高二数学空间向量与立体几何检验测试题.doc

-! 高二数学 空间向量与立体几何测试题 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为 （ ） A．0 B.1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是 （ ） A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量 3．若向量、 （ ） A． B． C． D．以上三种情况都可能 4．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于 （ ） A. B. C. D. 5．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，，， 则 （ ） A. B. C. D. 6．已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，则向量与之间的夹角为（ ） A．30 B．45 C．60 D．以上都不对 7．若a、b均为非零向量，则是a与b共线的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的 中线长为 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．已知 （ ） A．－15 B．－5 C．－3 D．－1 10．已知，，，点Q在直线OP上运动，则当 取得最小值时，点Q的坐标为 （ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共100分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n= ． 12．12、若向量 ，夹角的余弦值为， 则等于__________. 13．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线， G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED， 以｛，，｝为基底，则＝ ． 14．已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为 。 15.在三角形ABC中，A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1),若向量n与平面ABC垂直，且|m|=,则n的坐标为 。 16.已知向量a=(+1,0,2)，b=(6,2-1,2),若a||b,则与的值分别是 . 三、解答题（本大题共5小题,满分70分） 17．(12分) 已知空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直， B A D C 用向量证明：AC与BD也互相垂直． 18．（14分））如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系． （1）写出A、B1、E、D1的坐标； （2）求AB1与D1E所成的角的余弦值． 19．（14分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、 PC的中点． （1）求证：EF∥平面PAD； （2）求证：EF⊥CD； （3）若PDA＝45，求EF与平面ABCD所成的角的大小． 20．（15分）在正方体中，如图Ｅ、Ｆ分别是 ，ＣＤ的中点， （1）求证：平面ADE； （2）cos． 21．（15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD， ，E是PC的中点，作交PB于点F. （1）证明； 平面； （2）证明；平面EFD； （3）求二面角的大小． 空间向量与立体几何(1) 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D D C A B A C 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．0 12．－2 13． 14．60 15。（2，-4，-1），（-2，4，1） 16。. 三、解答题（本大题共5题，共76分） 17．证明： . 又， 即.……① . 又，即.……② 由①+②得：即.. 18． 解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2) (2)∵ ＝(0, -2, 2)，＝(0, 1, 2) ∴ ||＝2，||＝，＝0－2＋4＝2, ∴ cos ， ＝ ＝ ＝ ．∴ AB1与ED1所成的角的余弦值为． 19．证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a， BC＝2b，PA＝2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)， D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c) ∵ E为AB的中点，F为PC的中点 ∴ E (a, 0, 0)，F (a, b, c) (1)∵ ＝(0, b, c)，＝(0, 0, 2c)，＝(0, 2b, 0) ∴ ＝(＋) ∴ 与、共面 又∵ E 平面PAD ∴ EF∥平面PAD． (2) ∵ ＝(-2a, 0, 0 ) ∴ ＝(-2a, 0, 0)(0, b, c)＝0 ∴ CD⊥EF． (3) 若PDA＝45，则有2b＝2c，即 b＝c， ∴ ＝(0, b, b)， ＝(0, 0, 2b) ∴ cos ，＝＝ ∴ ，＝ 45 ∵ ⊥平面AC，∴ 是平面AC的法向量 ∴ EF与平面AC所成的角为：90－，＝ 45． 20．解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1， 则D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1）， E（1，1，），F（0，，0）， 则＝（0，，－1），＝（1，0，0）， ＝（0，1，）， 则＝0， ＝0， ，. 平面ADE. （２）（1，1，1），C（0，1，0），故＝（1，0，1），＝（－1，－，－）， ＝－1＋0－＝－， ，， 则cos. . 21．解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设 (1)证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG. 依题意得 底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心， 故点G的坐标为且 . 这表明. 而平面EDB且平面EDB，平面EDB。 (2)证明：依题意得。又故 , 由已知，且所以平面EFD. (3)解：设点F的坐标为则 从而所以 由条件知，即 解得 。 点F的坐标为 且 ,即，故是二面角的平面角. ∵且 ,所以，二面角C—PC—D的大小为 空间向量与立体几何(2) 姓名 班级 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是 （ ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，已知点，那么下列说法正确的是 （ ） A． 点关于轴对称的坐标是 B． 点关于平面对称的坐标是 C． 点关于轴对称点的坐标是 D． 点关于原点对称点的坐标是 3．已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且a＋b与2 a－b互相垂直，则的值是（ ） A.1 B. C. D. 4．已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则+等于（ ） A. B. C. D. 5．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是 （ ） A． B． C． D． 6．已知向量，，则a与b的夹角为 （ ） A. 0 B. 45 C. 90 D. 180 7．已知点，且该点在三个坐标平面平面，平面，平 面上的射影的坐标依次为，和，则 （ ） A． B. C. D.以上结论都不对 8、已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点，且,则点的坐标是 ( ) A. B. C. D. 9、设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足 则△BCD是 （ ）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定 10、已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为 （ ） A. B. C. D.1 第Ⅱ卷（非选择题，共100分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11、若同方向的单位向量是_________________. 12．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点， 若＝，则x＋y＋z＝ ． 13、已知，则的值为 。 14、已知向量a和c不共线，向量b≠0，且，d＝a＋c，则＝ ． 15．已知三角形的顶点是，，，这个三角形的面积是 。 16．（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的 三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，那么以这个顶点 为端点的晶体的对角线的长为 。 三、解答题（用向量方法求解下列各题,共70分） 17、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1和BB1的中点． （1）证明：AEC1F是平行四边形； （2）求AE和AF之间的夹角的余弦； （3）求四边形AEC1F的面积． 18．如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90， SA⊥平面ABCD， SA＝AB＝BC＝1，AD＝． （1）求SC与平面ASD所成的角余弦； （2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦． 19、如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1. （I）证明PA⊥平面ABCD； （II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小； （Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论. 20．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90．侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G． （1）求A1B与平面ABD所成角的大小． （2）求A1到平面ABD的距离． 空间向量与立体几何(2) 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D A B C A C C B 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．（0，，） 12．0 13． 1,-3 14．90 15。 16。 三、解答题（本大题共6题，共76分） 17．（1）略 （2） （3） 18．（1） （2） 19．（Ⅰ）证明 因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60， 所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中， 由PA2+AB2=2a2=PB2 知PA⊥AB. 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD. （Ⅱ）解 作EG//PA交AD于G， 由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH， 则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角. 又PE : ED=2 : 1，所以 从而 （Ⅲ）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为 所以 设点F是棱PC上的点，则 令 得 解得 即 时， 亦即，F是PC的中点时，、、共面. 又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC. 20．(14分) 解：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a， 则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1） A1（2a，0，2） E（a，a，1） G（）. ， ，解得a=1. . A1B与平面ABD所成角是. （2）由（1）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1） 平面AA1E，又ED平面AED. ∴平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E=AE， ∴点A在平面AED的射影K在AE上. 设， 则 由，即， 解得. ,即 即点A1到平面AED的距离为. 21.解：（1） （2） V＝ 猜测：在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平等六面体的体积（或以AB,AD,AP为棱的四棱柱的体积）