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1、数学模型-狼追击兔子的问题一、问题重述与分析（一）问题描述神秘的大自然里，处处暗藏杀机，捕猎和逃生对动物的生存起着至关重要的作用，而奔跑速度和路线是能否追上和逃生的关键因素。狼追击兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。当一个兔子正在它的洞穴南面60 码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。（二）1、
2、本题目是在限定条件下求极值的问题,可以通过建立有约束条件的微分方程加以模拟。2、通过运用欧拉公式及改进欧拉公式的原理,结合高等数学的有关知识,对微分方程进行求解。3、将数学求解用 Matlab4、最后解方程的解结合实际问题转化为具体问题的实际结果。二、变量说明1v：兔子的速度（单位：码/秒）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 9 页 -r：狼与兔子速度的倍数；2v：狼的速度（单位：码/秒），显然有12rvvt：狼追击兔子的时刻（t=0时，表示狼开始追兔子的时刻）1s：在时刻t，兔子跑过的路程（单位：码），)(11tss2s：在时刻t，狼跑过的路程（单位：码），)(22
3、tssQ),(11yx：表示在时刻t时，兔子的坐标P),(yx：表示在时刻t时，狼子的坐标三、模型假设1、狼在追击过程中始终朝向兔子；2、狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P),(yx的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为)(xyy。3、四、模型建立（一）建模准备以t0 时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为x 轴正向；则显然有兔子位置的横坐标01x。对狼来说，当 x100，y0，即0100 xy在 t 0 刚开始追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即 x 轴负方向，则有0100 xy（二）建立模型名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 9 页 -1、追
4、击方向的讨论由于狼始终朝向兔子，则在狼所在位置P),(yx点过狼的轨迹处的切线方向在 y 轴上的截距为1y。设切线上的动点坐标为（X，Y），则切线方程为)(xXyyY（1）在（1）中，令X0，则截距xyyY。此时tvy11。则此时截距等于兔子所跑过的路程，即：1yY，从而可得xyyyY1（2）2、狼与兔子速度关系的建模在 t 时刻，兔子跑过的路程为tvys111（3）由于狼的速度是兔子的r倍，则狼跑的路程为112ryrss（4）狼跑过的路程可以用对弧长的曲线积分知识得到，如下。dxysx100221（5）联立（2）、（4）、（5）得)(111002xyyrrydxyx（6）对（6）两边求对 x
5、 的导数，化简得名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 9 页 -rxyy21（7）微分方程（7）式的初始条件有：0100 xy0100 xy3、是否追上的判断要判定狼是否追上兔子，可以通过（7）式判定。对（7）式，当 x0，如果计算求解得到60y，则视为没有追上；当 x0，如果计算求解得到60y，则视为兔子被追上；五、模型求解由微分方程得到其Matlab 函数function yy=odefunlt(x,y)%以狼在追击过程中的横坐标为自变量yy(1,1)=y(2);yy(2,1)=sqrt(1+y(2).2)./(2.*x);主程序：tspan=100:-0.1:0.
6、1;%以狼的x坐标为自变量y0=0 0;%下面只知道狼是否追上兔子，但是不易推得兔子刚刚到达窝边时，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 9 页 -狼与兔之间的距离T,Y=ode45(odefunlt,tspan,y0);n=size(Y,1);disp(狼的坐标(x=0.1)disp(Y(n,1)%通过追击曲线计算当狼的横坐标为0.1(即tspan=0.1)时，狼的纵坐标六、模型结果与分析运行结果：狼的坐标(x=0.1)62.1932 通过上面运行结果可知，狼并没有追上兔子。七、思考题通过上面的结果已经知道狼并没有追上兔子。那么兔子跑回窝边时，狼与兔子之间的距离是多少
7、？上面的程序不能解决此问题，那么用什么办法解决呢？（一）解决思路可以对狼与兔子的追击过程通过计算机进行模拟，然后从模拟结果获取。模拟程序如下，程序文件名sim_langtu.m：function sim_langtu%狼兔追击问题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 9 页 -%（离散模拟）%这里没有具体考虑狼、兔的具体速度%主要通过二者的速度倍速关系及方向向量奔跑过程Q=0 0;%兔子坐标P=100 0;%狼坐标PQ=Q-P;%狼兔方向向量step=1;%模拟步长：兔子奔跑的距离，step 越小就越精确count=60/step;%以兔子的奔跑距离划分PQ=PQ/no
8、rm(PQ)*step;%归一化，单位向量trackP=P;trackQ=Q;for k=1:count;P=P+2*PQ;%2 倍速度Q=Q+step*0 1;%0 1 为兔子奔跑方向的单位方向向量PQ=Q-P;trackP(1+k,:)=P;trackQ(1+k,:)=Q;PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量dis=sqrt(sum(P-Q).2);plot(trackP(:,1),trackP(:,2),*,Q(1),Q(2),rp,0,60,r+);pause(0.5)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 9 页 -end%for dis%
9、兔子到达窝边时，狼兔之间的距离P%兔子到达窝边时，狼的坐标Q%兔子到达窝边时，兔子的坐标（二）模拟程序运行结果dis=7.0619 P=1.6805 53.1410 Q=0 60 注：如果修改程序中的step 赋值，则结果稍有不同。程序结束后，输出狼兔的位置图如下。通过下图可以直观的看到，当兔子回到窝边时，狼还与兔子有一段距离，这表示兔子成功逃脱。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 9 页 -01020304050607080901000102030405060八、九、模型评价1可以熟练的运用Matlab 解决一些问题，对用 Matlab 编程有了更加深刻的了解。懂得了使用数学软件求解极限,积分等问题的方法。对于追击问题的数学模型有了一定的了解，并能简单的运用。对遇到的一2、许多数学公式的符号十分难输入，致使数学理论表述十分困难。需要输入的数据太多，容易出现输入错误，特别是容易遗漏标点符号。3、应考虑向简单模型优化，现有的模型还是很复杂，尤其是一些数学的名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 9 页 -计算要能非常熟练的运用微积分知识。所以应考虑更加简便易懂的模型。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 9 页 -