《2022年高考冲刺：逻辑推理与数学方法的运用——极限和临界问题 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考冲刺：逻辑推理与数学方法的运用——极限和临界问题 .pdf（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 高考冲刺： 逻辑推理与数学方法的运用极限和临界问题高考动向整个物理学处处表达着科学的方法、思想和精神，这些科学的方法、思想、精神、产生于物理学的发展过程，同时它也有力推动着物理学，乃至其它学科的发展。掌握这些方法和思想对分析解决物理问题不仅是大有脾益，更是不可或缺的。 因此这些科学的方法和思想不仅贯穿于整个的学习过程，在高考中也是不可缺少的 必须考察的， 表达学生能力的重要方面，要想在高考中游刃有余，取得理想的成绩必须非常重视对科学方法，思想的理解和运用。物理学中科学的方法十分丰富，例如物理的方法模型法、等效法、 对称法等； 数学的方法运用数学方法推理、论证、表达等，极限、极值的求解、微积
2、分思想方法的运用，利用图象处理问题等；逻辑的方法归纳、演绎、比照、 类比等； 哲学的方法对立统一、相互联系、动态分析等等。下面将重点介绍几个方面。知识升华1物理极值的求解方法求极值是物理学中普遍的一类问题，例如， 运动学中的极值、 力学中的极值， 热学中的极值，电场中的极值， 电路中的极值，电磁感应现象中的极值，光学中的极值等等。解决极值问题方法：1物理方法通过分析研究对象发生的物理过程，找出某个物理量出现最大值或最小值的状态以及对应的条件，然后根据物理规律列方程，求解并讨论。2数学的方法分析物理过程， 明确遵守的规律，由物理规律建立变量之间的关系，然后由数学方法求出在这一过程中某个变量的极值
3、和极值点。说明： 在高中阶段用数学的方法求解极值常遇到几种具体的方法：用二次函数求极值；判别式求极值；三角函数求极值；用不等式求极值；用导数求极值等。用二次函数求极值的公式：将函数关系化为y=ax2+bx+c 的形式， 明确各系数a，b，c。当时。注意：一定要明确自变量的变化范围，要在题设范围内求极值。用判别式求解极值：将函数关系化为二次方程的形式ax2+bx+c=0，所求极值的物理量包含在方程的系数a，b，c中，根据题意弄清方程有解、无解、一解或两解，由0， 0， =0 求出极值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 28
4、页2 用三角函数求解：依据物理规律将变量之间的关系表达为的形式， 当，求出极值；当然也可以将变量之间的关系，化为的形式，当时，。说明：求解三角函数值，要注意到它的多解性周期性；当遇到 y=Asinxcosx时，要化成y=Asin2x 的形式，遇到 y=asinx+bcosx时，要化成的形式。用不等式求极值：几个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即，当且仅当各数相等时，不等式取等号，由此而求得“和”的最小值或者“积”的最大值。用导数求极值：根据物理规律建立变量之间的函数关系，求出导数的表达式，令，求出极值点，然后分析是最大值还是最小值。3用矢量分析法求极值根据物理规律将各个矢量统一在一个三
5、角形内，令作为自变量的矢量在它规定的范围内变化大小或方向的变化，从变化过程中找出最大值、最小值或相应的条件。2临界状态及临界条件的寻找物理过程中随着某些或某个物理量的变化，其它的物理量也随之变化，量变的结果经常会导致运动过程或状态发生质的变化，这个质变的状态叫做临界状态。1临界状态的特点它是上一过程的结束状态，同时又是下一过程的开始，它遵守上一过程的规律，通常也遵守下一过程的规律；临界状态往往具有隐蔽性，要通过分析才能发现。2临界状态的寻找方法即动态分析法让充当自变量的物理量发生变化，分析与之相联系的物理量在某种状态下的变化以及物理过程的变化。假设某个物理量出现零值、方向变化，或取某些特殊值时
6、，这一状态可能是临界状态；假设运动过程的性质恰好要发生变化时，此时的状态也是临界状态。 物体或系统处在临界状态时，自变量取得的值为临界条件，因变量取得的值叫做临界值，临界条件和临界值对解决问题大有帮助。3临界状态及条件举例略举几例抛砖引玉精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 28 页3 两物体恰好别离时满足物体间的相互作用力恰好为零。恰好相对运动：两物体在此状态有相同速度，下一状态速度则不相等，往往可用v1=v2解决问题。恰相对滑动：两物体之间的静摩擦力到达最大值，下一状态两物体间变成滑动摩擦力，。一物体恰好追上别一物体：当两
