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1、第三章3.13.33.23.13.1直线的直线的倾斜角和斜率倾斜角和斜率主要内容3.1.13.1.1倾斜角与斜率倾斜角与斜率xyo倾斜角与斜率倾斜角与斜率 对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定呢？两点确定一条直线 还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？ 在直角坐标系中，图中的四条红色直线在位置上有什么联系和区别？经过同一点经过同一点 倾斜程度不同倾斜程度不同xyo倾斜角与斜率倾斜角与斜率oyxloyxl yoxl oyxl 直线的倾斜角直线的倾斜角 当直线当直线l与与x轴相交时，轴相交时，我们取我们取x轴作为基准，轴作为基准，x轴轴正向正向与
2、直线与直线l向上方向所成向上方向所成的角的角 叫做叫做直线直线l 的倾斜角的倾斜角.x xy yo oP Pl1 1l2 2l3 3l4 4l1 1的倾斜角为锐角的倾斜角为锐角l2 2的倾斜角为直角的倾斜角为直角l3 3的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角规定：规定：当直线与当直线与x x轴平行或重合时，它的倾斜角为轴平行或重合时，它的倾斜角为0 0o o0o0?k0? 当直线的倾斜角在什么范围时，其斜率当直线的倾斜角在什么范围时，其斜率k0?k0;,k0;倾斜角为钝角时倾斜角为钝角时,k0;,k0;倾斜角为倾斜角为0 0o o时时,k=0.,k=0.的定义tan求出直线的斜率；k 如果给定直线的倾斜
3、角，我们当然可以根据斜率 如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？4.指出下列直线的倾斜角和斜率： (1) ；xy3(2) ；60tanxy(3).30tan( xy5.结合图形，观察倾斜角变化时，斜率的变化情况xyoxyoxyoxyo111222( ,),(,)p x yp xy12xx经过两点经过两点 , ,且且 的直线的斜率的直线的斜率k k探究：探究：（）xyo222(,)P x y111( ,)P x y21(,)Q x yxyo（）1P2PQxyo（）1P2PQ当直线的方向当直线的方向向上向上时：时：12P P当直线的方向
4、当直线的方向向下向下时，时，12P P同理也有同理也有21122112tanyyyykxxxx2121tanyykxx 图图(1)(1)在在 中，中，12Rt PPQ2121|tan|QPQPPQP2121yyxxtank0tan(180)tanktan图图(2)(2)在中，在中，1 2Rt PPQ221112|QPyyQPxxtan2121yyxxxyo（1）222( ,)P x y111( , )P x y21( , )Q x y1212yyxx斜率公式斜率公式公式的特点公式的特点: :( (1) 1) 与两点的顺序无关与两点的顺序无关; ;(2) (2) 公式表明公式表明, ,直线的斜率
5、可以通过直线的斜率可以通过直线上直线上任意任意两两(3) (3) 当当x1=x2时时, ,公式不适用公式不适用, ,此时此时=90=90o o点的坐标来表示点的坐标来表示, ,而不需要求出而不需要求出直线的倾斜角直线的倾斜角211221 ()yykxxxx111222( ,),(,) P x yP xy经过两点的直线的斜率公式经过两点的直线的斜率公式 1.当直线P1P2平行于x轴或与x轴重合时，用上述公式求斜率. 2.当直线P1P2平行于y轴或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？ 由y1=y2，得 k=0由x1=x2，分母为零，斜率k不存在例例1 1 、如图，已知、如图，已知A(4,2)A
6、(4,2)、B(-8,2)B(-8,2)、C(0,-2)C(0,-2)，求直线求直线ABAB、BCBC、CACA的斜率，并判断这的斜率，并判断这 些直线的些直线的倾斜角是什么角？倾斜角是什么角？yxo. .ABC 直线直线AB的斜率的斜率04822ABk2184)8(022BCk14404)2(2CAk直线直线BC的斜率的斜率直线直线CA的斜率的斜率0ABk 直线直线CA的倾斜角为锐角的倾斜角为锐角直线直线BC的倾斜角为钝角。的倾斜角为钝角。解： 0CAk直线直线AB的倾斜角为零度角。的倾斜角为零度角。 0BCk 例3 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线l1，
