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1、第 5 讲复数 最新考纲 1理解复数的基本概念2理解复数相等的充要条件3了解复数的代数表示法及其几何意义4会进行复数代数形式的四则运算5了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 知 识 梳 理1复数的有关概念(1) 复数的概念形如abi(a，bR) 的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部假设b0，则abi为实数；假设b0，则abi 为虚数；假设a0 且b0，则abi 为纯虚数(2) 复数相等：abi cdi ?ac且bd(a，b，c，dR) (3) 共轭复数：abi 与cdi 共轭 ?ac，bd(a，b，c，dR) (4) 复数的模：向量OZ的模叫做复数zabi(a，bR)的模，记作 |z
2、| 或|abi| ，即|z| |abi| a2b2. 2复数的几何意义(1) 复数zabi 一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，bR) (2) 复数zabi(a，bR) 一一对应平面向量OZ. 3复数的运算(1) 复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi ，z2cdi(a，b，c，dR) ，则加法：z1z2(abi) (cdi) (ac) (bd)i ；减法：z1z2(abi) (cdi) (ac) (bd)i ；乘法：z1z2(abi) (cdi) (acbd) (adbc)i ；除法：z1z2abicdiabicdicdicdiacbdc2d2bcadc2d2i(cdi 0)(2) 复数
3、加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2) z3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页z1(z2z3) 辨 析 感 悟1对复数概念的理解(1) 方程x2x10 没有解 ( )(2)2i比 i 大( )(3)( 教材习题改编 ) 复数 1i 的实部是1，虚部是 i.( )2对复数几何意义的认识(4) 原点是实轴与虚轴的交点( )(5) 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模( )(6)(2013 福建卷改编) 已知复数z的共
4、复轭复数z12i ，则z在复平面内对应的点位于第三象限 ( )3对复数四则运算的理解(7)( 教材习题改编 )1ii.( )(8)(2013 浙江卷改编)( 1i)(2i) 13i.( ) 感悟提升 1两点提醒一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解，且方程的根成对出现，如(1) ；二是两个虚数不能比较大小，如(2) 2两条性质(1)i4n1，i4n1i ，i4n2 1，i4n3 i ，inin1in2in30( 各式中nN) (2)(1 i)22i ，1 i1 ii ，1i1i i. 考点一复数的概念【例 1】 (1)(2013 山东卷 ) 复数z满足 (z3)(2 i) 5(i为虚数单
5、位 ) ， 则z的共轭复数z为( ) A2i B 2i C5i D 5i (2)(2013 新课标全国卷) 假设复数z满足 (34i)z|4 3i| ，则z的虚部为 ( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页A 4 B 45 C 4 D.45解析(1) 由(z3)(2 i) 5，得z52i352i2i2 i352 i535i ，z 5i. 故选 D. (2)(3 4i)z|4 3i| 5. z534i34i5，z的虚部为45. 答案(1)D (2)D 规律方法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，
6、从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理【训练 1】 (1)设a，bR，i 是虚数单位，则“ab0”是“复数abi为纯虚数”的( ) A充分不必要条件 B 必要不充分条件C充分必要条件 D 既不充分也不必要条件(2) 假设复数z1i(i为虚数单位 ) ，z是z的共轭复数，则z2z2的虚部为 ( ) A0 B 1 C 1 D 2 解析(1)ab0?a0 或b0，这时abiabi 不一定为纯虚数，但如果abiabi 为纯虚数，则有a0 且b0，这时有ab0，由此知选B. (2) z2z2 (1 i)2(1 i)20，z2z2的虚部为0. 答案(1)B (2)A 考点二复数的几何意义【例2】(1)
7、(2013 湖南卷) 复数zi (1 i)(i为虚数单位) 在复平面上对应的点位于( )A第一象限 B 第二象限C第三象限 D 第四象限(2) 复数z2i2i(i为虚数单位 ) ，则 |z| ( ) A25 B.41 C 5 D.5 解析(1)z i i2 1i ，对应的点为 ( 1,1) ，位于复平面第二象限(2) z44i 1i34ii34iii i43i1 43i ，|z| 42325. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页答案(1)B (2)C 规律方法要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量