7、物体在同一位置时具有相同的速度。全反射中临界光线临界角；物态变化中的临界温度等等。3应用数学的方法进行表达、推理、论证和计算。数学的方法和结论在物理学中得到了广泛的应用，成为物理学发展的最重要的工具。借助数学人们可以用最简洁的方式表达物理概念和规律；可以提供多种论证和计算的方法；为复杂的推理提供可能； 为发现物理规律或建立各物理量之间的关系提供参照和结论等。可以肯定地说，离开了数学，物理学不可能得到发展，物理问题也不可能得到解决。1运用数学的形式进行表达这是一个重要而不被引起重视的方法用数学语言表达物理量之间的联系，表达物理现象发生的条件例如，磁感应强度随时间按正比例变化，数学表达为B=ktk
8、 为常数，磁感应强度随时间按正弦规律变化，应表达为，相距为S的甲、乙两物体经过一段时间甲恰能追上乙，则，。说明：不能用数学语言表达关系和条件就无法进行必要的推理、论证、计算！应将“数学语言表达”视为重要的方法和技巧！用数学语言表达物理过程的共性，以简化推理过程。例如重复性的物理过程可以用一个通式表达它遵守的物理规律或建立各量之间的联系；用数列通式表示按一定规律变化的物理量。这种表达的技巧在高考压轴题中常有出现，后面将结合例题给予说明。2用数学的方法进行推理、论证和计算用分析法寻找思路，用综合法表达解题过程。变换命题的形式对物理问题进行论证，做出判断，如：反证法、枚举法、同一法、数学归纳法等等。
9、采用不同的方式进行计算或分析，如解析法、图象法、向量法等等。3运用微积分的思想、方法解决一些变化过程的定量计算问题。例如： 求变速运动的位移，变力做功的计算，变力冲量， 交变电流的平均值，有效值， 等等。微积分的思想是：以“匀代替不匀”，以“不变代替变”，以“直代替曲”。解决问题的操作方法是：i 将变化的过程无限分割，任取一小段建立变量之间的关系。可以简称为：“取微元，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 28 页4 写关系”。这个微元关系就是认为物理量恒定不变而写出，如变速运动中x=vt ii 在所研究的过程上对各微小量累加
10、。简称为“求和”。x=v t 。iii明确所求得“和”的物理意，并采用适当的方法求出结果。假设是匀变速运动，求和的结果是，这一结果可由积分公式求得，也可以由图象面积求得。4类比方法，等效方法，模型法，这些都是解决物理问题最基本的，重要的方法，后面将结合典型例题阐释。经典例题透析类型一用数学的语言表达物理现象的本质对一些重复性的过程或相似的事物，认真分析它们的共同特征，将这个共同特征用解析式表示出来，然后分析求解。1如下图， 在坐标原点处一个质子源以相同的速率向各个方向发射质子，只要在第一象限适当的区域内加一与xOy平面垂直的匀强磁场，就能使第一象限所有的质子离开磁场时速度方向与x 轴平行，求这
11、个匀强磁场的最小区域。m ， q，v，B为已知量思路点拨： 质子离开磁场时的方向取决于磁场的区域大小，在磁场的区域边界上取一点x，y，只要建立起边界上点的轨迹方程，则匀强磁场区域便确定出来。解析： 对第一象限内沿任意方向入射的一个质子画出它的轨迹，如下图。质子轨道半径，在圆周的最高点P处质子的速度方向与x 轴平行，从P点离开磁场后，质子将沿平行 x 轴方向做匀速直线运动，所以，P点就是磁场边界上的任一点，设其坐标为 x，y，由几何关系不难看出：OO C是直角三角形，根据勾股定理，即，也就是是以 0，R为圆心，以R为半径的圆的一部分。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
12、 - - - - - - -第 4 页，共 28 页5 沿 y 轴正方向射入的质子的轨迹就是磁场区域的上边界，是一个以R，0为圆心， R为半径的圆弧，其方程是(x R)2+y2=R2。综上，所求最小区域的边界是由两段半径都是R的圆弧围成，如图。总结升华：1各粒子在磁场边界上所具有的共性是速度方向平行于x 轴，过该点的半径与x 轴垂直，坐标 x，y满足 x2+(R y)2=R2。2凡寻找边界的问题应从边界处的粒子入手分析，由此确定磁场区域上的边界。举一反三【变式 1】一倾角为=45的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度h0=1 m，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m=0
13、.09 kg 的小物块 视为质点 。小物块与斜面之间的动摩擦因数=0.2 。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。 重力加速度 g=10 m / s2。在小物块与挡板的前4 次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？思路点拨： 小物块与档板的多次性碰撞是重复性的过程，这些过程中小物块运动情况相似，共同遵守能量守恒定律和动量定理，只要抓住不同过程的联系，用好数学知识可以简单求解。解析：解法一：设小物块从高为h 处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v。由功能关系得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 28 页6 以沿斜