7、l2，l3及l4.x xy yo ol1l2 2l3 3l4 4思考：斜率随倾斜角逐渐变大是怎样的变化？ 例2 . 已知点A(3,2)，B(4,1)，C(0,l)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角1,)(, 1 00000 ,45 )135 ,180 )(2)(2)直线的倾斜角为直线的倾斜角为 ，且，且 则直线的斜率则直线的斜率k k的取值范围是的取值范围是 。(3)(3)设直线的斜率为设直线的斜率为k k，且，且 ，则直线，则直线 11k004 51 3 5的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是。例例4 4、(1)(1)直线的倾斜角为直线的倾斜角为 ，且，
8、且 则直线的斜率则直线的斜率k k的取值范围是的取值范围是 。004 56 01, 300129090kk小结：1.由（）（）得出：若 的范围不含，则 范围取中间 若 的范围含，则 范围取两边k2.由（3）得：负k正，应将 值分为正负两部分， 再求角范围xyo(2).(2).过点过点C C的直线的直线 与线段有公共点，与线段有公共点，求求 的斜率的斜率k k的取值范围的取值范围ll例例5 5：已知点，：已知点，01AB（3，2），（-4，1），C（ ， ）(1).(1).求直线求直线ABAB，BCBC，CACA的斜率，并判断这的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角些直线的倾斜角是锐角还是
9、钝角1 2114371 110( 4)21 2103ABBCCAkkk 解：（）122（ ）k 1,+ ) (- ,-锐角锐角钝角钝角锐角锐角xyoABC22322tan244tan231tan71 ( )4k解：一半一半2222122tan2tan3222tan,411 tan1 tan221383 0,33kkkkkk 解：由得： 即解得：或（舍）（舍）例例6 6：已知直线的斜率为，直线：已知直线的斜率为，直线 的倾斜角是的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，求直线直线的倾斜角的两倍，求直线 的斜率的斜率34ll332242lABkk解：错解错解1 直线倾斜角的概念2 直线的倾斜角与斜率的对应关系
10、3 已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？)(2121211212xxxxyyxxyyk小结P86练习：1,2，3，4.P89习题3.1A组：1,2,3,4,5作业0tan18090)(tan900tan90000tan0akakaaakaka不存在不存在xyoxyo3.1.23.1.2两条直线的两条直线的平行与垂直的判定平行与垂直的判定 在平面直角坐标系下，倾斜角可以表示直线的倾斜程度， 斜率也可以表示直线相对于x轴的倾斜程度。我们能否通过直线斜率来判断两条直线的位置关系?o oy yx xl1 1l2 2)(211212xxxxyyk12设两条直线l1，l2的斜率分
11、别为k1，k2若l1/ l2， 则k1，k2满足什么关系？2121/ll2121/kkll且斜率都存在k=tan 反之， 若k1=k2， ，则易得 l1/ l2对于两条不重合的直线，平行的充要条件或斜率都不存在2121/kkll两条直线平行的条件两条直线平行的条件 如果两直线垂直，这两条直线的倾斜角有什么关系？斜率呢？112tan1cottan 如图，设直线如图，设直线l1 1与与l2 2的倾斜角的倾斜角分别为分别为1 1与与2 2，且，且1 12 2，y yl1 1O Ox xl2 21 12 2因为因为l1 1l2 2 ，所以，所以2 2=90=90o o+1 1121kk所以 当k1k2
12、 =-1时，直线l1与l2一定垂直吗？ 是 对于两条互相垂直的直线l1和l2，若一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率如何？ y yo ox xl2 2l1 1y yl1 1O Ox xl2 21 12 2 对于直线对于直线l1 1和和l2 2，其斜率，其斜率分别为分别为k k1 1，k k2 2，根据上述分析，根据上述分析可得什么结论？可得什么结论？ 12121kkll两条直线的垂直判定两条直线的垂直判定 例例1 1 下列说法正确的是（下列说法正确的是（ ）若两条直线斜率相等，则两直线平行。若两条直线斜率相等，则两直线平行。若若l l1 1/l/l2 2， 则则k k1 1=k=k2 2
13、 若两条直线中有一条直线的斜率不存在，若两条直线中有一条直线的斜率不存在， 另一条直线的斜率存在，则两直线相交。另一条直线的斜率存在，则两直线相交。若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行。若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行。 例例2 2 已知已知A A、B B、C C、D D四点的坐标，试判断直线四点的坐标，试判断直线ABAB与与CDCD的位置关系的位置关系. . (1)A(2,3),B(1)A(2,3),B(4,0) C(4,0) C(3,l),D(3,l),D(l,2)l,2)； (2)A( (2)A(6,0),B(3,6) C(0,3),D(6,6,0),B(3,6) C(0,3),
14、D(6,6);6); (3)A( (3)A(6,0),B(3,6) C(0,3),D(6,6,0),B(3,6) C(0,3),D(6,6);6); (4)A(3,4),B(3,100) C( (4)A(3,4),B(3,100) C(10,40),D(10,40).10,40),D(10,40). 例例4.4.已知已知A(2,3),B(-4,0), P(-3,1),Q(-1,2),A(2,3),B(-4,0), P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线试判断直线BABA与与PQPQ的位置关系，并证明你的结论。的位置关系，并证明你的结论。AxyBPQo 例3.已知四边形ABCD的四个顶点分别
15、为A(0,0), B(2,1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.x xo oy yA AB BD DC C 例例5 5 已知过已知过A(-2,m)A(-2,m)和和B(m,4)B(m,4)的直线与斜率为的直线与斜率为- -2 2 的直线平行，则的直线平行，则m m 的值是的值是( )( )A A、-8 B-8 B、0 C0 C、2 D2 D、1010 例例6 6、已知、已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6),A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6),判断直线判断直线ABAB与与PQPQ的位置关系。的位置关系。 例7
16、已知A(5,1),B(1,1),C(2,3),试判断ABC的形状.x xo oy yA AB BC C 例例8 8 已知点已知点A(m,1),B(-3,4),C(1,m),D(-1,m+1), A(m,1),B(-3,4),C(1,m),D(-1,m+1), 分别在下列条件下求实数分别在下列条件下求实数m m的值的值: : （1 1）直线）直线ABAB与与CDCD平行；平行； （2 2）直线）直线ABAB与与CDCD垂直垂直. .1下列命题中正确命题的个数是下列命题中正确命题的个数是()若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；若两条直线平行，则这两条直线
17、的斜率相等；若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等；若两直线垂直，则这两条直线的斜率之积为若两直线垂直，则这两条直线的斜率之积为1；若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等；若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等；若两直线的斜率不存在，则这两条直线平行若两直线的斜率不存在，则这两条直线平行A1B2C3D4AB()2直线直线 l1 的倾斜角为的倾斜角为 30，直线，直线 l1l2，则直线，则直线 l2 的斜率为的斜率为A. 3 B 3 C.33 D 33 3直线直线 l 平行于经过两点平行于经过两点 A(4,1)，B(0,3)的直线，则的直线，则直线的倾斜角为直线的倾斜角为()DA30B45C
18、120D1354原点在直线原点在直线 l 上的射影是上的射影是 P(2,1)，则，则 l 的斜率为的斜率为_.2练习：练习：重难点重难点 1两直线平行两直线平行1已知直线已知直线 l1：yk1xb1 ， l2：yk2xb2，如果如果 l1l2，则，则 k1k2 且且 b1b2；如果如果 k1k2 且且 b1b2，则，则 l1l2.2当当 l1 与与 l2 的斜率都不存在且的斜率都不存在且 l1 与与 l2 不重合时，则不重合时，则 l1 与与 l2平行平行重难点重难点 2两条直线垂直两条直线垂直(1)当当 l1l2 时，它们的斜率之间的关系有两种情况：时，它们的斜率之间的关系有两种情况：它们的
19、斜率都存在且它们的斜率都存在且 k1k21；一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0.(2)使用使用 l1l2k1k21 的前提是的前提是 l1 和和 l2 都有斜率且不等于都有斜率且不等于 0.注意：注意：在立体几何中，两直线的位置关系有平行、相交和异在立体几何中，两直线的位置关系有平行、相交和异面面(没有重合关系没有重合关系)；而在本章中，在同一平面内，两直线有重合、平；而在本章中，在同一平面内，两直线有重合、平行、相交三种位置关系行、相交三种位置关系两条直线平行的判定例例 1：已知直线已知直线 l1 过点过点 A(3，a)，B(a1,4)，
20、直线，直线 l2 过点过点 C(1,2)，D(2，a2)(1)若若 l1l2，求，求 a 的值；的值；(2)若若 l1l2，求，求 a 的值的值思维突破：思维突破：由由 C、D 两点的横坐标可知两点的横坐标可知 l2 的斜率一定存在，的斜率一定存在，由由 A、B 两点的横坐标可知两点的横坐标可知 l1 的斜率可能存在也可能不存在，因此的斜率可能存在也可能不存在，因此应对应对 a 的取值进行讨论的取值进行讨论a3.(2)若若 l1l2，当当 k20 时，此时时，此时 a0，k11，显然不符合题意；，显然不符合题意；当当 k20 时，时，l1 的斜率存在，此时的斜率存在，此时 k11，由于由于 l
21、1l2，k1k21，解得，解得 a3.解：解：设直线设直线 l2的斜率为的斜率为 k2，则，则 k22( (a2) )1( (2) )a3， (1)若若 l1l2，则，则 k1a43( (a1) )(a4)1k2a3， 判断两条直线平行判断两条直线平行( 或垂直或垂直) 并寻求平行并寻求平行( 或垂直或垂直)的条件时，的条件时，特别注意结论成立的前提条件对特殊情形要数形结合作出判断特别注意结论成立的前提条件对特殊情形要数形结合作出判断变式训练：变式训练：试确定试确定 m 的值，使过点的值，使过点 A(m1,0)和点和点 B(5，m)的直线与过点的直线与过点 C(4,3)和点和点 D(0,5)的
22、直线平行的直线平行解：解：由题意得：由题意得：kAB，m05( (m1) )m6mkCD530( (4) )12由于由于ABCD，即，即 kABkCD， 所以所以m6m12，所以，所以 m2. 两条直线垂直的判定例 2：已知 A(1，1)，B(2,2)，C(4,1)，求点 D，使直线 ABCD 且直线 ADBC.y( (1) ) y112 1kAB2( (1) )213，kCD1y， 34x1y14x.又又ADBC, ,kADx1 x1,kBC ，42 2y1x112.由，则由，则 x17，y8，则，则 D(17,8)解：解：设设 D(x，y)，ABCD，变式训练：变式训练：已知三点已知三点
23、A(m1,2)，B(1,1)，C(3，m2m1)，若，若 ABBC，求，求 m 的值的值m2m11 m2m2则则 k231 31，又知又知 xAxBm2，当当m20,即即m2时时, ,k1不存在不存在, ,此时此时k20，则，则ABBC；解：解：设设 AB、BC 的斜率分别为的斜率分别为 k1、k2，故若故若 ABBC，则，则 m2 或或 m3.当当 m20，即，即 m2 时，时，k11m2. 由由 k1k2m2m221m21，得，得 m3， 断四边形 ABCD 是否为梯形？如果是梯形，是否是直角梯形？平行和垂直关系的综合应用又又直线直线 AB 和直线和直线 CD 不重合，不重合，ABCD.解
24、：解：直线直线 AB的斜率的斜率 kAB51202， 直线直线 CD 的斜率的斜率 kCD235( (3) )145( (1) )2，kABkCD. 即直线即直线 AD 与直线与直线 BC 不平行不平行四边形四边形 ABCD 是梯形是梯形ABBC. 梯形梯形 ABCD 是直角梯是直角梯形形直线直线AD的斜率的斜率kAD31104, ,直线直线BC的斜率的斜率kBC2355145212kADkBC又又kABkBC1221， 从而直线 BC 与 DA 不平行，四边形 ABCD 是梯形又kBC37225136，kDA342(4)76，kBCkDA. D(4,4)四点所得的四边形是梯形四点所得的四边形
25、是梯形变式训练：变式训练：求证：顺次连接求证：顺次连接 A(2，3)，B 5，72，C(2,3)， (1)判断一个四边形为梯形，需要两个条件：有一对相互平行的判断一个四边形为梯形，需要两个条件：有一对相互平行的边；另有一对不平行的边边；另有一对不平行的边(2)判断一个四边形为直角梯形，首先需判断一个四边形为直角梯形，首先需要判断它是一个梯形，然后证明它有一个角为直角要判断它是一个梯形，然后证明它有一个角为直角注意陷阱注意陷阱：在直角在直角ABC 中，中，C 是直角，是直角，A(1,3)，B(4,2)，点点 C 在坐标轴上，求点在坐标轴上，求点 C 的坐标的坐标则则 kAC3x1，kBC2x4，
26、ACBC，kACkBC1，即，即6( (x1)( )(x4) )1，x1 或或 x2，故所求点为，故所求点为 C(1,0)或或 C(2,0)正解：正解：(1)当点当点 C 在在 x 轴上时，设轴上时，设 C(x,0)，错因剖析：错因剖析：没有分类讨论，主观认为点没有分类讨论，主观认为点 C 在在 x 轴上导致漏解轴上导致漏解(2)当点当点 C 在在 y 轴上时，设轴上时，设 C(0，y)，由，由 ACBC，知知 kACkBC1，故，故y301y2041， y5 172或或 y5 172. 故故 C 0，5 172或或 C 0，5 172.综上所述：综上所述： C(1,0) 或或C(2,0) 或
27、或或或为所求为所求 C 0，5 172C 0，5 172变式训练：变式训练：已知点 A(2，5)，B(6,6)，点 P 在 y 轴上，且APB90，试求点 P 的坐标即即b( (5) ) b6 1，解得，解得 b7 或或 b6.0( (2) ) 06所以点所以点 P 的坐标为的坐标为(0,7)或或(0，6)解：解：设点设点 P 的坐标为的坐标为(0，b)，则，则 kAPkBP1，1.两条直线平行的判定2.两条直线垂直的判定3.思想方法 倾斜角、平行是几何概念，倾斜角、平行是几何概念， 坐标、坐标、斜率是代数概念，解析几何的本质是用斜率是代数概念，解析几何的本质是用代数方法来研究几何问题代数方法
28、来研究几何问题. .小结小结P89练习：1，2.P90习题3.1 A组：8. B组：3，4.作业作业直线的方程直线的方程3.23.2主要内容直线的点斜式方程直线的点斜式方程3.2.13.2.1 在平面直角坐标系内，如果给定一条直线 经过的一个点 和斜率 ，能否将直线上所有的点的坐标 满足的关系表示出来呢？()000, yxPlk()yx,xyOl0P，00 xxyyk()00 xxkyy即：即：xyOl0P点斜式方程点斜式方程点斜式方程点斜式方程 直线 经过点 ，且斜率为 ,设点 是直线上不同于点 的任意一点，因为直线 的斜率为 ，由斜率公式得：()000, yxPk()yxP,0PlklP
29、（1 1）过点）过点 ，斜率是，斜率是 的直线的直线 上的上的点，其坐标都满足方程点，其坐标都满足方程 吗？吗？()00 xxkyy()000, yxPkl （2 2）坐标满足方程）坐标满足方程 的点都的点都在过点在过点 斜率为斜率为 的直线的直线 上吗？上吗？()00 xxkyy()000, yxPkl 上述两条都成立，所以这个方程上述两条都成立，所以这个方程就是过点就是过点 斜率为斜率为 的直线的直线 的方程的方程k()000, yxPl()00 xxkyy点斜式方程点斜式方程x00 yy0yy ，或，或x xy yO Ol l0Pl的方程就是的方程就是（1 1） 轴所在直线的方程是什么？
30、轴所在直线的方程是什么？ 当直线当直线 的倾斜角为的倾斜角为 时，即时，即 这时直线这时直线 与与 轴轴平行或重合平行或重合，ll000tanx000tanl000tanxl000tan000tanl000tanxl000tan（2 2） 轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？y00 xx0 xx ，或，或当直线当直线 的倾斜角为的倾斜角为 时，直线没有斜率，这时，直线没有斜率，这时时, ,直线直线 与与 轴平行或重合，它的方程不能用点斜轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示这时，直线式表示这时，直线 上每一点的横坐标都等于上每一点的横坐标都等于 ，所以它的方程就是所以它的方程就是l
31、l90ly0 xxyOl0P 例例1 直线直线 l 经过点经过点P0(-2,3),且倾斜角为且倾斜角为600,求直线求直线l的点斜式方程，并画出直线的点斜式方程，并画出直线 l. P P0 0P Px xy yo o 如果直线如果直线 的斜率为的斜率为 ，且与，且与 轴的交点为轴的交点为得直线的点斜式方程，得直线的点斜式方程，lyk()0 xkby()b, 0 也就是：也就是：bkxyxyOl0Pb 我们把直线与我们把直线与 轴交点的纵坐标轴交点的纵坐标叫做直线在叫做直线在y y轴上的轴上的截距。截距。y 该方程由直线的斜率与它在该方程由直线的斜率与它在 轴上的截距确定，轴上的截距确定，所以该
32、方程叫做直线的所以该方程叫做直线的斜截式方程斜截式方程，简称，简称斜截式斜截式. .y直线的斜截式方程直线的斜截式方程 例例2 2 已知直线已知直线 ， 试讨论试讨论：（：（1 1） 的条件是什么？（的条件是什么？（2 2） 的条件是什么？的条件是什么？21/ll222111:bxkylbxkyl，21ll 解：解：222111:bxkylbxkyl，. 121kk21/ll21ll 21kk 21bb ,且且 ； 例3 求下列直线的斜截式方程: （1）经过点A(-1，2)，且与直线 y=3x+1垂直； （2）斜率为-2，且在x轴上的截距为5. 例例4 4 已知直线已知直线 l 的斜率为的斜率
33、为 ，且与两坐标轴围，且与两坐标轴围成的三角形的面积为成的三角形的面积为4 4，求直线，求直线l的方程的方程. .211. 直线的点斜式方程：2. 直线的斜截式方程:()00 xxkyybkxy小结000yyyy或000 xxxx或直线和x轴平行时，倾斜角=0直线与x轴垂直时，倾斜角=903. 特殊情况作业P95练习：1，2，3，4P100习题3.2 A组：1，5，6，10.3.2.23.2.2直线的两点式方程直线的两点式方程 已知直线经过两点已知直线经过两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )，P P2 2(x(x2,2,y y2 2) )，(x(x1 1 x x2 2 ,y,y1
34、 1 y y2 2),),如何求出这两个点的直线方程呢？如何求出这两个点的直线方程呢？ 经过一点，且已知斜率的直线，可以写出它的点斜式方程. 可以先求出斜率，再选择一点，得到点斜式方程.两点式方程两点式方程xylP2(x2，y2)2121yykxx211121()yyyyxxxx两点式P1(x1，y1)112121yyxxyyxx00()yyk xx代入得斜率根据两点根据两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )，P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )，截距式方程xylA(a，0)截距式截距式B(0，b)解：代入两点式方程得化简得1xyab横截距横截距纵截距纵截距 例1. 已知
35、直线经过点A（a，0），B（0，b），a0，b0，求直线方程aaxby000中点坐标公式 已知两点已知两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )，P P2 2(x(x2,2,y y2 2) )则线段则线段P P1 1P P2 2的中的中点点P P0 0的坐标是什么？的坐标是什么？1212(,)22xxyyxyA(x1，y1)B(x2，y2)中点中点121222xxxyyyP0的坐标为 例例2 已知三角形的三个顶点已知三角形的三个顶点 A（-5，0），），B（3，-3），），C（0，2），求），求BC边所在直线的方程，边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程以及该边上中线所在直线的
36、方程.A AB Bx xy yo oC CM M 例例3 3.求经过点求经过点P(-5P(-5，4)4)，且在两坐标轴上的截，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程距相等的直线方程. .P Px xy yo o 例例4 4 求经过点求经过点P(0P(0，3)3)，且在两坐标轴上的截距，且在两坐标轴上的截距之和为之和为2 2的直线方程的直线方程. . 例例5. 5. 已知直线已知直线 l 经过点经过点P(1P(1，2)2)，并且点，并且点A(2A(2，3)3)和点和点 B(4B(4，-5)-5)到直线到直线l 的距离相等，求的距离相等，求直线直线l 的方程的方程. .P Px xy yo oB BA
37、 A直线方程小结直线方程小结两点坐标两点式点斜式两个截距截距式1xyab112121yyxxyyxx00()yyk xxP97练习：1，2.P100习题3.2A组:3,4,8,9,11.作业作业3.2.33.2.3直线的一般式方程直线的一般式方程 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 2. 每一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？讨论 1. 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是关于X，y的二元一次方程 2. 经过点P（x0,y0)且斜率不存在的直线的方程： x-x0=0 可以看成y的系数为0的二元一次方程. 对于二元一次方程 Ax+By+C
