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1、复数代数形式的乘除运算案例分析尉氏县第三高级中学姚翠玲一、案例背景1、教材分析本节课是复数代数形式的四则运算的第二课时，是四则运算的重点，也是本章的重点 复数的乘法法则是规定的， 其合理性表现在： 这种规定与实数乘法的法则是一致的， 而且实数乘法的有关运算律在这里仍然成立由除法是乘法的逆运算的这种规定，可以得到复数除法的运算法则教材在内容编排上使用问题探究式的方法，引导学生能够自己探究新知， 发现新知，理解新知学生不仅学到了知识，而且培养了学习兴趣，提高了学习积极性2、学情分析高二的学生3、教学目标设计：知识与技能 ：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过
2、程与方法 ：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观 ：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。教材内容及重点、难点分析教学重点： 复数代数形式的除法运算。教学难点： 对复数除法法则的运用。教学设想： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等 即：如果 a，b，c，dR，那么 a+bi=c+dia=c，b=d，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
3、- - - - - -第 1 页，共 11 页4、教学思路 本节课的教学以建构主义学习理论为指导，以学生为中心，以问题为出发点，使课堂教学过程成为学生自主地进行信息加工、知识意义构建、创新能力发展的。教师在教学过程中则适时介入，引导、启发、组织、帮助、促进。设计创造性思维问题。所谓创造性思维问题即是指利于学生创造性思维发展的问题。创造性思维问题的设计应遵循这样几个原则：题型具有开放性、解题富有挑战性。5、教学手段 互动法：老师提出问题，由学生答复，并从知识中获得启迪，从而解决问题。任务驱动教学法：将所要学习的新知识隐含在一个或向个问题之中，学生通过对所提的任务进行分析、讨论，并在老师的指导、帮
4、助下找出解决问题的方法，最后通过任务的完成而实现对所学知识的意义建构。二、案例描述1、新课导入提出问题：试计算5(2i)活动设计：先由学生独立思考，然后交流看法学情预测：学生可能类比单项式与多项式的乘法来计算活动成果： (板书 ) 5(2i)(2i)(2i)(2i)(2i)(2i)105i. 2、讲解新课设计意图通过比较分别运用实数集中乘法的意义和复数的加法法则计算所得的结果，得到结论： m(abi)mambi，其中 m，a，bR.引出新课两个复数相乘又该如何计算？探究新知提出问题：如何计算 (2i)(32i)? 活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流精选学习
5、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学情预测：学生可能类比两个多项式的乘法来计算活动成果： (板书 ) (1)规定，复数的乘法法则：设 z1abi，z2cdi 是任意两个复数，那么它们的积：(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(adbc)i. (2)(2i)(32i)63i4i2i247i. 设计意图遇到问题就得解决问题， 但是复数又是一个全新的知识， 它是实数集的扩充，所以在不违背原有知识的基础上规定了复数的乘法法则，使学生体会知识的创新与发展的过程理解新知提出问题 1：怎样理解复数的乘法法则？它可能满
6、足哪些运算律？活动设计：学生独立思考，然后同学间交流学情预测：学生可以独立理解复数的乘法法则，并写出它满足的运算律活动成果：(1)可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 i2换成 1，并且把实部与虚部分别合并即可两个复数的积是一个确定的复数(2)实数集上的乘法满足的运算律，可以直接推广到复数集上的乘法运算中：对于任意 z1，z2，z3C，有 z1 z2z2 z1，(z1 z2) z3z1 (z2 z3)，z1(z2z3)z1z2z1z3. 设计意图准确地把握法则及其满足的运算律，为正确熟练地运用打下良好的基础提出问题 2：计算 i5，i6，i7，i8的值，你能推测
7、in(nN*)的值有什么规律吗？活动设计：学生独立思考，然后同学间交流结果，教师巡视指导学情预测：学生能够计算出四个值，并说出周期性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页活动成果： i5i，i61，i7i，i81，推测 i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n41(nN*)设计意图了解 i 的幂的周期性，培养学生的观察和归纳能力运用新知例 1 计算：(1)(1i)2；(2)(12i)(34i)(12i)思路分析： 第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第 (2)题可以按从左到右的运算顺序