14、面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量设碰撞后小物块所能到达的最大高度为h，则 :同理，有；式中，v为小物块再次到达斜面底端时的速度，I 为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。由、式得：，式中由此可知，小物块前4 次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为总冲量为 I=I1+I2+I3+I4=I1(1+k+k2+k3) 由，得代入数据得Ns 解法二： 设小物块从高为h 处由静止开始沿斜面向下运动，小物块受到重力，斜面对它的摩擦力和支持力，小物块向下运动的加速度为a，依牛顿第二定律得设小物块与挡板碰撞前的速度为v，则：以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给
15、小物块的冲量为由、式得设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为a，依牛顿第二定律有小物块沿斜面向上运动的最大高度为由、式得式中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 28 页7 同理，小物块再次与挡板碰撞所获得的冲量由、式得由此可知，小物块前4 次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为总冲量为 I=I1+I2+I3+I4=I1(1+k+k2+k3) 由得代入数据得Ns 总结升华：分析重复性的过程要同时重视“同中求异” 和“异中求同” 。 “异中求同” 发现共性，“同中求异”发现差异，两种思维方式对建立物理量之间的联系皆有帮助
16、；善于表达是解决综合题重要的能力和技巧，此题中I =KI 对解题至关重要。用动量定理列方程时要注意各速度的矢量性。【变式 2】如下图，一排人站在沿x 轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为nn=1、2、3。每人只有一个沙袋，x0 一侧的每个沙袋的质量为m=14 kg，x 0 一侧的每个沙袋质量为m =10 kg 。一质量为M=48 kg 的小车以某初速度从原点出发向正x 方向滑行。 不计轨道阻力， 当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u 朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u 的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n 倍n 是此人的序号数。1空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑
17、行？2车上最终有大小沙袋共多少个？思路点拨： 分析比较抓住重复过程的本质运用规律列式表达！解析：解法一： 两物块相向运动，发生碰撞后粘在一起运动，运动的方向与碰撞的前动量大的物块的运动方向相同，这类问题我们已解过不少。而此题中，当小车以某一初速度v0从原点出发向正x 方向滑行，经过第一人身边时，此人把沙袋以2v0的速度沿与车速相反的方向精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 28 页8 扔到车上， 就是两相向运动的物体发生碰撞并粘在一起运动的问题。设两物体一起运动的速度为 v1，则由动量守恒定律载有一个沙袋的小车以v1向正 x
18、方向滑行，当经过第二人身边时，此人将沙袋以4v1的速度反向扔到车上，假设车与沙袋一起滑行的速度为v2，则由动量守恒定律，同理，第 3 人扔袋后，第 n 人扔袋后，沙袋扔到车上后，小车向正 x 方向滑行的速度减少，当速度小到某一数值后，再向上扔一个沙袋，小车便开始反向滑行，即小车反向运动的条件是，。由，得，由，得，n 应为整数，故n=3，即车上堆积3 个沙袋后车就反向滑行。车自反向滑行直到接近x0 一侧第 1 人所在位置时，车速保持不变，而车的质量为M+3m 。假设在朝负方向滑行过程中第n 1个沙袋扔到车上后车速为，第 n 个沙袋扔到车上后车速为。现取图中向左的方向负x 方向为速度、的正方向，则
