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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 北师大版中学数学定理学问点汇总 第一章 证明 二 九年级 上册 等腰三角形的“ 三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合； 等边三角形是特殊的等腰三角形,作一条等边三角形的三线合一线,将等边三角形分成两个全等的直角三角形,其中一个锐角等于30o,这它所对的直角边必定等于斜边的一半； 有一个角等于 60o的等腰三角形是等边三角形； 假如知道一个三角形为直角三角形第一要想的定理有：勾股定理：a2b2c2（留意区分斜边与直角边）在直角三角形中,如有一个内角等于30o,那么它所对的直角边等于斜边的一半在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边
2、的一半（此定理将在第三章显现） 垂直平分线 是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线；（留意着重号的意义） 线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等； 线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上； 三角形的三边的垂直平分线交于一点,并且这个点到三个顶点的距离相等；（如图 1 所示,AO=BO=CO ）A A F D O O C C B B 图 2 E 图 1 角平分线上的点到角两边的距离相等； 角平分线逆定理：在角内部的,假如一点到角两边的距离相等,就它在该角的平分线上；角平分线是到角的两边距离相等的全部点的集合； 三角形三条角平分线交于一点,并且交点到
3、三边距离相等,交点即为三角形的内心；如图 2 所示, OD=OE=OF 名师归纳总结 其次章一元二次方程第 1 页,共 6 页 只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为ax2bxc0（a、 b、c 为常数, a 0）的形式,这样的方程叫一元二次方程 ； 把ax2bxc0（a、b、c 为常数, a 0）称为一元二次方程的一般形式,a 为二次项系数； b 为一次项系数；c 为常数项； 解一元二次方程的方法：配方法 公式法xb2 b4 ac（留意在找abc 时须先把方程化为一般形式）2 a分解因式法把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解；- - - - - - -精选学习资料 - -
4、 - - - - - - - （主要包括“ 提公因式” 和“ 十字相乘”） 配方法解一元二次方程的基本步骤：把方程化成一元二次方程的一般形式；将二次项系数化成 1；把常数项移到方程的右边；两边加上一次项系数的一半的平方；把方程转化成xm 2a的形式；两边开方求其根； 根与系数的关系：当b2-4ac0 时,方程有两个不等的实数根；x 1、 x2, 就 有 ：当 b2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根；当 b2-4ac0 时,方程无实数根；如 果 一 元 二 次 方 程ax2bxc0的 两 根 分 别 为x 1x2bx 1x 2c；aa 一元二次方程的根与系数的关系的作用：（ 1）已知方程的
5、一根,求另一根；（ 2）不解方程,求二次方程的根x1、x2 的对称式的值,特殊留意以下公式：x 12 x 12 x 2x 1x222 x 1x 24x 1x2x 2|1 x 11x 1x2x2x 1x 2x 22x 1x 224x 1x 2|x 1x2|x 1x22|x 1|x 2|2x 1x 222x 1x 22|x 1其他能用x 1x 2或x 1x 2表达的代数3 x 13 x 2x 1x 233x 1x2x 1x2式；2（3）已知方程的两根 x 1、x 2,可以构造一元二次方程：x x 1 x 2 x x 1 x 2 0（ 4 ）已知两数 x1、 x 2 的和与积,求此两数的问题,可以转
6、化为求一元二次方程2 x x 1 x 2 x x 1 x 2 0 的根 在利用方程来解应用题时,主要分为两个步骤：设未知数 （在设未知数时,大多数情形只要设问题为 x；但也有时也须依据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；查找等量关系 （一般地, 题目中会含有一表述等量关系的句子,程）；只须找到此句话即可依据其列出方名师归纳总结 处理问题的过程可以进一步概括为：问题分析方程求解解答第 2 页,共 6 页抽象检验第三章证明（三） 平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 ,平行四边形不相邻的两顶- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点连成的线段叫
7、做它的对角线； 平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等 ,对角线相互平分； 平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两条对角线相互平分的四边形是平行四边形； 平行线之间的距离：如两条直线相互平行,就其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等；这个距离称为平行线之间的距离；菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形； 菱形的性质： 具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线相互垂直平分,每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴； 菱形的判别方法：
8、一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线相互垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形； 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形；矩形是特殊的平行四边形； 矩形的性质：具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角；（矩形是轴对称 图形,有两条对称轴） 矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形 依据定义 ；对角线相等的平行四边形是矩形；四个角都相等的四边形是矩形； 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形； 正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、有两条对称轴）菱形的一切性质； （正方形是轴对称图形, 正方形常用的判定：有一