8、计算，也可以结合运算律来计算解：(1)解法一： (1i)2(1i)(1i)1iii22i；解法二： (1i)212ii22i. (2)解法一： (12i)(34i)(12i)(34i6i8i2)(12i) (112i)(12i)(114)(222)i1520i；解法二： (12i)(34i)(12i)(12i)(12i)(34i)5(34i)1520i. 点评： 此题主要是稳固复数乘法法则及运算律， 以及乘法公式的推广应用 特别要提醒其中 (2i)4i8，而不是 8. 探究新知提出问题 1：在例 1 中 12i 与 12i 的积恰好是一个实数，观察这两个复数之间有何联系？活动设计：学生独立思考
9、，然后交流学情预测：在教师的引导下，学生能够得出两个复数的异同活动成果：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部为0 的两个共轭复数也叫共轭虚数注意： z 的共轭复数常用z 表示即：假设zabi，则 z abi. 设计意图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页例 1(2)为引出共轭复数的概念提供了实例支持，从而得出共轭复数的定义，使学生对知识的接受变得自然提出问题 2：类比实数的除法，联系复数减法法则的引入过程，探求复数除法的法则活动设计：引导学生运用乘法法则以及复数相等的概念来得
10、到除法法则活动成果： (1)规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足(cdi)(xyi)abi(cdi0)的复数 xyi，叫做复数 abi 除以 cdi 的商(2)经计算可得 (cxdy)(dxcy)iabi. 根据复数相等的定义，有cxdya，dxcyb. 由此得 xacbdc2d2，ybcadc2d2. 于是得到复数除法的法则是：(abi)(cdi)acbdc2d2bcadc2d2i. 由此可见，两个复数相除 (除数不为 0)，所得的商是一个确定的复数理解新知提出问题 1：假设 z1，z2是共轭复数，那么(1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？(2)z1 z2是一个怎样的数？(3)
11、假设 z1是实数，则它的共轭复数是怎样的数？活动设计：学生独立探究，然后再小组交流教师巡视指导学情预测：学生通过独立思考， 然后与同学交流看法， 最后能够得出正确的结论活动成果： (1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称；(2)z1 z2|z1|2|z2|2；(即 zz |z|2| z |2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页(3)z1的共轭复数仍是 z1，即实数的共轭复数是它本身设计意图使学生加深对共轭复数概念的了解提出问题 2： 在实际进行复数运算时， 每次都按照乘法逆运算的方法来求商，这是十分麻烦的如何简化求
12、商的过程？这种简化的求商过程与实数系中作何种运算的过程相类似？活动设计：起初学生会无从下手， 可以提示他们观察商的实部和虚部的分母与除数的关系，从而得解学情预测：学生在教师的指导下，基本上能发现规律活动结果： (1)在进行复数除法运算时，通常先把(abi)(cdi)写成abicdi的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数cdi，化简整理后即可(2)这种求商过程与作根式除法时的处理是很类似的在作根式除法时，分子、分母都乘以分母的 “有理化因式 ”，从而使分母 “有理化 ”这里分子和分母都乘以分母的 “实数化因式 ”(共轭复数 )，从而使分母 “实数化 ”设计意图简化求解过程，有利于熟练运用法则
13、运用新知例 2 计算(12i) (34i)思路分析： 先把(12i) (34i)写成12i34i的形式，然后分子、分母都乘以34i，计算整理即可解：(12i) (34i)12i34i12i 34i34i 34i精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页386i4i3242510i251525i. 点评：例 2 是复数除法的计算题， 目的是让学生熟练操作上述作除法的简便过程稳固练习计算： (1)7i34i；(2)(32i)(32i)；(3)1i 2ii. 解：(1)7i34i7i 34i34i 34i2525i251i；(2
14、)( 32i)(32i)( 2i)2( 3)22i2323 5；(3)1i 2ii2i2ii2i3ii3i ii i13i. 变练演编1已知： _ _12i，则横线上可以填的条件是什么？(可以多写几种 ) 2计算：34i43i；并自己编制一道类似的题目答案：1.112i，34i 或 5,12i 等等(先写出被除数或除数中的一个，然后求另一个 ) 2解法一：34i43i34i 43i43i 43i25i25i；解法二：34i43i34i i43i i34i i34ii. 编制的题目：53i35i，5i66i5(编制的原则设分子是z1abi，则分母为 z2bai，即分母与 i 的乘积就是分子，可直