19、由动量守恒定律有试题要求的是小车上最终有大小沙袋多少个，这就必须断定小车向左滑行后，最终是停在 x0 一侧，还是又反向滑行。在小车向左滑行的过程中，当有n1个沙袋扔到车上后，小车仍向左滑行，即。当第 n 个沙袋扔到车上后，小车便不再向左滑行，即或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 28 页9 停住，或向右滑行。由得， n9 由得， n8 当 n=8 时，小车停止滑行。即在x 0 一侧第 8 个沙袋扔到车上后车就停住。故车上最终共有大小沙袋3+8=11 个。解法二：1设小车朝正x 方向滑行过程中，当车上已有n1沙袋时的车速为，
20、则车与沙袋的动量大小为车经过第 n 个人时，人扔出沙袋的速度为，其动量大小为当满足条件P2P1时，车就反向滑行。于是由得取 n=3，即车上堆积3 个沙袋时车就反向运动。2设车向负x 方向滑行过程中，当第n1个人扔出沙袋后的车速为，其动量大小为第 n 个人扔出沙袋的速度大小为，其动量大小为当满足条件时车就停止。于是由得所以车停止时车上共有沙袋数为N=3+8=11个总结升华： 解法一是先利用递推规律写出速度的通式，再结合反向运动的条件或停止的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 28 页10 条件进行讨论得出结论。解法二的依据是：
21、相向运动的两物体碰后粘在一起时，假设原先两物体动量大小相等，则碰后将静止； 假设原先动量大小不等，则碰后的运动方向将与原先动量较大的物体运动方向相同。要善于分析速度反向的表达方式！类型二：运动学中的极值问题这类问题的解决方法是从位移入手建立起各物体的位移关系，结合物体的运动情况列出关于时间的方程，然后通过分析出现极值的条件求解，或运用判别式、 二次函数极值公式求解。2火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s 处有另一火车沿同方向以速度v2对地、且v1v2做匀速运动。司机立即以加速度a 紧急刹车。要使两车不相撞， a 应满足什么条件？解析： 此题有多种解法。解法一：后车刹车后虽做匀减速
22、运动，但在其速度减小至和v2相等之前，两车的距离仍将逐渐减小； 当后车速度减小至小于前车速度，两车距离将逐渐增大。可见，当两车速度相等时， 两车距离最近。 假设后车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等之前即追上前车，发生撞车事故； 假设后车加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍未追上前车，根本不可能发生撞车事故；假设后车加速度大小为某值时，恰能使两车在速度相等时后车追上前车，这正是两车恰不相撞的临界状态，此时对应的加速度即为两车不相撞的最小加速度。综上分析可知，两车恰不相撞时应满足以下两方程：v1 a0t=v2解之可得：。所以当时，两车即不会相撞。解法二：要使两车不
23、相撞，其位移关系应为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 28 页11 即对任一时间t ，不等式都成立的条件为=(v2v1)22as0 由此得解法三： 以前车为参照物，刹车后后车相对前车做初速度v0=v1v2，加速度为 a 的匀减速直线运动。当后车相对前车的速度减为零时，假设相对位移s s，则不会相撞。故由得。总结升华： 三种解法中， 解法一注重对运动过程的分析，抓住两车间距离有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次方程，然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法
24、；解法三通过巧妙地选取参照物，使两车运动的关系变得简明。三种解法中的前两种同学们必须掌握，不可偏废； 对解法三， 由于中学教材和高考对相对运动要求不高，故可只作参考。举一反三【变式 1】将二次函数配方求极值在电场强度为E的水平匀强电场中，以初速度v0竖直向上发射一个质量为m 、带电为+q 的小球，求小球在运动过程中具有的最小速度vmin。解析：解法一： 运用运动合成的知识求解。如图甲所示， 小球在水平方向上做初速度为零的匀加速运动，在竖直方向做匀减速运动，取如下图的xoy 平面坐标系，设经过时间t ，小球的分速度为vx=at vy=v0gt 且精选学习资料 - - - - - - - - -
25、名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 28 页12 则小球在 t 时刻的合速度为利用配方得假设 v 有极小值，则这时 v 的最小值vmin为解法二：由于小球在运动过程中受到mg和 qE两个恒力作用，这两个恒力合成为G 也为恒力，如图乙a、 b所示，将v0分解到 x、 y 方向上，在 x 方向上有 v10=v0sin 在 y 方向上有 v20=v0cos小球运动的加速度为则小球沿x 轴负方向做匀减速运动，而沿y 轴方向做匀速直线运动，当 x 轴方向运动速度为零时，小球的运动速度到达最小，最小值为小球沿y方向的分速度v20，则有说明： 解法一中物理过程设计较简单，但所用数学知识
