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1、 1 三角形的边与角三角形的边与角 一.选择题 1（2015安徽, 第8题4分） 在四边形 ABCD中， A=B=C， 点 E 在边 AB 上， AED=60，则一定有（ ） AADE=20 B ADE=30 C ADE= ADC DADE= ADC 考点： 多边形内角与外角；三角形内角和定理. 分析： 利用三角形的内角和为 180， 四边形的内角和为 360， 分别表示出A， B， C，根据A=B=C，得到ADE= EDC，因为ADC=ADE+EDC= EDC+EDC= EDC，所以ADC= ADC，即可解答 解答： 解：如图， 在 AED中，AED=60， A=180AEDADE=120A
2、DE， 在四边形 DEBC中，DEB=180AED=18060=120， B=C=（360DEBEDC）2=120 EDC， A=B=C， 120ADE=120 EDC， ADE= EDC， ADC=ADE+EDC= EDC+EDC= EDC， ADE= ADC， 故选：D 点评： 本题考查了多边形的内角和，解决本题的关键是根据利用三角形的内角和为 180，四边形的内角和为 360，分别表示出A，B，C 2 （2015宜昌，第 8题 3分）下列图形具有稳定性的是（ ） A 正方形 B 矩形 C 平行四边形 D 直角三角形 考点： 三角形的稳定性；多边形. 分析： 根据三角形具有稳定性，四边形具
3、有不稳定性进行判断 解答： 解：直角三角形具有稳定性 2 故选：D 点评： 此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键 3 （2015永州，第 9题 3分）如图，在四边形 ABCD中，AB=CD，BA和 CD的延长线交于点 E，若点 P 使得 S PAB=S PCD，则满足此条件的点 P（ ） A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 组成E的角平分线 D 组成E的角平分线所在的直线（E 点除外） 考点： 角平分线的性质. 分析： 根据角平分线的性质分析，作E的平分线，点 P 到 AB和 CD的距离相等，即可得到 S PAB=S PCD 解答： 解：作E
4、的平分线， 可得点 P 到 AB和 CD的距离相等， 因为 AB=CD， 所以此时点 P 满足 S PAB=S PCD 故选 D 点评： 此题考查角平分线的性质，关键是根据 AB=CD 和三角形等底作出等高即可 4. （2015（2015 广西崇左广西崇左第1题6分）第1题6分）如果一个三角形的两边长分别为 2和 5，则第三边长可能是（ ） A 2 B 3 C 5 D 8 C【解析】这个三角形的第三边 5-2a5+2，即 3a7，只有 C 符合题意. 点评：点评：已知三角形的两条边长，求第三边，根据“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”，可得“三角形的第三边大于两边之差且小
5、于两边之和”，从而先求出第三边的范围，然后作出选择 5. （20152015 江苏江苏淮安淮安第第 6 6 题）题）下列四组线段组成直角三角形的是（ ） A、3, 2, 1cba B、4, 3, 2cba C、5, 4, 2cba D、5, 4, 3cba 3 6、 （2015年四川省达州市中考，6,3 分）如图， ABC 中，BD平分ABC，BC 的中垂线交 BC于点 E， 交 BD 于点 F， 连接 CF 若A=60， ABD=24， 则ACF的度数为 （ ） A 48 B 36 C 30 D 24 考点： 线段垂直平分线的性质. 分析： 根据角平分线的性质可得DBC=ABD=24，然后再
6、计算出ACB 的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得 BF=CF， 进而可得FCB=24， 然后可算出ACF的度数 解答： 解：BD平分ABC， DBC=ABD=24， A=60， ACB=18060242=72， BC的中垂线交 BC于点 E， BF=CF， FCB=24， ACF=7224=48， 故选：A 点评： 此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 7（2015滨州,第7题3分）在ABC中，A：B：C=3：4：5，则C 等于（ ） A 45 B 60 C 75 D 90 考点： 三角形内角和定理 分析： 首
7、先根据A：B：C=3：4：5，求出C的度数占三角形的内角和的几分之几；然后根据分数乘法的意义，用 180乘以C 的度数占三角形的内角和的分率，求出C 等于多少度即可 4 解答： 解：180 = =75 即C等于 75 故选：C 点评： 此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是 180 8.（2015山东德州,第 8 题 3 分）下列命题中，真命题的个数是（ ) 若1x ，则2； 若1x2，则 1x24 凸多边形的外角和为 360；三角形中，若A+B=90，则 sinA=cosB A4 B 3 C 2 D 1 考点： 命题与定理. 分析： 根据分式成
