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1、 1 锐角三角函数与特殊角锐角三角函数与特殊角 一.选择题 1. （20152015 广西崇左广西崇左第第 1010 题题 3 3 分）分）如图，在 Rt ABC 中，C=90，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确的是（ ） A sinA= B cosA= C tanA= D tanB= A【解析】AC =22BC-AB=5.sinA=1312ABBC，故 A 正确；cosA=135ABAC，故 B错误；tanA=512ACBC,故 C 错误；tanB=125BCAC,故 D 错误. 点评：点评：在 RtABC 中，C=90，则 sinA=斜边的对边A，cosA=斜边的邻边A，tan
2、 A=的邻边的对边AA求直角三角形中某锐角的三角函数值，常常利用勾股定理求出有关边长来解决 2 （2015滨州,第 2 题 3 分）下列运算：sin30=，=2，0=，22=4，其中运算结果正确的个数为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 考点： 特殊角的三角函数值；算术平方根；零指数幂；负整数指数幂 分析： 根据特殊角三角函数值，可判断第一个； 根据算术平方根，可判断第二个； 根据非零的零次幂，可判断第三个； 根据负整数指数幂，可判断第四个 解答： 解：sin30= ， =2， 0=1， 22= ， 故选：D 2 点评： 本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键，注意负整
3、数指数幂与正整数指数幂互为倒数 3 （2015本溪，第 9 题 3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴交于点 A（2，0） ，与 x 轴夹角为 30，将ABO 沿直线 AB 翻折，点 O 的对应点 C 恰好落在双曲线 y=（k0）上，则 k 的值为（ ） A 4 B 2 C D 考点： 翻折变换（折叠问题） ；待定系数法求反比例函数解析式. 分析： 设点 C 的坐标为 （x， y） ， 过点 C 作 CDx 轴， 作 CEy 轴， 由折叠的性质易得CAB=OAB=30，AC=AO=2，ACB=AOB=90，用锐角三角函数的定义得 CD，CE，得点 C 的坐标，易得 k 解答：
4、 解：设点 C 的坐标为（x，y） ，过点 C 作 CDx 轴，作 CEy 轴， 将ABO 沿直线 AB 翻折， CAB=OAB=30，AC=AO=2，ACB=AOB=90， CD=y=ACsin60=2=， ACB=DCE=90， BCE=ACD=30， BC=BO=AOtan30=2=， CE=x=BCcos30=1， 点 C 恰好落在双曲线 y=（k0）上， k=xy=1=， 故选 D 3 点评： 本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数，反比例函数的解析式，理解翻折的性质，求点 C 的坐标是解答此题的关键 4. （2015 年浙江年浙江衢州衢州 9，3 分）分）如图，已知“人字梯”的 5
5、 个踩档把梯子等分成 6 份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条 60cm长的绑绳EF，5tan2， 则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是【 】 A. 144cm B. 180cm C. 240cm D. 360cm 【答案】【答案】B 【考点】【考点】平行线分线段成比例 【分析】【分析】“人字梯”的 5 个踩档把梯子等分成 6 份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条 60cm长的绑绳EF， 512AFAC. / /EFBC，AEFABC.EFAFBCAC. 60512BC，解得144BC . 5tan2，即55180127222ADADADcmBC. 故选 B 4
6、 5. （2015温州第 5 题 4 分） 如图， 在 ABC 中， C=90， AB=5， BC=3， 则 cosA 的值是 （ ） A B C D 考点： 锐角三角函数的定义. 分析： 根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可 解答： 解：AB=5，BC=3， AC=4， cosA= 故选 D 点评： 本题考查锐角三角函数的定义及运用： 在直角三角形中， 锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 6 （2015甘肃庆阳，第 7 题，3 分）在 ABC 中，若角 A，B 满足|cosA|+（1tanB）2=0，则C 的大小是（ ） A45 B 60 C 75 D105 考点：
7、特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方. 分析： 根据非负数的性质得出 cosA=，tanB=1，求出A 和B 的度数，继而可求得C 的度数 解答： 解：由题意得，cosA=，tanB=1， 则A=30 ，B=45 ， 则C=180 30 45 =105 故选 D 点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角 7. （2015黄石第 14 题 3 分）如图，圆 O 的直径 AB=8，AC=3CB，过 C 作 AB 的垂线交圆 O于 M，N 两点，连结 MB，则MBA 的余弦值为 5 考点： 垂径定理；解直角三角形. 分析： 如图，作辅助线；求出
8、BC 的长度；运用射影定理求出 BM 的长度，借助锐角三角函数的定义求出MBA 的余弦值，即可解决问题 解答： 解：如图，连接 AM； AB=8，AC=3CB， BC= AB=2： AB 为O 的直径， AMB=90； 由射影定理得： BM2=ABCB， BM=4，cosMBA= ， 故答案为 点评： 该题主要考查了圆周角定理及其推论、射影定理、锐角三角函数的定义等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论、射影定理等知识点来分析、判断、解答 8.（2015烟台,第 7 题 3 分） 如图，BD 是菱形 ABCD 的对角线，CEAB 于点