26、较繁，推导过程中易出错。解法二借用了等效重力场的方法，使问题变得过程简单，易推导。 此题还可用速度矢量合成的方法求解。【变式 2】如图，一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。一电荷量为 qq 0、质量为 m的小球 P在球精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 28 页13 面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O 。球心 O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为 0。为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球 P相应的速率。重力加速度为g。解析： 据题意
27、，小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O 。 P受到向下的重力mg 、球面对它沿OP方向的支持力N和磁场的洛仑兹力f qvB 式中 v 为小球运动的速率。洛仑兹力f 的方向指向O 。根据牛顿第二定律由、式得由于 v 是实数，必须满足由此得可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为由、式得答案：类型三：利用三角函数的性质求极值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 28 页14 如果物理量的变化规律，可以表示成三角函数y=Asin 和 y=Acos的形式，根据正
28、、余弦的特点，我们便会很容易地求出其物理量的最大值或最小值。3如下图， 一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为 m的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态。试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大？最大值是多少？解析： 设圆弧半径为R，当小球运动到重力mg 与半径夹角为时，速度为v。根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：解得小球对小车的压力为其水平分量则为根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为可以看出：当sin2 =1，即 =45时，地面对车的静摩擦力最大，其值为：答案： 当 =45时，。举一反三【变式】 利用求极值。精选学习资料 - - -
29、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 28 页15 质量为 m的物体与水平地面之间的动摩擦因数为，求至少用多大的拉力才能使物体沿水平面匀速运动？解析： 对物体受力分析如下图。将与水平面成角的拉力正交分解，由平衡条件列方程得Fcos f=0 FN+Fsin mg=0 f= FN解得将此式整理得其中可见当时，拉力有最小值。答案： 当力 F 与水平方向所成的角是arctan u时拉力最小为。类型四：利用不等式求极值根据不等式定理：两个或n 个正数算术平均值总是大于或等于其几何平均值，即可以推出：定和求积原理如果两个正数之和为一常量k，则两个数相等时其积最
30、大；定积求和原理如果两个正数之积为一常量k，则两个数相等时其和最小。利用上述推论，有时可以十分简捷地求出物理量的最大值或最小值。4如下图，将质量为M的木块，分成质量为m1和 m2两部分，并且细线连接：m1置于光滑水平桌面上，m2通过定滑轮竖直悬挂。试分析：应该将M怎样分割，才能使系统在加速运动过程中绳的拉力最大？拉力最大值是多少？解析： 先以整体为研究对象，系统的加速度为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 28 页16 再以 m1为研究对象，则绳的拉力可以表示为：因为 m1+m2=M 。当时其积最大，所以拉力的最大值为答案
31、： 当两部分的质量相等时绳子的拉力最大即，。误区警示： 必须 m1与 m2之和为定值的前提下，才有当其相等时之积最大。否则不正确。举一反三【变式】 两个等量同种电荷q 间距为 2a，求中垂线上何处场强最大？最大场强为多大？思路点拨： 运用场强的叠加原理，求出两点电荷中垂线上任一点的场强，然后求其极值点。解析： 如下图，设中垂线上的P点到两点电荷的距离为r ，r 与电荷连线的夹角为，则。每个点电荷在P点产生的场强E0，由场强的叠加原理得P点的场强两边平方得因三个正数之和为定值2，所以当，即时，取得最大值，。答案： 当时，。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