8、立的条件对进行判断； 根据乘方的意义对进行判断； 根据多边形外角和定理对进行判断；根据互余公式对进行判断 解答： 解：若1x ，2，所以正确； 若1x2，则 0 x24，所以错误； 凸多边形的外角和为 360，所以正确； 三角形中，若A+B=90，则 sinA=cosB，所以正确 故选 B 点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理 9.（2015山东德州,第 11 题 3 分）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE
9、，DF 分别是ABD 和ACD 的高，得到下列四个结论： OA=OD； ADEF； 当A=90时，四边形 AEDF 是正方形； AE+DF=AF+DE其中正确的是（ ） A B C D 5 考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定. 分析： 如果 OA=OD，则四边形 AEDF 是矩形，A=90，不符合题意，所以不正确 首先根据全等三角形的判定方法，判断出AEDAFD，AE=AF，DE=DF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出AE0AFO，即可判断出 ADEF 首先判断出当A=90时，四边形 AEDF 的四个角都是直角，四边形 AEDF 是矩形，然后根据 DE=DF，判断
10、出四边形 AEDF 是正方形即可 根据AEDAFD，判断出 AE=AF，DE=DF，即可判断出 AE+DF=AF+DE 成立，据此解答即可 解答： 解：如果 OA=OD，则四边形 AEDF 是矩形，A=90，不符合题意， 不正确； AD 是ABC 的角平分线， EADFAD， 在AED 和AFD 中， AEDAFD（AAS） ， AE=AF，DE=DF， AE+DF=AF+DE， 正确； 在AEO 和AFO 中， ， AE0AF0（SAS） ， EO=FO， 又AE=AF， AO 是 EF 的中垂线， ADEF， 正确； 当A=90时，四边形 AEDF 的四个角都是直角， 四边形 AEDF 是
11、矩形， 又DE=DF， 四边形 AEDF 是正方形， 正确 综上，可得 正确的是： 故选：D 点评： （1）此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握 （2）此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握 （3）此题还考查了矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握 10 （2015长沙，第 5题 3 分）下列命题中，为真命题的是（ ） 6 A 六边形的内角和为 360 度 B 多边形的外角和与边数有关 C 矩形的对角线互相垂直 D 三角形两边的和大于第三边 考点： 命题与定理 分析： 根据六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系判断即可 解
12、答： 解：A、六边形的内角和为 720，错误； B、多边形的外角和与边数无关，都等于 360，错误； C、矩形的对角线相等，错误； D、三角形的两边之和大于第三边，正确； 故选 D 点评： 本题考查命题的真假性，是易错题 注意对六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系的准确掌握 11.（2015长沙，第 10 题 3 分）如图，过ABC 的顶点 A，作 BC 边上的高，以下作法正确的是（ ） A B C D 考点： 三角形的角平分线、中线和高 分析： 根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答 解答： 解：为ABC中 BC边上的
13、高的是 A选项 故选 A 点评： 本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键 12.（2015昆明第4题，3分）如图，在ABC中，B=40，过点C作CDAB，ACD=65，则ACB的度数为（ ） A60 B 65 C 70 D 75 考点： 平行线的性质 分析： 首先根据CDAB，可得A=ACD=65；然后在ABC中，根据三角形的内角和定理，求出ACB的度数为多少即可 解答： 解：CDAB， A=ACD=65， ACB=180AB =1806540 =75 7 即ACB的度数为75 故选：D 点评： （1）此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要
14、明确：（1）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简单说成：两直线平行，同位角相等（2）定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补简单说成：两直线平行，同旁内角互补（3）定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 简单说成：两直线平行，内错角相等 （2）此题还考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180 13.（2015温州第 10 题 4分）如图，C 是以 AB 为直径的半圆 O上一点，连结 AC，BC，分别以 AC，BC 为边向外作正方形 ACDE，BCFGDE，FC，的中点分别是 M，N，P，Q若 MP+NQ=14，AC+BC=1
15、8，则 AB 的长为（ ） A B C 13 D 16 考点： 梯形中位线定理. 分析： 连接 OP，OQ，根据 DE，FC，的中点分别是 M，N，P，Q得到 OPAC，OQBC，从而得到 H、I是 AC、BD的中点，利用中位线定理得到 OH+OI= （AC+BC）=9和 PH+QI，从而利用 AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解 解答： 解：连接 OP，OQ， DE，FC，的中点分别是 M，N，P，Q， OPAC，OQBC， H、I是 AC、BD的中点， OH+OI= （AC+BC）=9， MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=14， PH+QI=1814=4， AB=OP+OQ
16、=OH+OI+PH+QI=9+4=13， 故选 C 8 点评： 本题考查了中位线定理， 解题的关键是正确的作出辅助线， 题目中还考查了垂径定理的知识，难度不大 14 （3分） （2015桂林） （第 2题）如图，在ABC中，A=50，C=70，则外角ABD的度数是（ ） A 110 B 120 C 130 D 140 考点： 三角形的外角性质 分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解 解答： 解：由三角形的外角性质的，ABD=A+C=50+70=120 故选 B 点评： 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质， 熟记性质是解题的关键 15.
17、（2015湖北省随州市，第5 题3分）如图， ABC 中，AB=5，AC=6，BC=4，边 AB的垂直平分线交 AC于点 D，则 BDC 的周长是（ ） A 8 B 9 C 10 D 11 考点： 线段垂直平分线的性质. 分析： 由 ED是 AB 的垂直平分线，可得 AD=BD，又由 BDC 的周长=DB+BC+CD，即可得 BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC 解答： 解：ED是 AB 的垂直平分线， AD=BD， BDC的周长=DB+BC+CD， BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10 9 故选 C 点评： 本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化
18、思想的应用是解题的关键 16. （2015江苏南通，第 5 题 3 分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A5，6，10 B5，6，11 C3，4，8 D4a，4a，8a（a0） 考点： 三角形三边关系. 分析： 根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可 解答： 解：A、105610+5，三条线段能构成三角形，故本选项正确； B、115=6，三条线段不能构成三角形，故本选项错误； C、3+4=78，三条线段不能构成三角形，故本选项错误； D、4a+4a=8a，三条线段不能构成三角形，故本选项错误 故选A 点评：本题考查的是三角形的三边关系， 熟知三角形任意两边之和大于第三边， 任意
19、两边差小于第三边是解答此题的关键 17. （2015江苏宿迁，第 2 题 3分）若等腰三角形中有两边长分别为 2和 5，则这个三角形的周长为（ ） A9 B 12 C 7 或 9 D9 或 12 考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系 分析： 题目给出等腰三角形有两条边长为 5 和 2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形 解答： 解：当腰为 5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12； 当腰长为 2 时，根据三角形三边关系可知此情况不成立； 所以这个三角形的周长是 12 故选：B 点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角
20、形的三边关系； 已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键 18. （2015江苏盐城，第 7 题 3 分）若一个等腰三角形的两边长分别是 2 和 5，则它的周长为（ ） A 12 B 9 C 12或 9 D9 或 7 考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系 分析： 利用等腰三角形的性质以及三角形三边关系得出其周长即可 解答： 解：一个等腰三角形的两边长分别是 2 和 5， 当腰长为 2，则 2+25，此时不成立， 当腰长为 5 时，则它的周长为：5+5+2=12 故选：A 点评： 此题主要考查了等腰三角
21、形的性质以及三角形三边关系， 正确分类讨论得出是解题关键 10 二.填空题 1. （2015江苏连云港，第 15 题 3 分）在 ABC中，AB=4，AC=3，AD 是 ABC的角平分线，则 ABD 与 ACD的面积之比是 4：3 考点： 角平分线的性质 分析： 估计角平分线的性质，可得出 ABD的边 AB上的高与 ACD的 AC 上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出 ABD 与 ACD的面积之比等于对应边之比 解答： 解：AD是 ABC的角平分线， 设 ABD的边 AB上的高与 ACD的 AC 上的高分别为 h1，h2， h1=h2， ABD与 ACD的面积之比=AB：AC=4：3，
22、故答案为 4：3 点评： 本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键 2. （2015江苏宿迁，第 14 题 3分）如图，在 Rt ABC 中，ACB=90，点 D，E，F分别为 AB，AC，BC的中点若 CD=5，则 EF的长为 5 考点： 三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线. 分析： 已知 CD是 Rt ABC 斜边 AB 的中线，那么 AB=2CD；EF是 ABC 的中位线，则EF应等于 AB 的一半 解答： 解：ABC 是直角三角形，CD 是斜边的中线， CD= AB， 又EF是 ABC 的中位线， AB=2CD=25=10cm， E
23、F= 10=5cm 故答案为：5 点评： 此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识， 用到的知识点为： （1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半； （2）三角形的中位线等于对应边的一半 3. （2015江苏盐城，第 14 题 3分）如图，点 D、E、F分别是 ABC各边的中点，连接 DE、EF、DF若 ABC 的周长为 10，则 DEF的周长为 5 11 考点： 三角形中位线定理 分析： 由于 D、E分别是 AB、BC的中点，则 DE是 ABC的中位线，那么 DE= AC，同理有 EF= AB，DF= BC，于是易求 DEF的周长 解答： 解：如上图所示， D、E 分别是
24、 AB、BC的中点， DE是 ABC 的中位线， DE= AC， 同理有 EF= AB，DF= BC， DEF的周长= （AC+BC+AB）= 10=5 故答案为 5 点评： 本题考查了三角形中位线定理解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系 4 （2015枣庄,第 14 题 4分）如图，平面上直线 a，b 分别经过线段 OK两端点（数据如图） ，则 a，b 相交所成的锐角是 30 考点： 三角形的外角性质. 分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解 解答： 解：由三角形的外角性质得，a，b相交所成的锐角的度数是 10070=30 故答案为：30 点评：
25、本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质， 熟记性质是解题的关键 12 5.（2015昆明第11题，3分）如图，在ABC中，AB=8，点D、E分别是BC、CA的中点，连接DE，则DE= 4 考点： 三角形中位线定理. 分析： 根据三角形的中位线等于第三边的一半即可得出DE= AB=4 解答： 解：在ABC中，点D、E分别是BC、CA的中点，AB=8， DE是ABC的中位线， DE= AB= 8=4 故答案为4 点评： 本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键 6. （2015 年浙江年浙江衢州衢州 12，4 分）分）如图，
26、小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高EF为 0.6 米，E是AB的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度BC等于 米. 【答案】【答案】1.2. 【考点】【考点】三角形中位线定理 【分析】【分析】,EFACBCAC ，/ /EFBC. E是AB的中点，EF是ABC的中位线. 0.6EF 米，1.2BC 米. 7.（2015四川巴中,第 13 题 3 分）若 a、b、c 为三角形的三边，且 a、b 满足+（b2）2=0，则第三边 c 的取值范围是 1c5 13 考点： 三角形三边关系；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根 分析： 根据非负数的性质列式求出 a、b，再根据三角形的任意两边之和大
27、于第三边，两边只差小于第三边求解即可 解答： 解：由题意得，a29=0，b2=0， 解得 a=3，b=2， 32=1，3+2=5， 1c5 故答案为：1c5 点评： 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 0；三角形的三边关系 8.（2015四川巴中,第 19 题 3 分）如图，在ABC 中，AB=5，AC=3，AD、AE 分别为ABC的中线和角平分线，过点 C 作 CHAE 于点 H，并延长交 AB 于点 F，连结 DH，则线段 DH 的长为 1 考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质 分析： 首先证明ACF 是等腰三角形，则 AF=AC=3，HF=CH
