世纪金榜理科数学广东版37.pptx

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1、【知识梳理】1.正弦定理与余弦定理定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理内容内容(R(R是是ABCABC外接圆的半径外接圆的半径) ) 在在ABCABC中中, ,有有a a2 2=_;=_;b b2 2=_;=_;c c2 2=_=_a_2R sin Absin Bcsin Cb2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosC第1页/共65页定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理变形变形公式公式a=_,a=_,b=_,c=_b=_,c=_；sin Asin Bsin Csin Asin Bsin C=_=_；cos A=_;cos A=_;cos B=_;cos

2、 B=_;cos C=_cos C=_2Rsin A2Rsin B2Rsin Ca b casin A,sin B_,2Rb2Rc2Rsin C_；abcsin Asin Bsin Cabcsin Asin Bsin C222bca2bc222acb2ac222abc2ab第2页/共65页定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理解决的解决的问题问题已知两角和任一边已知两角和任一边, ,求其求其他边和角他边和角已知两边和其中一边的对已知两边和其中一边的对角角, ,求其他边和角求其他边和角已知三边已知三边, ,求各角求各角已知两边和它们已知两边和它们的夹角的夹角, ,求第三边和求第三边和其他角其他

3、角第3页/共65页A A为锐角为锐角A A为钝角或直为钝角或直角角图形图形关系式关系式a=bsinAa=bsinAbsinAabbsinAabababab解的解的个数个数_2.在ABC中,已知a,b和A时,解的情况一解两解一解一解无解第4页/共65页【考点自测】1.(思考)给出下列命题:三角形中三边之比等于相应的三个内角之比;在ABC中,若sinAsinB,则AB;在ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素;正弦定理对钝角三角形不成立;余弦定理对任意三角形均成立.其中正确的是()A. B. C. D.第5页/共65页【解析】选C. 错误. 由正弦定理知abcsin Asin Bsin

4、C.正确.由正弦定理知 由sin Asin B得ab，即AB.错误.当已知三个角时不能求三边.错误.正弦定理对任意三角形都成立.正确.由余弦定理的推导过程可知对任意三角形均成立. absin Asin B2R2R，第6页/共65页2.已知ABC的三个内角之比为A B C=3 2 1，那么对应的三边之比a b c=( )【解析】选D.由ABC=321及A+B+C=180，可解得A=90，B=60，C=30，所以abc=sin Asin Bsin C= 即abc=A.321 B. 3 21 C. 321 D.231 3 11,22 231. 第7页/共65页3.(2014珠海模拟)已知a,b,c分

5、别为ABC的三个内角A，B，C所对的边，若 A+C=2B，则sin A=( )【解析】选A.因为在ABC中，A+C=2B，所以B=60,由正弦定理得所以a1,b3,1123A. B. C. D.2222ab13sin Asin Bsin Asin 60，即，1sin A.2第8页/共65页4(2014长春模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若 则ABC一定是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形【解析】选A.因为a=2Rsin A，b=2Rsin B，所以 可化为sin Acos B=cos Asin B，即sin(A-B)=0.又因为-A-

6、Bb，所以B60，故B45，所以有一个解.方法二：结合草图，因为A60,a=6,b=2所以ab,故三角形有一个解.bsin A2sin 602sin B ,a26第15页/共65页(2)过点A作AEBC，垂足为E，则在RtABE中， 故B=30.在ABD中，ADB=180-ADC=180-75=105.由正弦定理得答案：1BCBE32cos B,ABAB2AB sin B2 sin 301AD62.sin ADBsin 1056244g62第16页/共65页(3)由正弦定理得 又A=2B，所以所以答案：asin A5bsin B2，sin Asin 2B2sin B cos B52cos B,

7、sin Bsin Bsin B2g5cos B.454第17页/共65页【互动探究】把本例(3)条件改为“在锐角ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，A=2B”,试求 的取值范围.【解析】由正弦定理得因为ABC是锐角三角形，所以 且所以 且即 所以所以即 的取值范围是abasin Asin 2B2cos B,bsin Bsin BA(0,)B(0,)22，AB2，2B(0,),23B2，B64，23cos B22cos B322，a23b，ab2, 3 .第18页/共65页【易错警示】注意角的范围的确定本例【互动探究】由ABC 是锐角三角形判断角B的范围时，要注意应保证三个内角都