9、E，且点 E 是AB 的中点，则tanBFE的值是（ ） A12 B. 2 C. 33 D. 3 考点：菱形的性质与锐角三角函数 6 9. （2015江苏南通，第 6 题 3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 OA 过点（2，1） ，则 tan 的值是（ ） A B C D2 考点： 解直角三角形；坐标与图形性质. 分析： 设（2，1）点是 B，作 BCx 轴于点 C，根据三角函数的定义即可求解 解答： 解：设（2，1）点是 B，作 BCx 轴于点 C 则 OC=2，BC=1， 则 tan= 故选 C 点评：本题考查了三角函数的定义，理解正切函数的定义是关键 二.填空题 1 （2015济南,
10、第 20 题 3 分）如图，等边三角形 AOB 的顶点 A 的坐标为（4，0） ，顶点 B在反比例函数 y= （x0）的图象上，则 k= 4 分析：因为在菱形 ABCD 中，AB=BC，E 为 AB 的中点，所以 BE=12BC，又因为 CEAB，所以BCA 为直角三角形， BCE=30， EBC=60， 又因为菱形的对角线平分每一组对角， 所以EBF=12EBC=30，所以BFE=60，所以 tanBFE=3 解答：故选 D 点评：运用到的知识点有直角三角形的中线性质，以及菱形的性质，最后算出BFE 后还用到特殊角的三角函数。 7 考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质 分析
11、： 过点 B 作 BDx 轴于点 D，因为 AOB 是等边三角形，点 A 的坐标为（4，0）所AOB=60 ，根据锐角三角函数的定义求出 BD 及 OD 的长，可得出 B 点坐标，进而得出反比例函数的解析式； 解答： 解：过点 B 作 BDx 轴于点 D， AOB 是等边三角形，点 A 的坐标为（4，0） ， AOB=60 ，OB=OA=AB=4， OD= OB=2，BD=OBsin60 =4 =2 ， B（2，2 ） ， k=2 2 =4 ； 故答案为4 点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、 等边三角形的性质、 解直角三角函数等知识，难度适中 2 （3 分） （2015桂林） （
12、第 16 题）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=8，BC=6，CDAB，垂足为 D，则 tanBCD 的值是 考点： 解直角三角形 分析： 先求得A=BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可 解答： 解：在 RtABC 与 RtBCD 中，A+B=90，BCD+B=90 A=BCD tanBCD=tanA= = 故答案为 8 点评： 本题考查了解直角三角形， 三角函数值只与角的大小有关， 因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值 3.（2015曲靖第 12 题 3 分）如图，在半径为 3 的O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，连接 AC，BD，若
13、AC=2，则 cosD= 考点： 圆周角定理；解直角三角形. 分析： 连接 BC，根据同弧所对的圆周角相等得到D=A，在直角三角形 ABC 中，根据余弦的定义即可得到结果 解答： 解：连接 BC， D=A， AB 是O 的直径，ACB=90， AB=32=6，AC=2， cosD=cosA= = 故答案为： 点评： 本题考查了圆周角定理，解直角三角形，连接 BC 构造直角三角形是解题的关键 4.（2015四川巴中,第 18 题 3 分）如图，将AOB 放在边长为 1 的小正方形组成的网格中，则 tanAOB= 考点： 锐角三角函数的定义 专题： 网格型 分析： 先在图中找出AOB 所在的直角三
14、角形，再根据三角函数的定义即可求出 tanAOB 的值 9 解答： 解：过点 A 作 ADOB 垂足为 D， 如图，在直角ABD 中，AD=1，OD=2， 则 tanAOB= 故答案为 点评： 本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边 三.解答题 1 （2015永州，第 19 题 6 分）计算：cos30+（ ）2 考点： 实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值. 专题： 计算题 分析： 原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项化为最简二次根式，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果 解答： 解：原式=+4=4 点
15、评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 2.(2015 年浙江省义乌市中考,17,4 分)计算：10)21(41) 1(45cos2； 考点：特殊角的三角函数值. 专题：计算题 分析：原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用算术平方根定义计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果； 点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 3 （2015东营,第 19 题 7 分） （1）计算： （1）2015+（3）0+|3|+（tan30）1 （2）解方程组： 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解二元一次方程组；特
