世纪金榜理科数学广东版44.pptx

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1、【知识梳理】1.向量在平面几何中的应用(1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题.第1页/共67页(2)用向量解决常见平面几何问题的技巧.问题类型问题类型所用知识所用知识公式表示公式表示线平行、点共线平行、点共线等问题线等问题共线向量共线向量定理定理ab_其中其中a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2) )垂直问题垂直问题数量积的运数量积的运算性质算性质ab_a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),其中其中a, ,b为非零向量为非零向量a=b(b0)

2、x1y2-x2y1=0ab=0 x1x2+y1y2=0第2页/共67页问题类型问题类型所用知识所用知识公式表示公式表示夹角问题夹角问题数量积的数量积的定义定义cos= (cos= (为向量为向量a, ,b的夹角的夹角) )长度问题长度问题数量积的数量积的定义定义| |a|=_=_,|=_=_,其中其中a=(x,y)=(x,y)|a ba b2a22xy第3页/共67页(3)用向量方法解决平面几何问题的步骤.平面几何问题 向量问题 解决向量问题 解决几何问题设向量运算还原第4页/共67页2.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的减法和加法相似，

3、可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积,即W=_=_(为F与s的夹角). Fs|F|s|cos 第5页/共67页【考点自测】1.(思考)给出下列结论：若 与 共线，则A，B，C，D四点在一条直线上；若A(x1,y1),B(x2,y2),则在ABC中，若 0，则ABC为钝角三角形；物理中的力、速度、位移都是既有大小，又有方向的量，可用向量表示.其中正确的是( )A. B. C. D.AB CD 222121|AB|xxyy ；AB BC 第6页/共67页【解析】选C.错误，线段AB，CD所在的直线也有可能平行；正确，因为 =(x2-x1，y2-y1),所以错

4、误，由 0得 0，可得角B为锐角，但三角形的形状不能判定；正确，由物理学的知识知正确.AB 222121ABxxyy ；AB BC BA BC 第7页/共67页2.已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5，2)，C(-1，-4)，则这个三角形是( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形【解析】选B.由题意，得-6)，显然 =-8+16=80,所以角A是锐角， =(-6，-6)(-2，2)=12-12=0，所以角B是直角，故ABC是直角三角形.AB22 AC48 BC( 6 ， |AB| |AC| |BC|,AB AC BC BA 第8页/共67页3.在A

5、BC中， 则ABC的面积是( )A.5 B.10 C. D.20【解析】选C.由得cos A= 所以故SABC=|AB| 5 |AC| 4 AB AC10 ，5 3AB AC |AB|AC|cos A5 4cos A10, 1,223sin A1cos A2，113|AB|AC|sin A5 45 3.222 第9页/共67页4已知平面向量a=(1，cos ),b=(1,3sin ),若a与b共线，则tan 2的值为( )【解析】选C.因为a与b共线，所以3sin -cos =0,即tan = 所以tan 2=123A. B. C. D.13341,3222tan 33.11tan419第10

6、页/共67页5. 在ABC中，C90，且CACB3，点M满足则 等于( )A.2 B.3 C.4 D.6【解析】选B.由题意可知，BM 2MA ，CM CB 1CM CB (CAAB) CB3 1CA CBAB CB3 103 23cos 453.3第11页/共67页6.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1,F2成60角，且F1,F2的大小分别为2和4，则F3的大小为_.【解析】由题意得F3+F1+F2=0，所以|F3|=答案：22312()FFF212()416224cos 602 7. FF2 7第12页/共67页考点1 向量在平面几何中的应

7、用【典例1】(1)(2013福建高考)在四边形ABCD中， 则该四边形的面积为( )A. B. C.5 D.10(2)(2013天津高考)在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=60,E为CD的中点.若 则AB的长为_.AC1,2 ，BD4,2 , 52 5AC BE1, 第13页/共67页【解题视点】(1)观察向量 坐标的特点，由此通过计算判断AC与BD的位置关系，再利用面积公式求解.(2)根据题意，选取 当基底，根据向量的加法及平面向量基本定理由 表示 由 列方程求AB的长，或建系用向量的坐标运算求AB的长.ACBD 与ABAD ，ABAD ，AC BE ， ，AC BE1 第14页/共

