍数， 再由 a，b 都是 “ 希望数 ” ，可知 a，b 都是 27 的倍数，设a=27n1，b=27n2（n1， n2为正整数）代入ab即可得出答案解答：解： （1） 428571=3 142857，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - 菁优网?2010-2013 菁优网 428571 是一个 “ 希望数 ” （2） a 为“ 希望数 ” ，依 “ 希望数 ” 定义知，存在一个由a的数字重新排列而成的
48、自然数p，使得 a=3p 并且 a的数字和等于p 的数字和 a=3p 和 a为 3 的倍数，但a 的数字和等于P 的数字和， 由整除判别法，知p 为 3 的倍数， p=3m， （m 为正整数）， a=3 p=3 3m=9m， a 被 9 整除 a 的数字和等于p 的数字和， 由被 9 整除的判别法可知p 能被 9 整除，即p=9k （k 为整数）， p=3a=3 9k=27k a 是 27 的倍数 “ 希望数 ” 一定能被27 整除 a，b 都是“ 希望数 ” ， a，b 都是 27 的倍数，即a=27n1，b=27n2（ n1，n2为正整数） ab=（27n1） （27n2）=（27 27）
49、 （n1 n2）=729n1n2 ab 一定是 729 的倍数点评：本题考查的是 “ 希望数 ” 的定义及数的整除性问题，根据题意掌握“ 希望数 ” 的定义是解答此题的关键19从数 1，2，3， ，1995 中任意取出n 个不同的数（ 1 n 1995）形成一组叫做一个n 元数组，如（ 1，2，3，4）就是一个四元数组， （4，8，12，20，32）就是一个五元数组现要给出一个自然数k，使得每一个k 元数组中总能找到三个不同的数，此三数能构成一个三角形的三边长，则给出的k 至少是多少时才能满足要求？证明你的结论考点 ： 排列与组合问题80 8 51 8分析：任意取出n 个不同的数（ 1 n 1
50、995）形成一组叫做一个n 元数组，在原数组中任意找到三个数能构成三角形，即这三个数满足两个之和大于第三个，两个之差小于第三个解答：解： k 是 3 就可以如3，4，5 ，是 3 元数组，且能构成三角形故可以点评：本题考查元数组的概念，以及三角形三边的关系205 个人站成一排照相（1）若甲、乙两人必须相邻，则有多少不同的站队方法？（2）若甲、乙两人必不相邻，则有多少不同的站队方法？考点 ： 排列与组合问题80 8 51 8专题 ： 计算题分析：（1）把甲、乙看成一个整体有P22种站队方法，其余4 人有 P44种站队方法；（2）甲、乙两人必不相邻=5 个人自由站队总数甲、乙两人必须相邻数解答：解