32、 - - - -第 16 页，共 28 页17 总结升华： 将表达式进行适当的变形使其符合运用不等式的条件是解题的技巧所在。另一解法：利用导数求极值。中垂线上任一点的场强，E对求导数，得令 E =0 即，代入 E的表达式得。类型五：用矢量三角形动态分析法求解极值运用此法解决问题关键是将变量统一在一个三角形内，然后根据自变量的变化范围进行动态分析，直观地发现极值点和对应的极值。5河宽 1080 m，河水流速2.5 m / s，一人相对于河水以1.5 m / s的速率划船渡河，船头与河岸成多大角度时，船相对岸走过的路程最短？解析：1船相对岸速度为v，与水速v1和船相对水的速度v2构成图示的平行四边
33、形。当角最大时，船相对岸的位移最短。所以v2v 时，最大，且最短路程为s=L / sin=1080 / 0.6=1800 m 答案： 当 =arcsin0.6时，船相对于岸的路程最短，为1800 m。总结升华： 以 v1矢量的末端为圆心，以v2的大小为半径画圆，只要v2矢量的箭头在圆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 28 页18 周上， 便能保证船对水的速度大小不变，通过比较不难发现当合速度与圆周相切时，合速度与河岸夹角最大，渡河路程最短。举一反三【变式】 如下图，质量为m的小球用细线悬挂在O点，并置于倾角为的光滑斜面上
34、，细线与竖直方向的夹角。试分析：在斜面缓慢右移，逐渐减至0的过程中，小球受到的细线拉力和斜面的支持力如何变化？它们的极值各是多少？解析：在逐渐减小的过程中，小球在三个共点力作用下始终处于平衡状态：重力mg 总竖直向下，支持力N大小变化而方向始终垂直斜面，而拉力T的大小和方向都在变化：从三力构成的矢量三角形可以看出：拉力T先减小后增大，当T与 N垂直，即：+=90， T与斜面平行时，拉力最小，为Tmin=mg sin 而支持力不断减小，当=0时， N减为零，即Nmin=0。答案： 小球受到的拉力T 先变小后变大，支持力不断减小，Tmin=mg sin ， Nmin=0。类型六：类比推理和等效思想
35、在物理解题中的运用等效法是把复杂的物理现象、物理过程转化为简单的物理现象、物理过程来研究和处理的一种科学思想方法，它是物理学研究的一种重要方法。在中学物理中，合力与分力、合运动与分运动、总电阻与分电阻、平均值、有效值等，都是根据等效概念引入的。在学习过程中，假设能将此法渗透到对物理过程的分析中去，不仅可以使我们对物理问题的分析和解答变得简捷，而且对灵活运用知识，促使知识、技能和能力的迁移，都会有很大的帮助。6如图甲所示，质点的质量为2 kg ，受到六个大小、方向各不相同的共点力的作用处于平衡状态。今撤去其中3 N 和 4 N 两个相互垂直的力，求质点的加速度。精选学习资料 - - - - -
36、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 28 页19 解析： 此题中各力的方向都没有明确标定，撤去两个力后合力是什么方向一时难以确定。但从力的作用效果分析，其它四个力2 N、6 N、6.2 N 、7 N的合力F乙一定与 4 N、3 N的两力的合力F甲平衡，如图乙所示。也就是说：F乙与 2 N、6 N、6.2 N 、7 N 的四个力作用效果相同，而F甲与 4 N、3 N 的两个力的作用效果相同。因此，撤消4 N、3 N 的两个力，质点受到的合力可以认为只有F乙，故：，方向沿4 N、3 N 两力对角线的相反方向。举一反三【变式】 一条长为的细线上端固定在O点，下端
37、系一个质量为m的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为E，方向水平向右，已知小球在B点时平衡，细线与竖直线的夹角为，如图a所示，求：1当悬线与竖直方向的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零。2当细线与竖直方向成角时，至少要给小球一个多大的冲量，才能使小球做圆周运动？解析： 小球在 B点受力平衡，由平衡条件有设小球由C点细线与竖直线夹角为运动至最低点A时速度恰为零，此过程小球的重力势能减少，电势能增加。由能量守恒精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 28 页20 有由式得即，则。由于