8、67页【规范解答】(1)选C.因为所以AC,BD是互相垂直的对角线，所以(2)方法一：因为所以所以 解得AC BD0, 11S|AC| |BD|5 2 5522 ACABAD,BEBAADDE 11ABADABADAB,22 22111AC BE(ABAD) (ADAB)ADAD ABAB222 21111 |AB|cos 60|AB|1,22 211|AB|AB|0,42 1|AB|.2 第15页/共67页方法二：如图，以A为原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(0，0)，D(1，0)，设AB的长为a,则 因为E是CD的中点，所以所以 即2a2-a=0,解得 或a=0(舍去).故AB

9、的长为答案：a3a3B(a)C(1a)2222，a3E(1a)44，a3a3AC(1a) BE(1a)2244 ，aaAC BE(1)(1)24 23a18 ，1a21.212第16页/共67页【易错警示】关注四边形面积的求法 本例(1)采用对角线互相垂直的四边形面积的求法，解答本题易忽视向量 的关系，想不到该种方法，使问题陷入僵局而产生误选.求四边形面积的方法有：特殊四边形套公式法；不规则四边形常用分割法；对角线互相垂直的四边形，其面积是对角线长乘积的一半.AC BD ，第17页/共67页【互动探究】本例(2)中其他条件不变，若 试求的值.【解析】如图，令 则 a与b的夹角为60，因为E是C

10、D的中点，所以 故1AB2，AC BE ABAD ，ab112，abAC ，ab11BEBCCE()22 ，baba22111AC BE() ()222 ababaa bb1111 cos 6011.822 第18页/共67页【规律方法】平面几何问题的向量解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.第19页/共67页【变式训练】平面上O,A,B三点不共线，设则OAB的面积等于( )OA,OB ，ab222

11、222222222A. | | |() B. | | |()11C.| | | |() D.| | |()22aba baba baaa baba b第20页/共67页【解析】选C.由条件得cosa,b=所以=所以SOAB= |a|b|sina,b=,a ba b2sin,1cos,a ba b222()1()1,()a ba ba ba b12221()| | 12(| |)a babab22221()(| |)(| |)2|a bababa b2221| |() .2aba b第21页/共67页【加固训练】1.已知ABC，点D在BC边上，且则m+n的值为( )【解析】选B.如图，因为所以=

12、又 不共线，所以故m+n=0.CD4DBmABnAC ，CD4DB ，44CDCB(ABAC)55 44ABAC.55 CDmABnAC ABAC ， ，44m,n,55 8816A. B.0 C. D.555第22页/共67页2.若等边ABC的边长为 平面内一点M满足则 _.【解析】方法一:以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，根据题设条件可知A(0，3)，设M(x,y)，则2 3，12CMCBCA63 ，MA MB B(3 0),C( 3,0).，CM(x3,y)，CB( 2 3,0) CA(3,3). ，第23页/共67页由 得,所以x=0，y=2,所以点M

13、的坐标为(0,2).所以12CMCBCA63 12(x3,y)( 2 3,0)(3,3)(3,2),63 MA (01) MB (32)MA MB2. ， ， 所以 第24页/共67页方法二:由于所以因为ABC是边长为 的等边三角形,所以所以答案：-2 1211MACACMCA( CBCA)CACB,6336 1225MBCBCMCB( CBCA)CACB,6336 1125MA MB( CACB) (CACB)3636 22275CACA CBCB .91836 2 3221CACB12 CA CB2 32 362 ，275MA MB126122.91836 第25页/共67页考点2 向量在

14、三角函数中的应用【考情】向量的共线与垂直和向量的数量积之间的关系以其独特的表现形式成为高考命题的亮点，作为一个重要载体，它常与三角函数相结合，在知识的交汇点处命题，常以解答题的形式出现. 高频考点通关 第26页/共67页【典例2】(1)(2012陕西高考)设向量a=(1,cos )与b=(-1,2cos )垂直，则cos 2等于( )(2)(2013江苏高考)已知a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin )，0.若|a-b|= 求证：ab;设c=(0,1),若a+b=c,求,的值.21A. B. C.0 D. 1222，第27页/共67页【解题视点】(1)由向量a与b垂直列方程求解.

