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1、北师大版初中数学定理知识点汇总九年级(下册)第一章 直角三角形边的关系一. 正切：定义：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，即;tanA是一个完整的符号，它表示A的正切，记号里习惯省去角的符号“”；tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比；tanA不表示“tan”乘以“A”；初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角的正切；tanA的值越大，梯子越陡，A越大； A越大，梯子越陡，tanA的值越大。二. 正弦：定义：在RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即;三. 余弦：定义：在RtABC中，锐角A的邻边与斜边的比
2、叫做A的余弦，记作cosA，即;余切：定义：在RtABC中，锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作cotA，即;一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。030 45 60 90 sin01cos10tan01cot10（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若A为锐角，则； ； 当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当图1角度在090间变化时，正弦值、正切
3、值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。同角的三角函数间的关系：倒数关系：tgctg=1。在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 (1)三边之间的关系：a2+b2=c2；(2)两锐角的关系：AB=90；图2hi=h:llABC (3)边与角之间的关系：(4)面积公式:(hc为C边上的高); 图4(5)直角三角形的内切圆半径图3 (6)直角三角形的
4、外接圆半径解直角三角形的几种基本类型列表如下：解直角三角形的几种基本类型列表如下： 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45、135、225。指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。第二章 二次函数二次函数的概念：形如的函数，叫做x的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。 是二次函数的特例，此时常数b=c=0.在写二次函数的关系式时，一定
5、要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。二次函数yax2的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。函数的定义域是全体实数；抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。函数的增减性：A、当a0时 B、当a0时当a越大，抛物线开口越小；当a越小，抛物线的开口越大。最大值或最小值：当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0；当a0，且x0
6、时函数有最大值，最大值是0二次函数的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线二次函数的图象是以为对称轴，顶点在（，）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。二次函数的图象与yax2的图象的关系： 的图象可以由yax2的图象平移得到，其步骤如下： 将配方成的形式；（其中h=，k=）；把抛物线向右（h0）或向左
7、（h0）或向下（k0，则当x时，y随x的增大而增大。若a0，则当x时，y随x的增大而减小。最值：若a0，则当x=时，；若a0 抛物线与x轴有2个交点； =0 抛物线与x轴有1个交点； 0 抛物线与x轴有0个交点（无交点）；当0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：化简后即为： - 这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。第三章 圆一. 车轮为什么做成圆形1. 圆的定义： 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O” 集合性定义：圆是平
8、面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。2. 点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 点在圆上 d=r;点在圆内 dr;点在圆外 dr.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。二. 圆的对称性: 1. 与圆相关的概念：弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。弧、半圆、优弧
9、、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称
10、轴。3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： 过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.三. 圆周角和圆心角的关系:1. 1的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成3
11、60份时,每一份的角都是1的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1弧.2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成AOB= ,这是错误的.3. 圆周角的定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.4. 圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；四. 确定圆的条件:1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径
12、决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2. 经过三点作圆要分两种情况:(1) 经过同一直线上的三点不能作圆.(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念: (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.五. 直线与圆的位置关系1. 直线和圆
13、相交、相切相离的定义:(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.2. 直线与圆的位置关系的数量特征: 设O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；dr 直线L和O相交.d=r 直线L和O相切.dr 直线L和O相离.3. 切线的总判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.4. 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2 经过切点且垂直于切
14、线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.垂直于切线; 过切点; 过圆心.5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.6. 三角形内心的性质: (1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.六. 圆和圆的位置关系.1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关
15、系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.2. 两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离 d
16、R+r(2)两圆外切 d=R+r(3)两圆相交 R-rdR+r (Rr)(4)两圆内切 d=R-r (Rr)(5)两圆内含 dr)3. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.4. 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.七. 弧长及扇形的面积1. 圆周长公式: 圆周长C=2R (R表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)3. 扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4. 弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.5. 圆的面积公式.圆的面积 (R表示圆的半
17、径)6. 扇形的面积公式:扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)图5弓形的面积公式:(如图5)(1)当弓形所含的弧是劣弧时, (2)当弓形所含的弧是优弧时, (3)当弓形所含的弧是半圆时, 八. 圆锥的有关概念:1. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.2. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为
18、c,那么它的侧面积是:_图6_P_O_B_A九. 与圆有关的辅助线1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.十. 圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征: 圆内接四边形的对角互补; 圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.十一.北师版数学未出理的有关圆的性质定理1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心
19、和这一点的连线平分两条切线的夹角。_O_C_D_A_B如图6，PA，PB分别切O于A、BPA=PB，PO平分APB2弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。如图7，CD切O于C，则，ACD=B 3和圆有关的比例线段： 相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；_图7推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。如图8，APPB=CPPD如图9，若CDAB于P，AB为O直径，则CP2=APPB4切割线定理切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长
20、的比例中项；推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。如图10， PT切O于T，PA是割线，点A、B是它与O的交点，则PT2=PAPBPA、PC是O的两条割线，则PDPC=PBPA5两圆连心线的性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。如图11，O1与O2交于A、B两点，则连心线O1O2AB且AC=BC。6两圆的公切线两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。如图12，AB分别切O1与O2于A、B，连结O1A，O2B，过O2作O2CO1A于C，公切线长为l，两圆的圆心距为d，半径分别为
21、R，r则外公切线长：如图13，AB分别切O1与O2于A、B，O2CAB，O2CO1C于C，O1半径为R，O2半径为r，则内公切线长： _图9_P_A_B_C_D_O_图10_B_D_C_O_A_T_P_O_B_D_P_A_C图8_图12_O_1_B_A_r_R_C_d_O_2_O_2_d_C_R_r_A_B_O_1_图13_图11_B_C_A_O_2_O_1第四章 统计与概率1. 实验频率与理论概率的关系只是在实验次数很多时,实验频率接近于理论概念,但实验次数再多,也很难保证实验结果与理论值相等,这就是“随机事件”的特点.三. 游戏公平吗?1. 游戏的公平性是指游戏双方各有50%赢的机会,或者游戏多方赢的机会相等.2. 表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率.一个事件发生的概率取值在0与1之间.3. 概率的预测的计算方法:某事件A发生的概率:4. 用分析的办法求事件发生的概率要注意关键性的两点:(1)要弄清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果;(2)要弄清楚所有机会均等的结果.（注：表示重点部分；表示了解部分；表示仅供参阅部分；） 10