38、小球是在匀强电场和重力场的复合场中运动，其等效重力加速度复合场场强 g=g / cos见图 b乙，小球在A、C点为最大位移处，由对称性即可得出结论：=2。绳系小球在复合场中做圆周运动的条件与在重力场中类似，只不过其等效 “最高” 点为D，“最低”点为B，等效重力加速度或叫做复合场强度为g图 c。由解得给小球施加的冲量至少应为。类型七：物理学中的临界问题解决临界问题时，要有临界意识，能主动地去分析临界状态，分析临界条件并利用临界状态进行计算；要懂得如何分析临界状态动态分析找出因变量的质变点。1竖直面内圆周运动的临界状态竖直平面内的圆周运动，是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动
39、的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 28 页21 1如下图，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况临界条件： 小球达最高点时， 图甲中绳子对小球的拉力或图乙中轨道对小球的弹力刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力。即。上式中是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度。能过最高点的条件：vv临界此时绳、轨道对球分别产生拉力F、压力 FN。不能过最高点的条件：实际上球没有到最高点就脱离了轨道。2如下图，有物体支撑的小球在竖直平
40、面内做圆周运动过最高点的情况临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度。当图甲所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：当 v=0 时，轻杆对小球有竖直方向的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN=mg 。当时，杆对小球的支持力的方向竖直向上，大小随速度的增大而减小。其取值范围是mgFN 0。当时，FN=0。当时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大。当图乙所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况：当 v=0 时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球重力，即FN=mg 。当时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN，大小随速度
41、的增大而减小，其取值范围是mg FN0。当时，FN=0。当时，管的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 28 页22 7绳的一端固定，另一端系一质量为m=0.5 kg 的小球，绳长L=60 cm，使小球在竖直平面内做圆周运动。求：1小球刚好能做圆周运动，在最高点的速度为多大？2小球在最高点速率v=3 m / s时，小球对绳的拉力多大？解析：1小球刚好能做圆周运动，在最高点绳的拉力为零，所以2.42 m / s。2v=3 m / s v0，只靠重力已不足以提供小
42、球做圆周运动所需向心力，此时绳对球有一向下的拉力，由牛顿第二定律，得，代入数据解得FN=2.6 N ，由牛顿第三定律知球对绳的拉力FN=FN=2.6 N ，方向竖直向上。注意： 理解无物体支撑在竖直平面内的圆周运动。8如图，光滑圆管轨道AB部分水平，处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径。有一质量为m ，半径比r 略小的光滑小球以水平初速v0射入圆管。1假设要小球能从C端出来，初速v0多大？2在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速v0各应满足什么条件？解析：1小球恰好能到达最高点的条件是vC=0，由机械能守恒，此时需要初速度v0满足，得，因此要使小球能从C端出来需vC0，所
43、以入射速度。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 28 页23 2小球从C端出来瞬间，对管壁压力可以有三种典型情况：刚好对管壁无压力，此时重力恰好充当向心力，得，由机械能守恒定律，联立解得。对下管壁有压力，此时应有，此时相应的入射速度v0应满足。对上管壁有压力，此时应用，此时相应的入射速度v0应满足。注意： 掌握无物体支撑与有物体支撑的小球在竖直平面内的圆周运动的问题分析方法的不同。2磁场中的临界问题电流在磁场中要受到安培力的作用，电荷在磁场中可能受到洛仑兹力的作用，安培力和洛伦兹力经常会随着电流、磁场、 运动速度发生变化，
