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1、关于积分的数学模型实例用现代数学方法研究体育运动是20 世纪 70 年代开始的， 1973 年，美国的应用数学家凯勒发表了赛跑的有关理论，并用他的理论训练中长跑运动员，取得很好的成绩。 几乎同时， 美国的计算专家埃斯特运用数学、力学，并借助计算机研究了当时铁饼投掷技术， 从而提出自己的理论， 据此改正投掷技术的训练措施，从而使当时一位世界冠军在短期内将成绩提高了4 米， 在一次奥运会上的比赛中创造了连破三次世界纪录的辉煌成绩。这些例子说明， 数学在体育训练中也在发挥着越来越明显的作用， 所用到的数学知识也越来越深入，借助的科学工具也越来越先进。我们选择一个较简单的例子来作说明。篮球运动员在中距
2、离投篮训练时被告知：为提高投篮命中率，应以450投射角投球。请从数学理论的方法阐述其原因。其中典型数据： 投篮距离 6 米，篮圈半径 0.2 米，篮圈高度 3.05 米，篮球出手高度2.9 米。模型假设：（1） 忽略空气阻力；v P1P2（2） 只考虑不接触篮板投篮的情况；O （3） 防守队员的防守不影响投篮命中率；（4） 运动员投球的水平距离s10（米）h0H0（5） 投球的运动曲线和篮圈中心在同一平面内。S0如图，设 P1P2为篮圈横截面， 篮圈高为 H0，半径为 R，H0=3.05 （米） ，R=0.2（米）投篮出手点到篮圈中心水平距离为s0，出手高度为h0，s0=6（米） h0=2.9
3、（米）投篮出手角度为，速度为 v，入篮篮球空中运行轨迹位于图中两曲线之间区域，其面积为 A() 建立相应的数学模型及求解：显然，投球入篮与否与距离s0、出手角度、出手速度 v、篮圈高、半径等因素有关，为了综合考虑这些因素， 我们用入篮篮球的空中运行区域的大小来刻画投篮的命中程度。于是，该问题转化为求一个角度0(h0, s0)，能使运行区域面积A()最大，即000(,)()max( )hsAA第一步：由运动学知弧1OP 、2OP的方程为斜上抛运动轨迹方程，方程式为：222tan2cosgyxxv由于1OP过点1000(,)PsR Hh，则有：0002220tan()()2cos()sRHhgvs
4、R则1OP的方程为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 200020tan()()tan()sRHhyxxsR同理，2OP得方程为200020tan()()tan()sRHhyxxsR另外，直线 P1P2的方程为00yHh第二步，求运动区域面积A() 运用定积分求面积，得02200000022000tan()()tan()()()tantan()()sRsRHhsRHhAxxxxdxsRsR0020000020tan(
5、)()tan()()sRsRsRHhxxHhdxsR00024tan()33s RR Hh第三步，求 A()得极值点：由 A()的表达式可以看出，当tan 越大（即越大，900） ，A()越大。但事实上由于投篮出速度只可能在某一范围内变化，所以tan 只可能在某一范围内变化。 为求 tan 在所给定的范围内使A()达到最大， 我们把 A 化为初速度v 的函数来求极大值。回到运动方程222tan2cosgyxxv设曲线过点0000( ,),s HhssR sR，代入方程得：20022tan2cosgHhssv从而有20022tan()(1tan)2sHhgvs这是关于 tan 的一元二次方程，取
6、其最小的根：24222001tan(2()vvvHhgg sgs其中，2v满足4222002()0vvHhgg s又因为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 42222000024222002()()tan0()2()vvHhgg svHhgdd vgsvvHhgg s所以， tan是2v的减函数，当2v达到极小时， tan 达到极大，由于4222002()0vvHhgg s解得22220000()( )mvg HhH
7、hsvs则有22000001max tan()()1tan()mvHhHhvssgsss其中200000( )arctan()1HhHhsss从上式可以看出，0( )s是 s的减函数，由于00,ssR sR所以220000000000000arctan()1( )arctan()1HhHhHhHhssRsRsRsR把 H0、h0、s0、R的数据代入计算，得0045.6945.74这与一般中距离投篮的经验（投射角为450）基本相符，结果令人满意。在上述模型中，当运动区域面积表示为tan 的函数时，不能用微分求极值得方法直接解决，而是使用一定的转化从侧面入手加以讨论。此模型比较粗糙，还有许多问题没有考虑进去， 若将其他因素加入模型之中， 得出的公式自然更精确，当然也会复杂得多，这里不再作深入讨论。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -