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1、优秀学习资料欢迎下载高二数学空间向量与立体几何测试题第卷（选择题，共50 分）一、选择题： （本大题共10 个小题，每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在下列命题中：若a、b共线，则a、b所在的直线平行；若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，则 空 间 任 意 一 个 向 量p总 可 以 唯 一 表 示 为pxaybzc 其 中 正 确 命 题 的 个 数 为（）A0 B.1 C. 2 D. 3 2在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，向量1D A、1D
2、C、11CA是（）A有相同起点的向量B 等长向量C共面向量D 不共面向量3若向量且向量和垂直向量Rbanbam,(,、则)0（）Anm/B nmCnmnm也不垂直于不平行于 ,D 以上三种情况都可能4已知a（ 2， 1，3） ，b（ 1，4， 2） ，c（ 7，5，） ，若a、b、c三向量共面，则实数等于（）A. 627 B. 637 C. 647 D. 6575直三棱柱ABC A1B1C1中，若CAa，CBb，1CCc， 则1A B（）A.abc B. abc C. abc D. abc6已知a+b+c0，|a| 2，|b| 3，|c| 19，则向量a与b之间的夹角ba,为（）A30B45C
3、 60D以上都不对7若a、b均为非零向量，则| |a ba b是a与b共线的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件8已知 ABC的三个顶点为A（3，3，2） ，B（4， 3，7） ，C（0，5，1） ，则 BC边上的中线长为（）A2 B3 C 4 D 5 9已知的数量积等于与则bakjibkjia35,2,23（）A 15 B 5 C 3 D 1 10已知(1,2,3)OA，(2,1,2)OB，(1,1,2)OP，点 Q在直线 OP上运动，则当QA QB取得最小值时，点Q的坐标为（）A1 3 1(, )2 4 3B1 2 3(,)2 3 4C 4
4、4 8(, )3 3 3D4 4 7(,)3 3 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载EMGDCBA第卷（非选择题，共100 分）二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分）11若 A(m1，n1,3) ，B(2m,n,m2n) ，C(m3,n3,9) 三点共线，则m+n= 1212、若向量1,2 ,2, 1,2ab，,a b夹角的余弦值为89，则等于 _. 13在空间四边形ABCD 中， AC和 BD为对角线，G为 ABC的重心， E是 BD上一点， BE 3ED ，以AB，AC
5、，AD为基底，则GE14已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c, 则m,n的夹角为。15. 在三角形ABC中， A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1),若向量n与平面ABC垂直，且 |m|=21, 则n的坐标为。16. 已知向量a=(+1,0,2) ，b=(6,2-1,2),若a|b,则与的值分别是 . 三、解答题 （本大题共 5小题 , 满分 70分）17(12 分) 已知空间四边形ABCD 的对边 AB与 CD ，AD与 BC都互相垂直，用向量证明：AC与 BD也互相垂直18 （ 14 分） ）如图，在棱长为2 的正方体ABCDA1B1C
6、1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系（ 1）写出A、B1、E、D1的坐标；（ 2）求AB1与D1E所成的角的余弦值19 （ 14 分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点（ 1）求证：EF平面PAD；（ 2）求证：EFCD；（ 3）若PDA45 ，求EF与平面ABCD所成的角的大小B A D C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载20 （ 15 分）在正方体1111DCBAABCD中，如图、分别是1BB，的中点，（1）求证：FD1
7、平面 ADE ；（2） cos1,CBEFzyxFED1C1B1A1DCBA21 （ 15 分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD底面 ABCD ，DCPD，E是 PC的中点，作PBEF交 PB于点 F. （ 1）证明；PA平面EDB；（ 2）证明；PB平面 EFD ；（ 3）求二面角D-PB-C的大小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载x y z ABCDPF E空间向量与立体几何(1) 参考答案一、选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分）题号1 2 3
8、 4 5 6 7 8 9 10 答案A C B D D C A B A C 二、填空题（本大题共4 小题，每小题6 分，共 24 分）110 12 2 13ADACAB4331121 14 6015。 （ 2，-4， -1 ） ， （-2 ，4，1） 16。1 15 2， . 三、解答题（本大题共5 题，共 76 分）17证明：0,CDABCDAB . 又CACBAB，0)(CDCACB即CDCACDCB. 0,BCADBCAD. 又CACDAD，0)(BCCACD即BCCABCCD. 由 +得：0BCCACDCA即0BDCA.BDAC. 18 解： (1) A(2, 2, 0)，B1(2,
9、0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2) (2) AB1 (0, -2, 2) ，ED1 (0, 1, 2) |AB1 | 22 ，|ED1 | 5 ，AB1 ED1 0 242, cos AB1 ，ED1 AB1 ED1 |AB1 | |ED1 |22251010 AB1与ED1所成的角的余弦值为101019证：如图，建立空间直角坐标系Axyz，设AB 2a，BC2b，PA2c，则：A(0, 0, 0) ，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0) ，D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c) E为AB的中点，F为PC的中点E(a, 0, 0)，F(a, b, c)
10、 (1) EF(0, b, c) ，AP (0, 0, 2c) ，AD(0, 2b, 0) EF12(APAD) EF与AP、AD共面又E平面PADEF平面PAD(2) CD( -2a, 0, 0) CDEF( -2a, 0, 0)(0, b, c) 0 CDEF(3) 若PDA45 ，则有 2b2c，即bc， EF(0, b, b) ，AP(0, 0, 2b) cosEF，AP2b22b2b22EF，AP 45AP平面AC，AP是平面AC的法向量EF与平面AC所成的角为：90 EF，AP 45 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4
11、页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载20解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，则 D（0，0， 0） ，A（ 1，0，0） ，1D（0，0， 1） ，E（1，1，21） ，F（0，21，0） ，则FD1（ 0，21， 1） ，AD（ 1，0，0） ，AE（ 0，1，21） ，则DAFD1 0，AEFD10，DAFD1，AEFD1. FD1平面 ADE. （）1B（1，1，1） ，C（0，1，0） ，故1CB（ 1， 0，1） ，EF（ 1，21，21） ，1CBEF 102123，2341411EF，21CB，则 cos2322323,111CBEFCBEFCBEF. 1
12、50,1CBEF. 21解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点 . 设.DCa(1) 证明：连结AC ，AC交 BD于 G.连结 EG. 依题意得( ,0,0),(0,0,),(0,)2 2a aA aPaE底面 ABCD 是正方形，G是此正方形的中心，故点 G的坐标为(,0)2 2a a且( ,0,),(,0,).22aaPAaaEG2PAEG. 这表明EGPA. 而EG平面 EDB且PA平面 EDB ，PA平面 EDB 。(2) 证明：依题意得( , ,0),( , ,)B a aPBa aa。又(0,),2 2a aDE故022022aaDEPBPBDE, 由已知EFPB，且,EF
13、DEE所以PB平面 EFD. (3) 解：设点 F 的坐标为000(,),xyzPFPB则000(,)( , ,)xyzaa aa从而000,(1) .xa ya za所以00011(,)(,() ,() ).2222aaFExyzaaa由条件EFPB知，0PBPE即22211()()0,22aaa解得13。点 F的坐标为2(,),3 33a aa且2(,),(,).3 66333a aaaaaFEFD03233222aaaFDPB, 即PBFD，故EFD是二面角CPBD的平面角 . 691892222aaaaFDPE且aaaaFDaaaaPE369499,66363692222222.16c
14、os.2|66.63aFE FDEFDFEFDaa3EFD, 所以，二面角CPCD的大小为.3zyxFED1C1B1A1DCBAGABCDPyxzEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载空间向量与立体几何(2) 姓名班级第卷（选择题，共50 分）一、选择题： （本大题共10 个小题，每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知 A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O ，下列条件中能确定点M与点 A、B、C一定共面的是（）AOCOBOAOMB OCOB
15、OAOM2COCOBOAOM3121D OCOBOAOM3131312在空间直角坐标系中，已知点( , )P x y z，那么下列说法正确的是（）A 点p关于x轴对称的坐标是1,pxy zB 点p关于yoz平面对称的坐标是2,pxyzC 点p关于y轴对称点的坐标是3,pxy zD 点p关于原点对称点的坐标是4,pxyz3已知向量a（ 1，1， 0） ，b（ 1，0，2） ，且kab与 2ab互相垂直，则k的值是（）A.1 B.51 C.53 D.574已知空间四边形ABCD ，M 、G分别是 BC 、CD的中点， 连结 AM 、AG 、MG ，则AB+1()2BDBC 等于（）A.AG B.
16、CG C. BC D.21BC5在棱长为1 的正方体ABCD A1B1C1D1中，M和 N分别为 A1B1和 BB1的中点，那么直线AM与 CN所成角的余弦值是（）A52 B52 C53 D10106已知向量(0,2,1)a，( 1,1, 2)b，则a与b的夹角为（）A. 0 B. 45 C. 90 D. 1807已知点1,3, 4p，且该点在三个坐标平面yoz平面，zox平面，xoy平面上的射影的坐标依次为111,x y z，222,xyz和333,x yz，则（）A2221230 xyz B.2222310 xyz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
17、- - - -第 6 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载FED1C1B1A1DCBAC. 2223120 xyz D.以上结论都不对8 、 已 知 点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为 线 段AB 上 一 点 ， 且 3 |A CA B , 则 点 的 坐 标 是( ) A.71 5(,)22 2 B.3(, 3,2)8 C.107(, 1, )33 D.57 3(,)22 29、设 A、 B 、C、D是空间不共面的四点，且满足0,0, 0ADACADABACAB则 BCD是（）A. 钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定10、已知正方形ABCD的边长为 4，E、F分
