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1、第一章DIYIZHANG数列1数列1.1数列的概念课后篇巩固探究A组1.将正整数的前5个数作如下排列:1,2,3,4,5;5,4,3,2,1;2,1,5,3,4;4,1,5,3,2.则可以称为数列的是()A.B.C.D.解析:4个都构成数列.答案:D2.已知数列an的通项公式为an=1-(-1)n+12,则该数列的前4项依次为()A.1,0,1,0B.0,1,0,1C.12,0,12,0D.2,0,2,0解析:把n=1,2,3,4分别代入an=1-(-1)n+12中,依次得到0,1,0,1.答案:B3.数列1,43,95,167,的一个通项公式是()A.an=n22n-1B.an=(n-1)2
2、2n-1C.an=n22n+1D.an=n2-2n2n+1解析:1=12,4=22,9=32,16=42,1=21-1,3=22-1,5=23-1,7=24-1,故an=n22n-1 .答案:A4.已知数列an的通项公式an=1n2-1,若ak=135,则a2k=()A.199B.99C.1143D.143解析:由ak=135得1k2-1=135,于是k=6(k=-6舍去).因此a2k=a12=1122-1=1143.答案:C5.已知数列12,23,34,45,则三个数0.98,0.96,0.94中属于该数列中的数只有()A.1个B.2个C.3个D.以上都不对解析:由已知可得该数列的一个通项公
3、式an=nn+1.令an=0.98,解得n=49,令an=0.96,解得n=24,令an=0.94,解得n=473N+.故只有0.98和0.96是该数列中的项.答案:B6.已知曲线y=x2+1,点(n,an)(nN+)位于该曲线上,则a10=.解析:由题意知an=n2+1,因此a10=102+1=101.答案:1017.数列3,3,15,21,33,的一个通项公式是.解析:数列可化为3,9,15,21,27,即31,33,35,37,39,每个根号里面可分解成两数之积,前一个因式为常数3,后一个因式为2n-1,故原数列的通项公式为an=3(2n-1)=6n-3,nN+.答案:an=6n-38.
4、已知数列an的通项公式an=1n+n+1,则10-3是此数列的第项.解析:令1n+n+1=10-3,得n+1-n=10-3,解得n=9.答案:99.写出下列各数列的一个通项公式:(1)4,6,8,10,(2)12,34,78,1516,3132,(3)23,-1,107,-179,2611,-3713,(4)3,33,333,3 333,解(1)各项是从4开始的偶数,所以an=2n+2.(2)数列中的每一项分子比分母少1,而分母可写成21,22,23,24,25,2n,故所求数列的通项公式可写为an=2n-12n.(3)所给数列中正、负数相间,所以通项中必须含有(-1)n+1这个因式,忽略负号
5、,将第二项1写成55,则分母可化为3,5,7,9,11,13,均为正奇数,分子可化为12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1,故其通项公式可写为an=(-1)n+1n2+12n+1.(4)将数列各项写为93,993,9993,9 9993,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,所以an=13(10n-1).10.已知数列an的通项公式为an=3n2-28n.(1)写出数列的第4项和第6项;(2)问-49是不是该数列的一项?如果是,应是哪一项?68是不是该数列的一项呢?解(1)a4=316-284=-64,a6=336-286=-60.(2)设3
6、n2-28n=-49,解得n=7或n=73(舍去),n=7,即-49是该数列的第7项.设3n2-28n=68,解得n=343或n=-2.343N+,-2N+,68不是该数列的项.B组1.数列2,-83,4,-325,的通项公式是()A.an=2n(nN+)B.an=(-2)n2n-1(nN+)C.an=(-2)n+1n+1(nN+)D.an=2n2n-1(nN+)解析:将数列各项改写为222,-233,244,-255,观察数列的变化规律,可得an=(-2)n+1n+1(nN+).答案:C2.已知数列an的通项公式an=nn+1,则anan+1an+2等于()A.nn+2B.nn+3C.n+1
7、n+2D.n+1n+3解析:an=nn+1,an+1=n+1n+2,an+2=n+2n+3,anan+1an+2=nn+3.答案:B3.根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律,猜测第n个图形中有()个点.A.n2-n+1B.2n2-nC.n2D.2n-1解析:观察图中5个图形点的个数分别为1,12+1,23+1,34+1,45+1,故第n个图形中点的个数为(n-1)n+1=n2-n+1.答案:A4.用火柴棒按下图的方法搭三角形:按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是.解析:a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+2+2=9,an=
8、2n+1.答案:an=2n+15.在数列53,108,17a+b,a-b24,中,有序数对(a,b)可以是.解析:从上面的规律可以看出分母的规律是:13,24,35,46,分子的规律是:5,5+5,5+5+7,5+5+7+9,所以a+b=15,a-b=26,解得a=412,b=-112.答案:412,-1126.导学号33194000已知数列an的通项公式an=a2n+b,且a1=-1,a5=-31,则a3=.解析:由已知得2a+b=-1,32a+b=-31,解得a=-1,b=1,即an=-2n+1,于是a3=-23+1=-7.答案:-77.如图,有m(m2)行(m+1)列的士兵队列.(1)写
9、出一个数列,用它表示当m分别为2,3,4,5,6,时队列中的士兵人数;(2)写出(1)中数列的第5,6项,用a5,a6表示;(3)若把(1)中的数列记为an,求该数列的通项公式an;(4)求a10,并说明a10所表示的实际意义.解(1)当m=2时,表示2行3列,人数为6;当m=3时,表示3行4列,人数为12,依此类推,故所求数列为6,12,20,30,42,.(2)队列的行数比数列的序号大1,因此第5项表示的是6行7列,第6项表示7行8列,故a5=42,a6=56.(3)根据对数列的前几项的观察、归纳,猜想数列的通项公式.前4项分别为6=23,12=34,20=45,30=56.因此an=(n
10、+1)(n+2).(4)由(3)知a10=1112=132,a10表示11行12列的士兵队列中士兵的人数.8.导学号33194001在数列an中,a1=2,a17=66,通项公式是关于n的一次函数.(1)求数列an的通项公式;(2)求a2 017;(3)是否存在m,kN+,满足am+am+1=ak?若存在,求出m,k的值,若不存在,说明理由.解(1)设an=kn+b(k0),则由a1=2,a17=66得,k+b=2,17k+b=66,解得k=4,b=-2,所以an=4n-2.(2)a2 017=42 017-2=8 066.(3)由am+am+1=ak,得4m-2+4(m+1)-2=4k-2,整理后可得4m=2k-1,因为m,kN+,所以4m是偶数,2k-1是奇数,故不存在m,kN+,使等式4m=2k-1成立,即不存在m,kN+,使am+am+1=ak.