15、(2)利用模的运算证明ab=0即可;根据向量相等列关于,的方程组，由三角变换求解.第28页/共67页【规范解答】(1)选C.已知a=(1,cos )，b=(-1,2cos )， 因为ab，所以ab=0，所以-1+2cos2=cos 2=0，故选C.(2)由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2ab+b2=2.又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2ab=2,即ab=0,故ab.第29页/共67页因为a+b=(cos +cos ,sin +sin )=(0,1),所以由此得，cos =cos(-)，由0，得0-，又0，故=-.代入sin +sin =1得，sin =sin

16、= 而,所以cos cos 0,sin sin 1, 1,25,.66 第30页/共67页【通关锦囊】高考指数高考指数重点题型重点题型破解策略破解策略求三角函求三角函数值数值根据向量垂直或共线的条件列方根据向量垂直或共线的条件列方程程, ,把问题转化为三角函数的条件把问题转化为三角函数的条件求值求值, ,利用三角函数的相关公式解利用三角函数的相关公式解决决求函数的周求函数的周期或最值期或最值利用向量的相关运算利用向量的相关运算, ,把问题转化把问题转化为三角函数为三角函数, ,化简三角函数关系式化简三角函数关系式, ,套公式求函数的周期套公式求函数的周期, ,根据角的范根据角的范围求函数的最值

17、围求函数的最值第31页/共67页高考指数高考指数重点题型重点题型破解策略破解策略求角的大小求角的大小利用向量的坐标运算利用向量的坐标运算, ,把有关向量把有关向量的问题转化为三角函数问题的问题转化为三角函数问题, ,先求先求值值, ,再根据角的范围求角的大小再根据角的范围求角的大小在三角形中在三角形中的计算的计算利用向量的坐标运算利用向量的坐标运算, ,把向量垂直把向量垂直或共线转化为相应的方程或共线转化为相应的方程, ,在三角在三角形中利用内角和定理或正、余弦形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题定理解决问题第32页/共67页【特别提醒】解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的

18、数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题.第33页/共67页【通关题组】1.(2014临沂模拟)已知向量a=(sin ,2)与向量b=(cos ,1)平行，则tan 2的值为_.【解析】因为向量a=(sin ，2)与b=(cos ,1)平行，所以sin -2cos =0,即tan =2,故答案：22tan tan 21tan 4344.143 第34页/共67页2.(2014汕头模拟)设函数f(x)=ab，其中a=(2cos x,1),b=(1)求函数f(x)的单调减区间.(2)若x 求函数f(x)的值域.(cos x, 3sin 2x)xR.，04，第35页/共67页【解析】(

19、1)f(x)=2cos2x+=令得因此，函数f(x)的单调减区间为(2)当x 时，所以因此，函数f(x)的值域为3sin2x3sin2xcos2x12sin(2x)1.6 32k2x2k,kZ,2622kxk,kZ,63 2k,k,kZ.6304，2x,63 6 3 1sin(2x), .622 31,2 .第36页/共67页【加固训练】1.(2014肇庆模拟)已知向量a=(cos ,-2)，b=(sin ,1),且ab，则2sin cos 等于( )A.3 B.-3 C. D.【解析】选D.由ab得cos =-2sin ，所以tan =所以2sin cos =45451.2222sin co

20、s sincos22tan 4.tan15 第37页/共67页2.(2014揭阳模拟)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcos C=3acos B-ccos B.(1)求cos B的值.(2)若 且 求a和c的值.BA BC2 ，b2 2,第38页/共67页【解析】(1)由正弦定理，得2Rsin Bcos C=6Rsin Acos B-2Rsin Ccos B(R为ABC外接圆半径),所以sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B,即sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B，所以sin(B+C)=3sin Acos B,又si