8、是锐角，否则易出现范围过大的情况.第19页/共65页【规律方法】1.正弦定理的应用技巧(1)求边：利用公式或其他相应变形公式求解.(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式 或其他相应变形公式求解.(3)相同的元素归到等号的一边：即可应用这些公式解决边或角的比例关系问题.bsin Aasin Basin Cab,csin Bsin Asin A，asin Bsin A,bbsin Acsin Asin B,sin Caaasin A bsin Bcsin C, , ,bsin B csin Casin A第20页/共65页2.判断解的个数的两种方法(1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内

9、角和公式、正弦函数的值域等判断.(2)几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.提醒：利用正弦定理解三角形时，要注意解的个数的判断.第21页/共65页【变式训练】1.已知在ABC中，a=x，b=2，B=45，若三角形有两解，则x的取值范围是( )【解析】选C.由题设条件可知x2且xsin 450)，则c为最大边，角C为三角形中最大内角，由余弦定理，得所以C=120.222abc1cos C2ab2 ，第32页/共65页【加固训练】1.在ABC中，若a=c=2,B=120,则边b=( )【解析】选B.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B= 所以A. 3 3 B. 2 3

10、 C. 2 2 D. 31144222 ()122 ，b2 3.第33页/共65页2.在ABC中，C=60，a,b,c分别为角A,B,C的对边，则 =_.abbcca第34页/共65页【解析】因为C=60,所以a2+b2-c2=ab，所以a2+b2=ab+c2，等式两边都加上ac+bc，整理得(a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c)，所以答案：1 22acabbcbcacab1.bccabccabcca第35页/共65页考点3 正、余弦定理的综合应用【考情】正、余弦定理的应用很广泛，也比较灵活.在高考中三种题型都有可能出现，主要考查边角的计算、三角形形状的判断等问题. 高频考点通关

11、 第36页/共65页【典例3】(1)(2013陕西高考)设ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若bcos C+ccos B=asin A, 则ABC的形状为( )A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.不确定(2)(2013山东高考)ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若B=2A，a=1， 则c=( )b3，A. 2 3 B.2 C. 2 D.1第37页/共65页【解题视点】(1)利用正弦定理将边的关系化为角的关系来判断三角形的形状.(2)根据角的关系结合正弦定理求出角A，然后求出角B，C后再求解.【规范解答】(1)选A.因为bcos C+ccos B

12、=asin A,所以由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,sin A=sin2A,sin A=1,即 所以三角形ABC是直角三角形.A2，第38页/共65页(2)选B.由B=2A,则sin B=sin 2A，由正弦定理知即 所以 所以 所以 所以c2=a2+b2=1+3=4，故c=2.ab,sin Asin B1333,sin Asin Bsin 2A2sin Acos AAB2A63，CBA2 ，3cos A2，第39页/共65页【通关锦囊】 高考指数高考指数重点题型重点题型破解策略破解策略判断三角形的形判断三角形的形状状(1)

13、(1)化边化边: :通过因式分解、通过因式分解、配方等得出边的相应关系配方等得出边的相应关系, ,从而判断三角形的形状从而判断三角形的形状. .(2)(2)化角化角: :通过三角恒等变通过三角恒等变形形, ,得出内角的关系得出内角的关系, ,从而从而判断三角形的形状判断三角形的形状. .此时要此时要注意应用注意应用A+B+C=A+B+C=这个结这个结论论计算边、角问题计算边、角问题利用正、余弦定理构造方利用正、余弦定理构造方程程( (组组) )求解求解第40页/共65页【关注题型】证明三角恒证明三角恒等式等式利用正、余弦定理统一边角利用正、余弦定理统一边角, ,再利用代数、三角恒等变换再利用代

14、数、三角恒等变换证明证明求边或角求边或角( (或或其他参数其他参数) )的的取值范围取值范围( (最最值值) )问题问题利用正、余弦定理将所求边、利用正、余弦定理将所求边、角统一角统一, ,消元消元, ,利用基本不等利用基本不等式或函数求解式或函数求解第41页/共65页【特别提醒】在判断三角形的形状时,注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种情况的可能.第42页/共65页 【通关题组】1.(2014潍坊模拟)在ABC中， (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为( )A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形2Baccos22c第4