8、三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征【训练 2】 (1)(2013 四川卷 ) 如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是 ( ) AA B B C C D D(2)(2013 湖北卷 )i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，假设z12 3i ，则z2_. 解析(1) 设zabi(a，bR) ，则z的共轭复数zabi ，它的对应点为( a，b) ，是第三象限的点，故选B. (2) 在复平面内，复数zabi 与点 (a，b) 一一对应点 (a，b) 关于原点对称的点为( a，b) ，则复数z2 23i. 答案(1)B (2)
9、23i 考点三复数代数形式的四则运算【例 3】 (1) 已知复数z3i13i2，z是z的共轭复数，则zz_. (2)22i34 5i54i1i_. (3) 已知复数z满足izi2i ，则z _. 解析(1) 法一|z| |3i|13i2|12，zz|z|214. 法二z3i213i34i4，zz 34i434i414. (2)22i34 5i54i1i221i3i5 4i54i1 i221i4i22i(1 i)42i(1i)222i(2i)2 42i. (3) 由izi2i ，得zi2ii i2i5i 25i 15i 1535i. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
10、 - - - - - - -第 4 页，共 15 页答案(1)14(2) 42i (3) 1535i 规律方法在做复数的除法时， 要注意利用共轭复数的性质：假设z1，z2互为共轭复数， 则z1z2|z1|2|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化【训练 3】 (1)(2014 临沂模拟) 设z1 i ，则2zz2等于 ( ) A1i B 1 i C i D 1i (2)(2013 安徽卷 ) 设 i 是虚数单位，z是复数z的共轭复数，假设zzi 22z，则z( )A1i B 1i C 1i D 1i 解析(1)2zz221i(1 i)221i1i1i2i 21i22i 1i
11、2i 1i. (2) 设zabi(a，bR ) ，则zzi 2 (abi) (abi) i 22(a2b2)i 2a2bi ，故 22a，a2b22b解得a1，b 1 即z1 i. 答案(1)A (2)A 1复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程2在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合3要记住一些常用的结果，如i ，1232i 的有关性质等，可简化运算步骤提高运算速度思想方法12解决复数问题的实数化思想【典例】(2013天津卷 ) 已知a，bR，i 为虚数单位，假设(ai) (1 i) bi
12、，则abi_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页解析(ai) (1 i) (a1) (a1)i bi 则a10a1b解得a1，b2. 所以abi 12i. 答案12i 反思感悟 (1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组) 来求未知数的值(2) 复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法【自主体验】1(2014滨州模拟) 已知a2iibi(a，bR) ，则ab( ) A1 B 2 C 1 D 3 2(2012湖北卷
13、 ) 假设3bi1iabi(a，bR) ，则ab_. 一、选择题3(2013北京卷 ) 在复平面内，复数(2 i)2对应的点位于 ( ) A第一象限 B 第二象限C第三象限 D 第四象限4(2013广东卷 ) 假设复数z满足 iz24i ，则在复平面内，z对应的点的坐标是( ) A(2,4) B(2， 4) C(4 ， 2) D (4,2) 5(2014武汉模拟) 设复数z(34i)(12i) ，则复数z的虚部为 ( ) A 2 B 2 C 2i D 2i 6(2013新课标全国卷) 设复数z满足 (1i)z2i ，则z ( ) A 1i B 1i C 1i D 1i 7(2013陕西卷 )
14、设z1，z2是复数，则以下命题中的假命题是( ) A假设 |z1z2| 0，则z1z2B假设z1z2，则z1z2C假设 |z1| |z2| ，则z1z1z2z2D假设 |z1| |z2| ，则z21z22二、填空题8(2013江苏卷 ) 设z(2 i)2(i为虚数单位 ) ，则复数z的模为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页9(2014郑州模拟)1i1i4_. 10(2013上海卷 ) 设mR，m2m2(m21)i是纯虚数，则m_. 三、解答题11已知复数z1满足 (z12)(1 i) 1i(i为虚数单位 ) ，
15、复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2. 12当实数m为何值时，zm2m6m3(m25m6)i ，(1) 为实数； (2) 为虚数； (3) 为纯虚数；(4) 复数z对应的点在复平面内的第二象限能力提升题组一、选择题13(2014陕西师大附中模拟)1i1i2 014( ) A i B i C 1 D 1 14方程x2 6x130 的一个根是 ( ) A 32i B32i C 23i D23i 二、填空题15(2014北京西城模拟) 定义运算acbdadbc. 假设复数x1i1i，y4i2xixi，则y_. 三、解答题16. 如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示 0,3 2i