21、n(B+C)=sin(-A)=sin A.所以sin A=3sin Acos B.因为sin A0,所以1cos B.3第39页/共67页(2)由 得accos B=2,由(1)知cos B= 所以ac=6.又因为b2=a2+c2-2accos B,即8=a2+c2-4,所以a2+c2=12.由式解得BA BC2 ，1,3ac6.第40页/共67页考点3 向量在解析几何中的应用【典例3】(1)已知两点M(3，0)，N(3，0)，点P为坐标平面内一动点，且 则动点P(x，y)到点M(3，0)的距离d的最小值为( )A.2 B.3 C.4 D.6MN MPMN NP0 ，第41页/共67页(2)(

22、2014吉林模拟)已知点A(-1，0)，B(1，0)，动点M的轨迹曲线C满足AMB=2, 过点B的直线交曲线C于P,Q两点.求 的值，并写出曲线C的方程；设直线PQ的倾斜角是 试求APQ的面积.2AM BM cos3 ，|AM|BM| ,4第42页/共67页【解题视点】(1)先根据向量的运算判断点P的轨迹，再由点M的特点求解.(2)先根据向量的运算确定点M的轨迹，然后根据相关的值写出曲线C的方程；写出直线PQ的方程，与曲线C的方程组成方程组，根据根与系数的关系求APQ的面积.第43页/共67页【规范解答】(1)选B.因为M(-3，0)，N(3，0)，所以=(6,0)，由 得化简得y2=-12x

23、，所以点M是抛物线y2=-12x的焦点，所以点P到点M的距离的最小值就是原点到M(-3，0)的距离，所以dmin=3.MN MN6,MPx3,y ,NPx3,y . |MN| |MP| MN NP0 226 (x3)y6 x30 ，第44页/共67页(2)设M(x,y),在MAB中，|AB|=2，AMB=2，根据余弦定理得即 而 所以所以22|AM|BM|2|AM| |BM|cos 24. 2(|AM|BM|)2|AM| |BM| 1cos 24. 22(|AM|BM|)4|AM| |BM|cos4. 2|AM| |BM|cos3, 2(|AM|BM|)4 34. AMBM4. 第45页/共6

24、7页又因此点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意)，a=2,c=1.所以曲线C的方程为AMBM42AB , 22xy1.43第46页/共67页由题意得直线PQ的方程为:y=x-1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由 得7x2-8x-8=0,所以y1+y2=x1+x2-2=y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=因为A(-1,0),B(1,0),所以|AB|=2.22yx13x4y12，121288xx,x x,77 6,79,7第47页/共67页所以SAPQ=SABP+SABQ=|y1-y2|=即APQ的面积是1211AB yAB | y |2

25、221212363612yy4y y2.4977122.7第48页/共67页【规律方法】向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用abab=0(a,b为非零向量),ab a=b(b0),可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法.第49页/共67页【变式训练】已知平面上一定点C(2，0)和直线l:x=8,P为该平面上一动点，作PQ

26、l，垂足为Q，且则点P到点C的距离的最大值是_.11(PCPQ) (PCPQ)022 ，第50页/共67页【解析】设P(x,y),则Q(8,y)，由 得即化简得所以点P的轨迹是焦点在x轴的椭圆，且点C是其右焦点.故|PC|max=a+c=4+2=6.答案：611(PCPQ) (PCPQ)022 ，221PCPQ04 ，2221x2yx80,422xy11612 ，a4,b2 3,c2,第51页/共67页【加固训练】1.(2014银川模拟)在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x,y)满足 则点P的轨迹方程是_.【解析】因为定点A(1，2)与动点P(x,y)满足所以(x,y)(1

27、,2)=4,即x+2y-4=0.答案：x+2y-4=0OP OA4 ，OP OA4 ，第52页/共67页2.在平行四边形ABCD中，A(1，1)， 点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.(1)若 求点C的坐标.(2)当 时，求点P的轨迹AB6,0 ，AD3,5 ，AB|AD| 第53页/共67页【解析】(1)设点C的坐标为(x0，y0)，又 (3，5)(6，0)(9，5)，即(x01，y01)(9，5)，所以x010，y06，即点C(10,6).(2)设P(x,y)，则 =(x-1,y-1)-(6,0)=(x-7,y-1)，ACADAB BPAPAB 第54页/共67页(3(x1)，3