44、因此临界状态或收尾状态也会经常出现。解决这类问题要善于分析临界状态。9一个质量m=0.1 g 的小滑块，带有q=5104 C 的电荷，放置在倾角=30的光滑斜面上 绝缘 ，斜面置于B=0.5 T的匀强磁场中， 磁场方向垂直纸面向里，如下图，小滑块由静止开始沿斜面滑下，其斜面足够长，小滑块滑至某一位置时，要离开斜面。求：1小滑块带何种电荷？2小滑块离开斜面的瞬时速度多大？3该斜面的长度至少多长？解析：1小滑块沿斜面下滑过程中，受重力mg 、斜面支持力FN和洛伦兹力F。假设要小滑块离开斜面，洛伦兹力F 方向应垂直斜面向上，根据左手定则可知，小滑块应带有负电荷。2小滑块沿斜面下滑时，垂直斜面方向的加
45、速度为零，有Bqv+FN mg cos=0。当 FN=0 时，小滑块开始脱离斜面，此时qvB=mg cos，得。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 28 页24 3小滑块下滑过程中，只有重力做功，由动能定理得，斜面的长度至少应是。答案： 1小滑块带负电荷2v=3.4 m / s 3s=1.2 m 误区警示： 物体要脱离斜面时FN=0，qBv=mg cos，切不可认为是qBv=mg ，此种错误的根源是没有从变化过程中考察临界条件，只注重了临界状态。尽管有变力作用物体仍然匀变速运动。要注意到洛伦兹力不做功的特点。举一反三【变式
46、】 在倾角为的光滑斜面上，置一通有电流为I 、长度为 L、质量为 m的导体棒，如下图。试求：1欲使棒静止在斜面上，外加匀强磁场的磁感应强度B的最小值和方向。2欲使棒静止在斜面上且对斜面无压力，外加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向。3分析棒有可能静止在斜面上且要求B垂直 L，应加外磁场的方向范围。思路点拨： 让磁场的方向发生变化，寻找最小安培力的大小方向，以及能使导体静止在斜面上时可取的临界方向。解析：1由平衡条件可知，当安培力平行于斜面向上时最小，此时磁场垂直于斜面向上，BIL=mg sin ，2当导体棒对斜面无压力时，所受安培力竖直向上，BIL=mg，。由左手定则知 B的方向水平向左。3使
47、导体棒平衡时受到的安培力有一个临界状态竖直向上和一个极限状态F2垂直于斜面向下，如下图。由左手定则知，磁场的方向应在B1与 B2之间，即是磁场与水平向右的方向所夹的角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 28 页25 答案： 1垂直于斜面向上；2方向水平向左；3。类型八：物理解题中的极端假设分析法通常情况下， 由于物理现象涉及的因素较多，过程变化复杂， 人们往往难以洞察其变化规律并对其作出迅速判断。但如果用极端假设分析法，将问题推到极端状态或极端条件下进行分析，问题有时会顿时变得明朗而简单了。1定性分析10如下图，在两端封闭
48、的等臂U形管中，空气柱a 和 b 被水银柱隔开。当U形管竖直放置时，两空气柱的长度差为h，当 U形管绕底部的水平部分垂直纸面缓慢转过一定角度小于90时，假设环境温度不变，则两空气柱长度差将：A增大B不变C等于零D减小，但不等于零解析： 当竖直放置管子时，气体压强PaPb；当转过90，且两端位于同一水平面时，Pa=Pb。可见 Pb增大，体积减小；Pa减小，体积增大。两空气柱长度差增大。所以，应选答案 A。答案： A 总结升华： 此问题的极端状态就是试管处于水平位置，解题时所取的极端状态必须是我们非常熟悉的状态，且是物理过程渐变而获得的状态，与讨论的问题没有矛盾。2定量计算分析在物理解题，特别是解
49、答选择题时，采用“极端假设分析法”，选择适当的极限值最大值、最小值、零值、无限大值以及临界值等代入备选答案，会使解题收到意想不到的简精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 28 页26 化效果。11如下图的电路中，电源内阻不能忽略，R1=10， R2=8，当开关k 扳到位置1 时，电流表的示数为0.2 A ；当开关 k 扳到位置2 时，电流表的示数可能是A0.27 A B 0.24 A C0.21 A D0.18 A 解析： 由开关 k 的两次动作，根据全电路欧姆定律可以列出I1= / (R1+r) I2= / (R2+r)
50、解上述两式，得因为此处r 不确定，故I2的值也不确定。但是，考虑r 的最大、最小两个极端情况，便可找出I2的一个取值范围。当 r 0 时， I 2=0.25 A ；当 r 时， I 2=0.20 A 。又由 r 的取值只能是0r ，所以0.20 A I2 0.25 A ，故应选答案B与 C。12如下图，一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为m0的平盘。盘中有物体质量为 m 。当盘静止时弹簧的长度比其自然长度伸长了L。今向下拉盘使弹簧再伸长L 后停止，然后松手放开。设弹簧总处在弹性限度以内，则刚刚松手时，盘对物的支持力等于A(1+L / L) mg B Lmg / L C(1+L / L)(m+m