16、， 24i ，试求：(1)AO所表示的复数，BC所表示的复数；(2) 对角线CA所表示的复数；(3) 求B点对应的复数一、选择题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页17(2013湖北卷) 在复平面内，复数z2i1i(i为虚数单位) 的共轭复数对应的点位于( )A第一象限 B 第二象限C第三象限 D 第四象限18(2013辽宁卷 ) 复数z1i 1的模为 ( ) A.12 B.22 C.2 D 2 19(2013江西卷 ) 已知集合M1,2 ，zi ，i 为虚数单位，N3,4，MN4 ，则复数z( ) A 2i B 2
17、i C 4i D 4i 20(2014佛山二模) 已知复数z的实部为1，且 |z| 2，则复数z的虚部是 ( ) A3 B.3i C3i D 3 21 (2014青岛一模 ) 某程序框图如下图，假设a3， 则该程序运行后， 输出的x值为 ( ) A15 B 31 C 62 D 63 22(2014郑州一模) 执行如下图的程序框图，则输出n的值为 ( ) A6 B 5 C 4 D 3 23.(2014 咸阳模拟) 某算法的程序框图如下图，如果输出的结果为5,57 ，则判断框内应为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页(
18、)Ak6? B k4? Ck5? D k5?24(2014福州质检) 将正奇数1,3,5,7，排成五列 ( 如下表 ) ，按此表的排列规律，89 所在的位置是 ( ) A第一列 B 第二列C第三列 D 第四列25(2013长沙模拟) 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦假设a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2b2c2，称这个定理为勾股定理现将这一定理推广到立体几何中：在四面体OABC中，AOBBOCCOA90，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面OAB，OAC，OBC的面积，则以下选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述
19、正确的为( ) AS2S21S22S23 B S21S211S221S23CSS1S2S3 D S1S11S21S3二、填空题26(2013重庆卷 ) 已知复数z5i12i，则 |z| _. 27(2014茂名一模) 设 i 是虚数单位，复数1ai2i为纯虚数，则实数a_. 28(2014湖南十二校二联) 为调查长沙市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间( 单位：分钟) ，按锻炼时间分以下四种情况统计：0 10 分钟； 1120 分钟； 2130 分钟； 30分钟以上有10 000 名中学生参加了此项活动，如图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6 200 ，则平均每天参加体育锻炼时间在0
20、20 分钟内的学生的频率是_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页29(2014泰安一模) 假设程序框图如下图，则该程序运行后输出k的值为 _30(2013宝鸡二检) 已知 2232223， 3383238，441542415，假设 9ba 92ba(a，b为正整数 )，则ab_. 31(2014兰州质检) 在平面几何中有如下结论：假设正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S1S214. 推广到空间几何可以得到类似结论：假设正四面体ABCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则V1V2_. 三、解答题
21、32在单调递增数列an中，a12，不等式 (n1)anna2n对任意nN*都成立(1) 求a2的取值范围；(2) 判断数列 an能否为等比数列，并说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页33(2013常德模拟) 设a0，f(x) axax，令a11，an1f(an) ，nN*. (1) 写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2) 用数学归纳法证明你的结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页1. 解析a 2i bi i
22、2 1bi ，a 1，b 2，ab1. 答案A 2. 解析由已知得3bi (1 i)(abi) abi ai bi2(ab) (ba)i ，根据复数相等得ab3，bab，解得a 0，b 3.ab 3. 答案3 3. 解析 (2 i)244i i234i ，对应的点为(3 ， 4) ，位于第四象限，故选D. 4. 解析由已知条件得z2 4ii4 2i ，所以z对应的点的坐标为(4 ， 2) ，故选 C. 5. 解析z (34i)(12i) 112i ，所以复数z的虚部为2. 答案B 6. 解析由题意得z2i1i2i 1i2 1i ，故选 A. 7. 解析A中， |z1z2| 0，则z1z2，故z