28、，则 DH 是BCF 的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解 解答： 解：AE 为ABC 的角平分线，CHAE， ACF 是等腰三角形， AF=AC， AC=3， AF=AC=3，HF=CH， AD 为ABC 的中线， DH 是BCF 的中位线， DH= BF， AB=5， BF=ABAF=53=2 DH=1， 故答案为 1 点评： 本题考查了等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明 HF=CH 是关键 9（2015云南,第14题3分）如图，在ABC中，BC=1，点 P1，M1分别是 AB，AC边的中点，点 P2，M2分别是 AP1，AM1的中点，点 P3，M3分别是 AP2，AM2
29、的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为 （n为正整数） 14 考点： 三角形中位线定理 专题： 规律型 分析： 根据中位线的定理得出规律解答即可 解答： 解：在ABC中，BC=1，点 P1，M1分别是 AB，AC边的中点，点 P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点 P3，M3分别是 AP2，AM2的中点， 可得：P1M1= ，P2M2=，故 PnMn=， 故答案为： 点评： 此题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答 10. （20152015 江苏江苏淮安淮安第第 1717 题）题）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含 300角的三角尺的短直角边和含 450角的三角尺的
30、一条直角边重合，则1 的度数是 0。 11. （20152015 江苏江苏连云港连云港第第 1515 题题 3 分分）在ABC 中，AB4，AC3，AD 是ABC 的角平分线，则ABD 与ACD 的面积之比是 【思路分析】作 DEAB，DFAC，垂足分别为 E、F，根据角平分线的性质可得 DEDF，SABD12ABDE，SACD12ACDF，所以 SABD：SACDAB：AC4：3 【答案】4:3 【点评】本题考查角平分线的性质与等积变形 FEDABC 12 （3分） （2015聊城） 如图， 在 ABC 中， C=90， A=30， BD是ABC的平分线 若AB=6，则点 D到 AB 的距离
31、是 15 考点： 角平分线的性质. 分析： 求出ABC，求出DBC，根据含 30度角的直角三角形性质求出 BC，CD，问题即可求出 解答： 解：C=90，A=30， ABC=1803090=60， BD是ABC 的平分线， DBC= ABC=30， BC= AB=3， CD=BCtan30=3=， BD是ABC 的平分线， 又角平线上点到角两边距离相等， 点 D到 AB 的距离=CD=， 故答案为： 点评： 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键 13 （2015衡阳, 第18题3分）如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度 AB，选取可以直达 A、B两点的点
32、 O 处，再分别取 OA、OB的中点 M、N，量得 MN=20m，则池塘的宽度 AB为 40 m 考点： 三角形中位线定理 专题： 应用题 分析： 根据题意知MN是ABO的中位线， 所以由三角形中位线定理来求AB的长度即可 解答： 解：点 M、N 是 OA、OB的中点， MN是ABO 的中位线， AB=AMN 16 又MN=20m， AB=40m 故答案是：40 点评： 此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半 三.解答题 1、(2015 年陕西省,18,5分)如图，已知 ABC，请用尺规过点 A作一条直线，使其将 ABC分成面积相等的两部分 （保留作图痕
33、迹，不写作法） 考点： 作图复杂作图. 分析： 作 BC边上的中线，即可把 ABC分成面积相等的两部分 解答： 解：如图，直线 AD即为所求： 点评： 此题主要考查三角形中线的作法，同时要掌握若两个三角形等底等高，则它们的面积相等 2 （2015怀化，第 17题 8 分）已知：如图，在ABC 中，DE、DF是ABC的中位线，连接 EF、AD，其交点为 O求证： （1）CDEDBF； （2）OA=OD 17 考点： 全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理 专题： 证明题 分析： （1）根据三角形中位线，可得 DF与 CE 的关系，DB与 DC 的关系，根据 SAS，可得答案； （2）根据三角形的中位线，可得 DF与 AE 的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案 解答： 证明： （1）DE、DF是ABC的中位线， DF=CE，DFCE，DB=DC DFCE， C=BDF 在CDE 和DBF中， CDEDBF （SAS） ； （2）DE、DF是ABC的中位线， DF=AE，DFAE， 四边形 DEAF是平行四边形， EF与 AD交于 O 点， AO=OD 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质， （1）利用了三角形中位线的性质，全等三角形的判定； （2）利用了三角形中位线的性质，平行四边的性的判定与性质