15、3页/共65页【解析】选B.因为所以 所以所以 所以c2a2b2.所以ABC为直角三角形.2Baccos22c，2Bac2cos112c，acos Bc ，222acba2acc ，第44页/共65页2.(2012湖北高考)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且ABC，3b=20acos A，则sin A sin B sin C为( )A.4 3 2 B.5 6 7C.5 4 3 D.6 5 4第45页/共65页【解析】选D.由题意知：a=b+1,c=b-1,所以 整理得：7b2-27b-40=0，解得b=5或 (舍去),可知：a=6,c=4.结合正

16、弦定理可知答案.3b20acos A222222bb1b1bca20 b120(b1),2bc2b b1g8b7 第46页/共65页3.(2014厦门模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若acos B+bcos A=csin C, 则角B=_.222bca3bc，第47页/共65页【解析】由 得 所以A=30.由正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A=sin Csin C，即sin(A+B)=sin Csin C=sin C，解得sin C=1(sin C=0舍去)，所以C=90，所以B=60.答案：60222bca3bc，222bca3bc3cos A2bc

17、2bc2，第48页/共65页4.(2014湛江模拟)在ABC中，cos A= AC=3AB，则cos B=_.【解析】如图，设AB=c，则AC=3c，在ABC中，由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2ACABcos A=(3c)2+c2-23cc=10c2-2c2=8c2,cos B=答案：013，13222222BABCACc8c9c0.2BA BC2 c 2 2cgg g第49页/共65页【加固训练】1.(2014贵阳模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,B= .(1)若b2=ac，求角A，C的大小.(2)求sin A+sin C的取值范围.3第50页/共65页【解析】

18、(1)由已知B= ，在ABC中，根据余弦定理,得b2=a2+c2-2accos =a2+c2-ac，由已知b2=ac，所以a2+c2-ac=ac，即(a-c)2=0，所以a=c，所以A=C，而A+C=- 所以A=C= .(2)由已知得sin A+sin C=sin A+ 因为A 所以 所以 所以即sin A+sin C的取值范围为33233，3233sin(A)sin Acos A322313(sin Acos A)3sin(A),2262(0,)3，5A666，1sin(A)( ,162，33sin(A)(, 362，3(3.2，第51页/共65页2.(2014长沙模拟)在ABC中，a,b,

19、c分别为内角A,B,C的对边，求证：【证明】方法一：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B，所以a2-b2=b2-a2-2bccos A+2accos B.整理，得由正弦定理，得即222sin ABab.csin C222abacos Bbcos Acc，222absin Acos Bsin Bcos Acsin C，222sin ABab.csin C第52页/共65页方法二：右边 左边.故sin Acos Bsin Bcos Asin Csin Asin Bcos Bcos Asin Csin Cgg222222a acbb bcac2acc2b

20、cgg22222222acbbca2c2c2222222a2bab2cc222sin ABab.csin C第53页/共65页【规范解答5】正、余弦定理在三角形中的应用【典例】(12分)(2013江西高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(1)求角B的大小.(2)若a+c=1，求b的取值范围.cos Ccos A3sin A cos B0.第54页/共65页【审题】分析信息,形成思路信息提取信息提取思路分析思路分析(1)(1)cos C+(cos A- cos C+(cos A- sin A)cos B= sin A)cos B=0 0，求角，求角B B的大小的大小 利用

21、三角形内角和为利用三角形内角和为三角恒等变换三角恒等变换角角B B(2)(2)a+c=1,a+c=1,求求b b的取值范的取值范围围角角BB由余弦定理可得由余弦定理可得b b2 2关于关于a,ca,c的等式的等式由由a+c=1a+c=1消去消去c c得得b b2 2关于关于a a的函数的函数, ,同时求同时求a a的范的范围围求求b b的取值范围的取值范围3第55页/共65页【解题】规范步骤，水到渠成(1)在ABC中，因为ABC，所以-cos(A+B)+cos Acos B sin Acos B=0即sin Asin B- sin Acos B=0,因为sin A0，所以sin B- cos B=0,4分3，2分33第56页/共65页cos B0，所以又0B，所以 6分tan B3,B. 3第57页/共65页(2)由余弦定理，有b2=a2+c2-2accos B，因为a+c=1, 所以c=1-a，代入上式整理得 9分又因为c=1-a，由0c1得0a0，故 所以B=45222cb3a，13 acos B2c22c23 a21cos B.22cos B2，第62页/共65页第63页/共65页第64页/共65页感谢您的观看！第65页/共65页