23、1z2，成立B中，z1z2，则z1z2成立 C中， |z1| |z2| ，则 |z1|2|z2|2，即z1z1z2z2，C正确D不一定成立，如z113i ，z22，则|z1| 2|z2| ，但z21 223i ，z224，z21z22. 答案D 8. 解析z(2 i)234i ， |z| 32425. 答案5 9. 解析1i1i42i2i21. 答案1 10. 解析由题意知m2m20，m210，解得m 2. 答案2 11. 解(z12)(1 i) 1i ?z12i. 设z2a2i(aR) ，则z1z2(2 i)(a2i) (2a2) (4a)i. z1z2R.a4. z242i. 12. 解(
24、1) 假设z为实数，则m25m60，m30，解得m 2. (2) 假设z为虚数，则m25m60，m30，解得m 2 且m 3. (3) 假设z为纯虚数，则m25m60，m2m6m30，解得m3. (4) 假设z对应的点在第二象限，则m2m6m3 0，m25m60，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页即m 3或 2m 3，m 3或m 2，m 3 或 2m 3. 13. 解析1i1i2 0141i21i1i2 0142i22 014( i)2 104i2 014i4503 2 1. 答案C 14. 解析法一x63652
25、232i.法二令xabi ，a，bR， (abi)26(abi) 130， 即a2b26a13 (2ab6b)i0，a2b26a130，2ab6b 0，解得a 3，b2，即x32i.答案A 15. 解析因为x1 i1 i1i22 i. 所以y4i2xixi4i210 2. 答案2 16. 解(1)AOOA，AO所表示的复数为32i. BCAO，BC所表示的复数为32i. (2)CAOAOC，CA所表示的复数为(3 2i) ( 24i) 52i. (3)OBOAABOAOC，OB所表示的复数为(3 2i) ( 24i) 16i ，即B点对应的复数为16i. 17. 解析z2i1i1i ，z1i
26、，对应点 (1 ， 1) 在第四象限答案D 18. 解析z1i 11i1i1i1212i ，|z| 122 12222. 答案B 19. 解析由MN4 知 4M，所以zi 4，z 4i ，选 C. 20. 解析设zabi(a，b R) ，由题意知a1，1b24，b2 3，b3. 答案D 21. 解析第一次循环：x23 17，n2；第二次循环：x27 115，n 3；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页第三次循环：x215 131，n4. 此时不满足条件，输出x31. 答案B 22. 解析第一次循环，n1，S123；
27、第二次循环，n2，S23 28；第三次循环，n3，S38 226；第四次循环，n4，S426 2106，此时满足条件，输出n4. 答案C 23. 解析当k1 时，S20 11；当k2 时，S21 24；当k3 时，S243 11；当k4 时，S211 426；当k5 时，S226 557，由题意知此时退出循环，因而选B. 答案B 24. 解析正奇数从小到大排，则89 位居第 45 位，而 45411 1，故 89 位于第四列答案D 25. 解析如图，作ODBC于点D，连接AD， 由立体几何知识知，ADBC， 从而S212BCAD214BC2AD214BC2(OA2OD2) 14(OB2OC2)
28、 OA214BC2OD212OBOA212OCOA212BCOD2S21S22S23. 答案A 26. 解析z5i12i5i12i12i12i2i ， |z| 5. 答案5 27. 解析1ai2i1ai2i2i2i2a52a 15i ，由题意知：2a50，a2. 答案2 28. 解析由已知得，输出的数据为体育锻炼时间超过20 分钟的学生数6 200 ，故锻炼时间不超过 20 分钟的学生数为10 0006 2003 800， 由古典概型的概率计算公式可得，P3 80010 0000.38. 故所求频率是0.38. 答案0.38 29. 解析第一次：n35 116，k1；第二次：n1628，k2；
29、第三次：n824，k3；第四次：n422，k4；第五次：n221，k5，此时满足条件，输出k5. 答案5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页30. 解析观察分数的分子规律得b9，则ab21 80，故ab89. 答案89 31. 解析平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与球的半径的立方成正比，所以V1V2127. 答案12732. 解(1) 因为 an是单调递增数列，所以a2a1，即a22. 又(n1)anna2n，令n1，则有 2a1a2，即a24，所以a2(2,4 (2) 数列
30、an 不能为等比数列用反证法证明：假设数列 an是公比为q的等比数列，由a120，得an2qn1. 因为数列 an单调递增，所以q1. 因为 (n1)anna2n对任意nN*都成立，所以对任意n N*，都有 11nqn. 因为q1，所以存在n0N*，使得当nn0时，qn 2. 因为 11n2(nN*) 所以存在n0 N*，使得当nn0时，qn11n，与矛盾，故假设不成立33. 解(1) a11，a2f(a1) f(1) a1a；a3f(a2) a2a；a4f(a3) a3a. 猜想anan1a(nN*)(2) 证明：易知，n1 时，猜想正确假设nk时猜想正确，即akak1a，则ak1f(ak) aakaakaak1aaak1aak1a1ak11 a. 这说明，nk1 时猜想正确由知，对于任何nN*，都有anan 1a. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页