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1、模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若abc,则1b-c-1a-c的值()A.大于0B.小于0C.小于或等于0D.大于或等于0解析因为abc,所以a-cb-c0.所以1a-c0,故选A.答案A2.不等式|x+3|+|x-2|5的解集是()A.x|-3x2B.RC.D.x|x2解析令f(x)=|x+3|+|x-2|=-2x-1,x-3,5,-3x2,2x+1,x2,则f(x)的图象如图,由图可知,f(x)0,y0,z0),则P与3的大小关系是()A.P3B.P3解析因为1+x0,1+y0,1+z0,所以x1+x+y1+y+z1+z
2、1+x1+x+1+y1+y+1+z1+z=3,即Pa的解集为M,且2M,则a的取值范围为()A.14,+B.14,+C.0,12D.0,12解析由已知2M,可得2RM,于是有2a-12a,即-a2a-12a,解得a14,故应选B.答案B5.某人要买房,随着楼层的升高,上、下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第n层楼,上、下楼造成的不满意度为n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第n层楼时,环境不满意程度为9n,则此人应选()A.1楼B.2楼C.3楼D.4楼解析设第n层总的不满意程度为f(n),则f(n)=n+9n29=23=6,当且仅当n=9
3、n,即n=3时等号成立.答案C6.若关于x的不等式|x-1|+|x-3|a2-2a-1在R上的解集为,则实数a的取值范围是()A.a3B.a3C.-1a3D.-1a3解析|x-1|+|x-3|的几何意义是数轴上与x对应的点到1,3对应的两点距离之和,则它的最小值为2.原不等式的解集为,a2-2a-12,即a2-2a-30,解得-1a0,b0,若A,B,C三点共线,则1a+2b的最小值为()A.4B.6C.8D.9解析AB=(a-1,1),AC=(-b-1,2),A,B,C三点共线,2(a-1)-(-b-1)=0,整理,得2a+b=1.又a0,b0,则1a+2b=(2a+b)1a+2b=4+ba
4、+4ab4+2ba4ab=8,当且仅当b=2a=12时,等号成立.故选C.答案C10.用反证法证明“ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列,求证By,求证2x+1x2-2xy+y22y+3.证明因为x0,y0,x-y0,所以2x+1x2-2xy+y2-2y=2(x-y)+1(x-y)2=(x-y)+(x-y)+1(x-y)233(x-y)21(x-y)2=3当且仅当x-y=1x-y时,等号成立,所以2x+1x2-2xy+y22y+3.18.(本小题满分12分)已知m1,且关于x的不等式m-|x-2|1的解集为0,4.(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最
5、小值.解(1)m1,不等式m-|x-2|1可化为|x-2|m-1,1-mx-2m-1,即3-mxm+1.其解集为0,4,3-m=0,m+1=4,解得m=3.(2)由(1)知a+b=3.(方法一:利用基本不等式)(a+b)2=a2+b2+2ab(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),a2+b292当且仅当a=b=32时,等号成立,a2+b2的最小值为92.(方法二:利用柯西不等式)(a2+b2)(12+12)(a1+b1)2=(a+b)2=9,a2+b292当且仅当a=b=32时,等号成立,a2+b2的最小值为92.(方法三:消元法求二次函数的最值)a+b=3,b=3-a.a2+b2=
6、a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2a-322+9292,a2+b2的最小值为92.19.(本小题满分12分)用数学归纳法证明:n+12nn!(n1,nN+).(n!=n(n-1)21)证明(1)当n=2时,2+122=322=942!=2,不等式成立.(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即k+12kk!.当n=k+1时,(k+1)+12k+1=k+12+12k+1=Ck+10k+12k+1+Ck+11k+12k12+Ck+1k+112k+1k+12k+1+12(k+1)k+12k=(k+1)k+12k(k+1)k!=(k+1)!,所以当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)可知,对n
7、1的一切自然数,不等式成立.20.(本小题满分12分)已知x+y0,且xy0.(1)求证:x3+y3x2y+y2x;(2)如果xy2+yx2m21x+1y恒成立,试求实数m的取值范围.(1)证明因为x3+y3-(x2y+y2x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x+y)(x-y)2,且x+y0,(x-y)20,所以x3+y3-(x2y+y2x)0,故x3+y3x2y+y2x.(2)解若xy0,则xy2+yx2m21x+1y等价于m2x3+y3xy(x+y)=x2-xy+y2xy.又因为x2-xy+y2xy=(x+y)2-3xyxy-3xyxy=-3,即x3+y3xy(x+y)-6.若xy0,
8、则xy2+yx2m21x+1y等价于m2x3+y3xy(x+y)=x2-xy+y2xy.因为x2-xy+y2xy2xy-xyxy=1,即x3+y3xy(x+y)1(当且仅当x=y时,等号成立),故m2.综上所述,实数m的取值范围是(-6,2.21.导学号26394075(本小题满分12分)设函数f(x)=|x+2|-|x-2|.(1)解不等式f(x)2;(2)当xR,0y1时,求证:|x+2|-|x-2|1y+11-y.(1)解由已知可得,f(x)=4,x2,2x,-2x2,-4,x-2,故f(x)2的解集为x|x1.(2)证明由(1)知,|x+2|-|x-2|(x+2)-(x-2)|=4.0y1,01-y0,1a2+4b2+9c2=2m-10,m5,即实数m的取值范围是5,+).