9、个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线相互垂直的矩形是正方形；名师归纳总结 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系如图 3 所示 ：第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形； 两条腰相等的梯形叫做等腰梯形；一组邻边相等菱形一个内角为直角正方形 一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形；（或对角线相等）一组邻边相等且一个内角为直角平行四边形（或对角线相互垂直平分）一内角为直角矩形一邻边相等或对角线垂直鹏翔教图3 等腰梯形的性质：等腰梯形同一底
10、上的两个内角相等,对角线相等；同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形； 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半； 夹在两条平行线间的平行线段相等； 在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半 第四章 视图与投影 三视图包括：主视图、俯视图和左视图；三视图之间要保持长对正,高平齐,宽相等；一般地,俯视图要画在主视图的下方,左视 图要画在正视图的右边；主视图：基本可认为从物体正面视得的图象 俯视图：基本可认为从物体上面视得的图象 左视图：基本可认为从物体左面视得的图象 视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面 定不在一个平面上；平面或曲面 ,而相连的两个闭合线框一 在一个外形线框内所包
11、括的各个小线框,肯定是平面体 （或曲面体） 上凸出或凹的各个小 的平面体（或曲面体） ； 在画视图时,看得见的部分的轮廓线通常画成实线,看不见的部分轮廓线通常画成虚线；物体在光线的照耀下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影；太阳光线可以看成平行的光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影 ；探照灯、 手电筒、 路灯的光线可以看成是从一点动身的,像这样的光线所形成的投影称为中心投影； 区分平行投影和中心投影：观看光源；观看影子；眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区； 从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影,是当光线与投影垂直时的投影；点在一个平面上的投
12、影仍是一个点；线段在一个面上的投影可分为三种情形：线段垂直于投影面时,投影为一点；线段平行于投影面时,投影长度等于线段的实际长度；线段倾斜于投影面时,投影长度小于线段的实际长度；平面图形在某一平面上的投影可分为三种情形：平面图形和投影面平行的情形下,其投影为实际外形；平面图形和投影面垂直的情形下,其投影为一线段；平面图形和投影面倾斜的情形下,其投影小于实际的外形；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第五章 反比例函数 反比例函数的概念：一般地,yk（k 为常数, k 0）叫做反比例函数,即y 是 x 的反x比例函数；（
13、 x 为自变量, y 为因变量,其中x 不能为零）1 k0 反比例函数的等价形式：y 是 x 的反比例函数ykk0ykxxxykk0 变量 y 与 x 成反比例,比例系数为k. 看两 判定两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：依据反比例函数的定义判定；个变量的乘积是否为定值；（通常其次种方法更适用） 反比例函数的图象由两条曲线组成,叫做双曲线 反比例函数的画法的留意事项：反比例函数的图象不是直线,所“ 两点法”是不能画的；选取的点越多画的图越精确；画图留意其美观性（对称性、延长特点）； 反比例函数性质：当 k0 时,双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内,y 随 x 的增大而减小；当
14、k0 时,双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内,y 随 x 的增大而增大；双曲线的两支会无限接近坐标轴（x 轴和 y 轴）,但不会与坐标轴相交；P B 反比例函数图象的几何特点: 如图 4 所示 点 Px,y 在双曲线上都有S 矩形OAPB|xy|k|SAOB1|xy|1|k|22第六章频率与概率B P 在频率分布表里,落在各小组内的数据的个数叫做频数；O A A O 每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率； 即：图 4 频率频数频数数据总数试验次数在频率分布直方图中,由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率,而各组频率的和等于1；因此,各个小长方形的面积的和等于1； 频率分
15、布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式,前者精确, 后者直观；用一件大事发生的频率来估量这一件大事发生的概率；可用列表的方法求出概率,但此方法不太适用较复杂情形； 假设布袋内有 m 个黑球,通过多次试验,我们可以估量出布袋内随机摸出一球,它为白球的概率； 要估算池塘里有多少条鱼,我们可先从池塘里捉上 100 条鱼做记号, 再放回池塘, 之后再从池塘中捉上 200 条鱼,假如其中有 10 条鱼是有标记的,再设池塘共有 x 条鱼,就可依照 100 10 估算出鱼的条数； （留意估算出来的数据不是准确的,所以应谓之“ 约是x 200XX ” ）名师归纳总结 生活中存在大量的不确定大事,概率是描述不确定现象的数学模型,它能精确地衡量出事第 5 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 件发生的可能性的大小,并不表示肯定会发生；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页