15、接约分，从而到达分母实数化)设计意图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页第一个题目的设计不仅是为了训练学生灵活处理问题，熟练运用知识的能力，而且可以培养学生发散思维与集中思维的能力，还可以考查学生对知识、 问题理解的深刻性和思维的深刻性、全面性题型的新颖性、开放性更是不言而喻第二个题的目的是使学生更深刻理解复数的除法就是分母的实数化3、拓展延伸1复数 abi 与 cdi 的积是实数的充要条件是() Aadbc0 Bacbd0 Cacbd Dadbc 2已知 (12i) z 43i，求 z. 3计算2 3i12 3i(
16、21i)2 010. 解析： 1.假设(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i 是实数，则只需虚部adbc0.故答案为 A. 2由已知可得 z 43i12i43i 12i12i 12i105i52i，所以 z2i. 3.2 3i12 3i(21i)2 010i 12 3i12 3i(21i)21 005i(22i)1 005ii1 005ii42511ii2i. 4、高考连线复数在高考中占有很重要的地位。高考中多以选择题形式出现， 属易得分题型，要求学生必须掌握。5、课堂小结对给定的三个复数z1a1b1i，z2a2b2i，z3a3b3i，你能研究些什么？用什么样的方法来研究？(数系的扩充
17、，当复数的虚部为0 时，复数也就是特殊的实数；复数的分类；复数相等的概念；复数的几何意义；复数的模；复数的运算；复数的运算律； 任一个复数的共轭复数及性质等本章所学的所有知识用类比、转化、数形结合、化虚为实等思想方法来研究) 6、布置作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页习题 3.2 A 组 4、5 题7、补充练习基础练习复数 (158i)(12i)的值为_已知复数 z134i，z2ti，且 z1z2是实数，则实数 t 等于() A.34B.43C43D34复数 zm2i12i在复平面上对应的点不可能位于() A第
18、一象限B第二象限C第三象限D第四象限假设 z1a2i，z234i 且z1z2为纯虚数，则实数a的值为 _已知 z1510i，z234i，1z1z11z2，求 z. 答案： 1.138i2.A3.A4.835.552i. 拓展练习已知 2i3 是关于 x 的方程 2x2pxq0 的一个根，求实数 p，q 的值思路分析： 2i3 是方程的根， 代入方程后根据复数相等的定义，化虚为实，即可求得解：由已知得： 2(2i3)2p(2i3)q0，从而(103pq)(2p24)i0.于是，有103pq0，2p240，解得 p12，q26. 点评：解决复数问题的关键就是转化为实数问题来处理，复数相等就是实现这
19、一转化的很好的工具三、案例反思本节课是本章的重点内容， 同时复数乘、 除法的法则的理解更是难点故在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页本节课的设计上多次采取类比的方法，使知识在不失其本质的情况下， 更易于理解同时这种处理方法可以使新知识与所学知识建立联系性，有利于知识的网络化和系统化在整个设计上突出了问题驱动式的教学方法，以问题为主线，以学生为主体，随着问题的提出与解决，教学内容也被随之很好地学习与理解在例题和习题的设计环节上， 力求突出本节课的重点： 熟练掌握复数的乘除法运算以及数学思维方式与技能形成的培养例题的选
20、题目的有三： 一是稳固所学法则及运算律； 二是通过一题多解培养学生的发散思维能力；三是培养计算能力，以形成技能 变练演编的第 1 题考查学生灵活运用知识、 发散思维及逆向思维的能力；第2 题则是使学生更加深刻地体会复数除法的实质就是“分母实数化”，培养学生问题理解的深刻性、全面性为了进一步稳固所学，又设计了稳固练习、达标检测和补充练习等环节 在补充练习中为学有余力的同学安排了拓展练习，增加思维量的同时也开阔了视野我们知道，对于实系数一元二次方程ax2bxc0，如果 b24ac0，那么它在实数集 R 内没有实根现在把实数集R 扩充为复数集 C，再来考察这一问题经过变形，原方程可以化为x2baxc
21、a，x2 2 xb2a (b2a)2 (b2a)2ca， (x b2a)2b24ac2a2， (x b2a)2 b24ac2a2由于 b24ac2a2是正实数，我们可以得到xb2a b24ac i2a. 所以当 b24ac0时，实系数一元二次方程ax2bxc0 在复数集 C 内有且只有两个根xb b24ac i2ab24ac0 .显然，它们是一对共轭复数复数的乘法法则是： (a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i.复数的代数式相乘，可按多项式类似的方法进行，不必去记公式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页复数的除法法则是：2222dcadbcdcbdacdicbiai(c+di0). 两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简本节课是新课标，我将本节课设计为竞赛、导入、个人探究、互动交流、协作探究和讨论及完成练习。 我充分发挥学生的主观能动性， 使本课节的内容更加充实，容量更多。既贯穿了所要学的知识，又拓展了课外知识，使得本节课学生在学习过程中兴趣更加浓厚，积极主动探究问题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页