38、=0（A,B不全为零）BCxBAy1）当B0时可化为 表示经过点（0， ），斜率k为 的直线.BCBA2) 当B=0时，A0，方程可化为ACx表示垂直于x轴的直线.直线的一般式方程直线的一般式方程（其中A，B不同时为0）0A xB yC1. 所有的直线都可以用二元一次方程表示2. 所有二元一次方程都表示直线此方程叫做直线的一般式方程 例1 已知直线经过点A（6，-4），斜率为 ，求直线的点斜式和一般式方程.43 例2 把直线l 的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.两条直线平行和垂直的条件1111:0lAxB yC2222:0lA
39、xB yC11112222/ABCllABC1212120llA AB B平行垂直重合212121CCBBAA 例例3 3 已知直线已知直线 l1 1：ax+(x+(a+1)y-+1)y-a=0=0 和和 l2 2：( (a+2)x+2(+2)x+2(a+1)y-4=0+1)y-4=0， 若若l1 1/l2 2，求，求a的值的值. . 例例4 4 已知直线已知直线l1 1：x-x-ay-1=0y-1=0和和l2 2: :a2 2x+y+2=0 x+y+2=0，若若l1 1l2 2，求，求a的值的值. .小结小结点斜式00()yyk xx斜率和一点坐标斜截式ykxb斜率k和截距b两点坐标两点式点
40、斜式两个截距截距式1xyab112121yyxxyyxx00()yyk xx一般式一般式0AxByC小结小结1.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式. 反之不一定.2. 特殊的直线方程 如x+2=0, 2y-3=0. 有时不存在点斜式或斜截式、两点式、截距式.3. 根据一般方程也能很快判断两条直线的位置关系.4. 一般不特别指明时直线方程的结果都要化成一般式.P99-100练习：1，2.P101习题3.2B组：1，2，5.作业3.33.3直线的交点坐标与直线的交点坐标与距离公式距离公式主要内容3.3.4两条平行直线间的距离3.3.13.3.1两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标
41、 一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交点坐标？ 用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解.几何概念与代数表示几何元素及关系几何元素及关系代数表示代数表示点点A A直线直线l点点A A在直线在直线l上上直线直线l1 1与与l2 2的交点是的交点是A A( , )A a b:0lAxByC:0lAaBbCA A的坐标满足方程的坐标满足方程A A的坐标是方程组的解的坐标是方程组的解11122200AxB yCA xB yC 对于两条直线 和 , 若方程组 0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl002221
42、11CyBxACyBxA 有唯一解，有无数组解，无解，则两直线的有唯一解，有无数组解，无解，则两直线的位置关系如何？位置关系如何？两直线有一个交点， 重合、平行1: 3420lxy2:220lxy例1. 求下列两条直线的交点坐标当当 变化时，方程变化时，方程342(22)0 xyxy 表示什么图形？图形有何特点？表示什么图形？图形有何特点？表示的直线包括过交点表示的直线包括过交点M M（-2-2，2 2）的一族直线）的一族直线 例例2 2 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出其交点的坐标求出其交点的坐标. 10,lx y ：233 10 0;lxy
43、：1340,lxy：26210;lxy ：13450,lxy ：268100.lxy：（1 1）（2 2）（3 3） 例例3 3 求经过两直线求经过两直线3x+2y+1=0 3x+2y+1=0 和和 2x-3y+5=02x-3y+5=0的交的交点，且斜率为点，且斜率为3 3的直线方程的直线方程. . 例4.设直线y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交，且交点P在第一象限，求k的取值范围.x xy yo oB BA AP P小结 1.求两条直线的交点坐标 2.任意两条直线可能只有一个公共点，也可能没有公共点（平行） 3.任意给两个直线方程，其对应的方程组得解有三种可能可能： 1）有惟一解 2
44、）无解 3）无数多解 4.直线族方程的应用作业P109 习题3.3A组：1，3，5.P110 习题3.3B组：1.3.3.23.3.2两点间的距离两点间的距离 已知平面上两点已知平面上两点P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )和和P P2 2(x(x2 2，y y2 2) )，如何，如何点点P P1 1和和P P2 2的距离的距离|P|P1 1P P2 2| |？xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)O两点间距离公式推导xyP1(x1,y1)P2(x2, y2)Q(x2,y1)O221| |PQyy121| |PQxxx2y2x1y1两点间距离公式22122121|()()PPxxy