16、殊角的三角函数值 专题： 计算题 10 分析： （1）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用零指数幂法则计算， 第四项利用绝对值的代数意义化简， 最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果； （2）方程组利用加减消元法求出解即可 解答： 解： （1）原式=13+1+3+=0； （2）， +得：3x=15，即 x=5， 把 x=5代入得：y=1， 则方程组的解为 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 4 （2015怀化，第 15 题 8 分）计算： 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 专题： 计算题 分析： 原
17、式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算， 第四项利用零指数幂法则计算， 最后一项利用算术平方根的定义计算即可得到结果 解答： 解：原式=1+421+3=+1 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 5 （2015娄底，第 19 题 6 分）计算： （1.414）0+（）1+2cos30 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 专题： 计算题 分析： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果 解答： 解：原式=1+3+2
18、=4 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 6 （2015娄底，第 22 题 8 分）“为了安全，请勿超速”如图，一条公路建成通车，在某直线路段 MN 限速 60 千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路 MN 旁设立了观测点 C，从观测点 C 测得一小车从点 A 到达点 B 行驶了 5 秒钟，已知CAN=45，CBN=60，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由 （参考数据：1.41，1.73） 11 考点： 勾股定理的应用 分析： 根据题意结合锐角三角函数关系得出 BH，CH，AB 的长进而求出汽车的速度，进而得出答案 解答： 解：此车没有超速 理由：过 C 作
19、CHMN， CBN=60，BC=200 米， CH=BCsin60=200=100（米） ， BH=BCcos60=100（米） ， CAN=45， AH=CH=100米， AB=10010073（m） ， 60 千米/小时=m/s， =14.6（m/s）16.7（m/s） ， 此车没有超速 点评： 此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出 AB 的长是解题关键 7.（2015营口，第 19 题 10 分）先化简，再求值：（1） 其中m 满足一元二次方程 m2+（5tan30）m12cos60=0 考点： 分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法；特殊角的三角函数值 12 专题
20、： 计算题 分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，求出 m 的值代入计算即可求出值 解答： 解：原式= ， 方程 m2+（5tan30）m12cos60=0，化简得：m2+5m6=0， 解得：m=1（舍去）或 m=6， 当 m=6 时，原式= 点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 8.（2015青海西宁第 21 题 7 分）计算：2sin60+|2|+ 考点： 实数的运算；特殊角的三角函数值. 分析： 分别根据特殊角的三角函数值、 绝对值的性质及数的开方法则计算出各数
21、， 再根据实数混合运算的法则进行计算即可 解答： 解：原式=2+2+2 =2+2 点评： 本题考查的是实数的运算， 熟知特殊角的三角函数值、 绝对值的性质及数的开方法则是解答此题的关键 9.（2015四川凉山州第 18 题 6 分）计算：32+|3| 考点： 二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值. 分析： 分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可 解答： 解：32+|3| =9+3 = 点评： 此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、 绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键 10.（2015四川遂宁第 16 题 7 分）计算：13+6sin60+（3.14）
22、0+| 考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值. 专题： 计算题 分析： 原式第一项利用乘方的意义化简， 第二项化为最简二次根式， 第三项利用特殊角的三角函数值计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果 13 解答： 解：原式=13+6+1+= 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 11 （2015甘肃庆阳，第 21 题，8 分）计算： （2）0+（ ）1+4cos30 | 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值. 专题： 计算题 分析： 原式第一项利用零指数幂法则计算， 第二项利用负指数幂法则