18、别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，则点B到平面EFG的距离为（）A. 1010 B.11112C.53 D.1 第卷（非选择题，共100 分）二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分）11、若(1,1,0),( 1,0,2),abab则同方向的单位向量是_. 12已知 S是 ABC所在平面外一点，D是 SC的中点，若BDxAByACzAS，则xyz13、已知2,4,2, ,26axbyaab，若且，则xy的值为。14、已知向量a和c不共线，向量b0，且()()a bcb ca，dac，则,d b15已知三角形的顶点是(1, 1,1)A，(2,1, 1)B，( 1
19、, 1, 2)C，这个三角形的面积是。16 （如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为。三、解答题 （用向量方法求解下列各题, 共 70 分）17、在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中， E 、 F 分别为 DD1和 BB1的中点（1）证明： AEC1F 是平行四边形；（2）求 AE和 AF之间的夹角的余弦；（3）求四边形AEC1F的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载zyxSBCD
20、AEzyxC1B1A1DGCBA18如图，四边形ABCD 是直角梯形，ABC BAD 90，SA 平面 ABCD ， SAAB BC 1，AD 12（1）求 SC与平面 ASD所成的角余弦；（2）求平面SAB和平面 SCD所成角的余弦19、 如图，在底面是菱形的四棱锥P ABC 中， ABC=600， PA=AC=a， PB=PD=a2, 点 E在 PD上， 且 PE:ED=2:1. （I ）证明 PA 平面 ABCD ；（II ）求以 AC为棱， EAC与 DAC为面的二面角的大小；（）在棱PC上是否存在一点F，使 BF/ 平面 AEC ？证明你的结论. 20如图，在直三棱柱ABC A1B1
21、C1中，底面是等腰直角三角形，ACB 90侧棱AA1 2，D、E分别是CC1与 A1B的中点，点E在平面 ABD上的射影是ABD的重心 G （1）求 A1B与平面 ABD所成角的大小（2）求 A1到平面 ABD的距离D P B A C E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载空间向量与立体几何(2) 参考答案一、选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案D D D A B C A C C B 二、填空题（本大题共4 小题，每小题6 分
22、，共 24 分）11 （ 0，15，25） 12 0 13 1,-3 149015。1101| | sin22ABCSABACA 16 。61AC三、解答题（本大题共6 题，共 76 分）17 （ 1）略（2）15（3）262sa18 （ 1）63（2）6319 （）证明因为底面ABCD 是菱形， ABC=60 ，所以 AB=AD=AC=a，在 PAB中，由 PA2+AB2=2a2=PB2知 PA AB. 同理， PAAD ，所以 PA 平面 ABCD. （）解作 EG/PA 交 AD于 G，由 PA 平面 ABCD. 知 EG 平面 ABCD. 作 GH AC于 H ，连结 EH ，则 EH
23、 AC ， EHG 即为二面角的平面角 . 又 PE : ED=2 : 1，所以.3360sin,32,31aAGGHaAGaEG从而,33tanGHEG.30（） 解法一以 A为坐标原点， 直线 AD 、AP分别为 y 轴、z 轴，过 A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图. 由题设条件，相关各点的坐标分别为).0,21,23(),0 ,21,23(),0,0 ,0(aaCaaBA).31,32,0(),0,0(),0,0(aaEaPaD所以).0,21,23(),31,32, 0(aaACaaAE).,21,23(),0,0(aaaPCaAP).,21,23(aaaBP设点
24、 F是棱 PC上的点，, 10),21,23(其中aaaPCPF则),21,23(),21,23(aaaaaaPFBPBF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载).1(),1(21),1(23(aaa令AEACBF21得.311,341,1.31)1(,3221)1 (21,23) 1(2322112211即aaaaaaa解得.23,21,2121即21时，.2321AEACBF亦即， F 是 PC的中点时，BF、AC、AE共面 . 又 BF平面 AEC ，所以当F 是棱 PC的中点时， BF/ 平
25、面 AEC. 20(14 分) 解： （1）连结 BG ，则 BG是 BE在面 ABD的射影，即A1BG是 A1B与平面 ABD所成的角 . 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设 CA=2a，则 A（2a，0，0） ，B（0， 2a，0） ，D（0， 0，1） A1（ 2a，0， 2）E（a，a，1） G （31,32,32aa）. ) 1 ,2,0(),32,3,3(aBDaaGE，032322aBDGE，解得a=1. ),31,34,32(),2,2,2(1BGBA372131323/14|cos111BGBABGBABGA. A1B与平面 ABD所成角是37arccos. （2）由（ 1
26、）有 A（2，0，0） ，A1（2，0，2） ，E（1， 1，1） ，D（0，0，1）0)0, 1, 1()2,0 ,0(001, 1()1 , 1 , 1(1EDAAEDAE，），ED平面 AA1E，又 ED平面 AED. 平面 AED 平面 AA1E，又面 AED面 AA1E=AE ，点 A在平面 AED的射影 K在 AE上. 设AEAK，则)2,(11AKAAKA由01AEKA，即02，解得32. )34,32,32(1KA, 即63291694941KA即点 A1到平面 AED的距离为632. 21. 解： （1）(2,1, 4) ( 1,2,1)2( 2)40AP ABAPABAPAB即( 1,2,1) (4, 2,0)4400AP AD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载APADPAADADABCD即面（2）348,105ABADAPAB AD又cosV1sin163ABADAB ADAP猜测：ABADAP在几何上可表示以AB,AD,AP 为棱的平等六面体的体积（或以AB,AD,AP为棱的四棱柱的体积）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页