45、y22|OPxy特别地，点P（x，y）到原点（0，0）的距离为 一般地，已知平面上两点P1(x1， )和P2(x2，y2)，利用上述方法求点P1和P2的距离为1y 例例1 1 已知点已知点 和和 , , 在在x x轴上轴上求一点求一点P P，使，使|PA|=|PB|PA|=|PB|，并求，并求|PA|PA|的值的值. .( 1,2)A )72,(B 例例2 2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和角线的平方和. .xyA(0,0)A(0,0)B(a,0)B(a,0)C (a+b,c)C (a+b,c)D (b,c)D (b,c) 证明：以A为
46、原点，AB为x轴建立直角坐标系.则四个顶点坐标为A(0,0),B(a,0),D(b,c),C(a+b,c)建立坐标系，用坐标表示有关的量。xyABCD(0,0)(a,0)(b,c)(a+b,c)22|ABa22|CDa222|()ACabc222|ADbc222|BCbc222|()BDbac2222222|2()ABCDADBCabc22222|2()ACBDabc222222|ABCDADBCACBD 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和线的平方和. .例2题解 用用“坐标法坐标法”解决有关几何问题的基本步骤：解决有关几何问题的基本
47、步骤：第一步；建立坐标系，用坐标系表示有关的量第二步：进行有关代数运算第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系小结1.两点间距离公式2.坐标法第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量第二步:进行有关代数运算第三步:把代数运算结果翻译成几何关系22122121|()()PPxxyy拓展)(1212xxkyy 已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距离公式可作怎样的变形？2122122111|1|kyykxxPP 例3 设直线2x-y+1=0与抛物线 相交于A、B两点，求|AB|的值.234y xx P106练习：1
48、，2. P110习题3.3 A组：6，7，8.作业作业3.3.3点到直线的距离点到直线的距离 已知点已知点P P0 0(x(x0 0，y y0 0) )和直线和直线l：Ax +By +C=0Ax +By +C=0，如，如何求点何求点P P到直线到直线 l 的距离？的距离？ x xo oP P0 0Q Qly y 点点P P到直线到直线 l 的距离，是指从点的距离，是指从点P P0 0到直线到直线 l 的的垂线段垂线段P P0 0Q Q的长度，其中的长度，其中Q Q是垂足是垂足分析思路一：直接法分析思路一：直接法直线直线 的方程的方程l直线直线 的斜率的斜率lQPl0直线直线 的方程的方程l直线
49、直线 的方程的方程QP0QP0点点 之间的距离之间的距离 （点（点 到到 的距离）的距离）QP、00Pl点点 的坐标的坐标0P直线直线 的斜率的斜率QP0点点 的坐标的坐标0P点点 的坐标的坐标Qx xy yO O0PlQxyO0PlQ面积法求出面积法求出P0Q 求出点求出点R 的坐标的坐标求出点求出点S 的坐标的坐标利用勾股定理求出利用勾股定理求出SR 分析思路二：用直角三角形的面积间接求法RSd求出求出P0R 求出求出P0S SRRPSPQP000 xyP0 (x0,y0)Ox0y0:0lAxByCS00,AxCxBR00,ByCyA001|2PSP RQd1|2d SR点到直线的距离公式
50、点到直线的距离公式0022|AxByCdAB|00BCyBCByd点点P(xP(x0 0，y y0 0) )到直线到直线 l ：Ax +By +C=0Ax +By +C=0的距离为：的距离为： 特别地，当A=0，B0时， 直线By+C=0|00ACxACAxd特别地，当B=0，A0时， 直线Ax+C=0 xyP0 (x0,y0)O|x1-x0|y1-y0|x0y01yyy11xxx1点到坐标轴的距离xyP0 (x0,y0)O|y0|x0|x0y0 例例1.1.求点求点 到直线到直线 的距离的距离()210，P23:xl解：解：()350321322d思考：还有其他解法吗？ 例例2 2 已知点已