23、计算， 第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果 解答： 解：原式=1+3+42 =4 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 12 （2015甘肃天水，第 13 题，4 分）如图，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1的O 在格点上，则AED 的正切值为 考点： 圆周角定理；锐角三角函数的定义 专题： 网格型 分析： 根据圆周角定理可得AED=ABC，然后求出 tanABC 的值即可 解答： 解：由图可得，AED=ABC， O 在边长为 1 的网格格点上， AB=2，AC=1， 则 tanABC=， tanAED= 故
24、答案为： 点评： 本题考查了圆周角定理和锐角三角形的定义，解答本题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等 13 （2015湖南湘西州，第 19 题，5 分）计算：3220150+tan45 14 考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值. 分析： 分别进行乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值等运算，然后合并 解答： 解：原式=91+1 =9 点评： 本题考查了实数的运算，涉及了乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题 14 （2015江苏镇江，第 18 题，8 分） （1）计算：（ ）02sin60 考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值. 分析： （1）先化简二次根式，
25、计算 0 指数幂与特殊角的三角函数，再算加减； 解答： 解： （1）原式=412 =413 =0； 此题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键 15.（2015黄石第 17 题 7 分）计算：+|+2sin45+0+（ ）1 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值. 专题： 计算题 分析： 原式第一项化为最简二次根式，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果 解答： 解：原式=2+2+1+2=3 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题
26、的关键 16 （2015青岛,第 19 题 6 分）小明在热气球 A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥 BC，并测得 B， C 两点的俯角分别为 45， 35 已知大桥 BC 与地面在同一水平面上， 其长度为 100m，请求出热气球离地面的高度 （结果保留整数） （参考数据：sin35，cos35 ，tan35） 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析： 作 ADBC 交 CB 的延长线于 D， 设 AD 为 x， 表示出 DB 和 DC， 根据正切的概念求出 x 的值即可 解答： 解：作 ADBC 交 CB 的延长线于 D，设 AD 为 x， 由题意得，ABD=45，ACD=35， 1
27、5 在 Rt ADB 中，ABD=45， DB=x， 在 Rt ADC 中，ACD=35， tanACD=， =， 解得，x233m 点评： 本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形 17. （2015江苏连云港，第 25 题 10 分）如图，在 ABC 中，ABC=90，BC=3，D 为 AC延长线上一点，AC=3CD，过点 D 作 DHAB，交 BC 的延长线于点 H (1）求 BDcosHBD 的值； (2）若CBD=A，求 AB 的长 考点： 相似三角形的判定与性质；解直角三角形 分析： （1）首
28、先根据 DHAB，判断出 ABCDHC，即可判断出=3；然后求出BH 的值是多少， 再根据在 Rt BHD 中， cosHBD=， 求出 BDcosHBD 的值是多少即可 (2）首先判断出 ABCBHD，推得；然后根据 ABCDHC，推得，所以 AB=3DH；最后根据，求出 DH 的值是多少，进而求出 AB 的值是多少即可 解答： 解： （1）DHAB， BHD=ABC=90， ABCDHC， =3， CH=1，BH=BC+CH， 在 Rt BHD 中， 16 cosHBD=， BDcosHBD=BH=4 (2）CBD=A，ABC=BHD， ABCBHD， ， ABCDHC， ， AB=3DH
29、， ， 解得 DH=2， AB=3DH=32=6， 即 AB 的长是 6 点评： （1）此题主要考查了相似三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形； 或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可 (2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握 18. （2015江苏宿迁，第 17 题 6 分）计算：cos6021+（3）0 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值. 专题： 计算题 分析： 原式第一项利用特殊角的三角函数值计算， 第二项利用负整数指数幂法则计算， 第三项利用二次根式性质化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果 解答： 解：原式= +21 =1 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键