28、(y1)(6，0)(3x9，3y3)因为所以平行四边形ABCD为菱形所以所以(x7，y1)(3x9，3y3)0，1ACAMMCAB3MP211AB3(APAB)3APAB22 ABAD ，BPAC ，第55页/共67页即(x7)(3x9)(y1)(3y3)0.所以x2y210 x2y220即(x-5)2+(y-1)2=4.又当y=1时，点P在AB上，与题意不符,故点P的轨迹是以(5，1)为圆心，2为半径的圆且去掉与直线y=1的两个交点第56页/共67页【规范解答7】向量与三角函数相结合的综合问题【典例】(12分)(2013辽宁高考)设向量a=b=(cos x,sin x),x(1)若|a|=|

29、b|，求x的值.(2)设函数f(x)=ab，求f(x)的最大值.( 3sin x,sin x),0,.2第57页/共67页【审题】分析信息,形成思路 信息提取信息提取思路分析思路分析(1)(1)a, ,b的坐标的坐标是已知的是已知的; ;| |a|=|=|b|,|,xx由向量由向量a, ,b的坐标及的坐标及| |a|=|=|b| |列关于列关于x x的的方程方程解方程求解方程求sinxsinx的值的值根据根据x x的取的取值范围求值范围求x x的值的值(2)(2)f(x)=f(x)=ab, ,求求f(x)f(x)的最大值的最大值由向量由向量a, ,b的坐标及平面向量的数量积的坐标及平面向量的数

30、量积公式建立函数关系公式建立函数关系化简函数解析式化简函数解析式由由x x的取值范围求的取值范围求f(x)f(x)的最大值的最大值0,2第58页/共67页【解题】规范步骤，水到渠成(1)因为a= b=(cos x，sin x)，|a|=|b|.所以 2分即4sin2x=1, 4分因为所以6分( 3sin x,sin x),22223sin xsin xcos xsin x.21sin x.42,x0,1sin x,26.x故第59页/共67页(2)因为a= b=(cos x，sin x),所以= 10分因为 所以所以当 即 时，f(x)max= 12分( 3sin xsin x)， 231co

31、s 2xf x3sin xcos xsin xsin 2x22a b1sin(2x.)622,x0,52x666，2x,62x33.2第60页/共67页【点题】失分警示,规避误区失分点失分点防范措施防范措施处忽略处忽略x x的取值的取值范围导致失分范围导致失分解简单的三角方程求角的大小解简单的三角方程求角的大小, ,或求有关或求有关三角函数的最值一定要注意角的取值范三角函数的最值一定要注意角的取值范围围, ,否则易产生增解或漏解否则易产生增解或漏解处易错解处易错解导致失分导致失分要熟记特殊角的三角函数值要熟记特殊角的三角函数值, ,以防混淆以防混淆处函数式化简处函数式化简错误导致失分错误导致失

32、分要强化训练要强化训练, ,熟练运用三角恒等变换公式熟练运用三角恒等变换公式进行式子的化简进行式子的化简x3第61页/共67页【变题】变式训练，能力迁移(2014重庆模拟)已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a+c,b-a),n=(a-c,b),且mn.(1)求角C的大小.(2)若向量 试求|s+t|的取值范围.2B(01)(cos A 2cos)2， ，st第62页/共67页【解析】(1)由题意得mn=(a+c，b-a)(a-c，b)=a2-c2+b2-ab=0，即c2=a2+b2-ab.由余弦定理得因为0C,所以(2)因为 =(cos A,cos B),所以|s+t|2=cos2A+cos2B=cos2A+因为 所以222abc1cos C.2ab2C.32B(cos A,2cos1)2 st22cos (A)31sin(2A)1.26 20A,372A,666第63页/共67页所以所以1sin(2A)1.2621525,.2422故stst第64页/共67页第65页/共67页第66页/共67页感谢您的观看！第67页/共67页