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1、三圆的切线的性质及判定定理A组1.已知圆的半径为6.5 cm,圆心到直线l的距离为4.5 cm,则这条直线和这个圆的公共点的个数是()A.2B.1C.0D.不能确定解析圆心到l的距离是4.5 cm,小于圆的半径6.5 cm,故圆与l相交,有两个公共点.答案A2.如图所示,AB与O切于点B,AO=6 cm,AB=4 cm,则O的半径r等于()A.45 cmB.25 cmC.213 cmD.13 cm解析如图,连接OB,则OB=r且OBAB,故OB=r=OA2-AB2=36-16=25(cm).答案B3.(2016山西太原高二检测)如图所示,O是正三角形ABC的内切圆,切点分别为E,F,G,P是劣
2、弧EG上任意一点,则EPF的度数等于()A.120B.90C.60D.30解析连接OE,OF,则OEAB,OFBC,于是EOF=180-B=120,从而EPF=12EOF=60.答案C4.如图所示,CB为O的直径,P是CB的延长线上的一点,且OB=BP,AOC=120,则PA与O的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.不确定解析如图所示,连接AB.AOC=120,AOB=60.又OA=OB,AOB是等边三角形,OB=AB.又OB=BP,AB=12OP,OAP=90.即OAAP,则PA与O相切.答案B5.(2016安徽蚌埠高二检测)如图所示,已知O的直径AB与弦AC的夹角为30,过C点的切线
3、PC与AB的延长线交于P,PC=3,则O的半径为()A.32B.3C.12D.1解析连接OC,则COP=60,OCPC,可求得OC=333=1.答案D6.如图所示,AB是O的直径,点C在AB的延长线上,CD切O于点D,连接AD,若A=25,则C=.解析如图所示,连接OD.CD与O相切,ODDC.OA=OD,A=ODA=25.COD为AOD的外角,COD=50,C=40.答案407.(2016天津武清高二检测)如图所示,已知EB是半圆O的直径,A是BE延长线上一点,AC是半圆O的切线,切点为D,BCAC于C,若BC=6,AC=8,则AE=.解析连接OD,则ODAC.又BCAC,可得AODABC,
4、而AB=AC2+BC2=10,于是OD6=10-OD10,解得OD=154,故AE=AB-2OD=10-2154=52.答案528.如图所示,正方形ABCD内接于O,O的半径为4 cm,则过AB,BC中点的弦EF的长是 cm.解析如图,连接OB交EF于H,连接OE,则OH=2 cm,HE=42-22=23(cm),故EF=43 cm.答案439.如图所示,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O交BC于点D,过点D作O的切线交AC于点E.求证:DEAC.证明连接OD,AD,如图所示.AB为O直径,ADBC.AB=AC,即ABC为等腰三角形,AD为BC边上的中线,即BD=DC.又OA=OB,OD
5、为ABC的中位线.ODAC.DE切O于点D,ODDE.DEAC.10.(2016甘肃兰州高二检测)如图,ABC内接于O,点D在OC的延长线上,sin B=12,D=30.(1)求证:AD是O的切线;(2)若AC=6,求AD的长.(1)证明如图,连接OA,sin B=12,B=30.AOC=2B,AOC=60.又D=30,OAD=180-D-AOD=90,即OAAD,故AD是O的切线.(2)解OA=OC,AOC=60,AOC是等边三角形,OA=AC=6.OAD=90,D=30,AD=3AO=63.B组1.导学号19110034如图所示,AC与O相切于点D,AO的延长线交O于B,且BC与O相切于B
6、,AD=DC,则AOOB等于()A.2B.1C.12D.43解析如图所示,连接OD,OC.AC,BC是切线,ODAC,OBBC.又AD=DC,OAC是等腰三角形.OA=OC.A=OCD.又OC=OC,OD=OB,OBCODC.OCD=OCB.BCA=2A.A+BCA=3A=90.A=30.AOOB=AOOD=1sin30=2.答案A2.(2016广东佛山高二检测)如图所示,在RtABC中,C=90,AC=4,BC=3,以BC上一点O为圆心作O与AB相切于E,与AC相切于C,又O与BC的另一个交点为D,则线段BD的长为()A.1B.12C.13D.14解析由O与AC相切于C,则ACB=90.AC
7、=4,BC=3,AB=5.连接OE,且设O的半径为R,则OEBACB,得OB=OEABAC=54R,BC=OC+OB=R+54R=94R=3,解得R=43,故BD=BC-2R=3-83=13.答案C3.(2016河北石家庄高二检测)如图所示,圆O的半径为1,A,B,C是圆周上的三点,满足ABC=30,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,则PA=.解析如图,连接OA,AP为O的切线,OAAP.又ABC=30,AOC=60.在RtAOP中,OA=1,PA=OAtan 60=3.答案34.如图所示,O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过点C作O的切线l,过点A作直线l的垂线AD,D为垂
8、足,AD与O交于点E,则线段AE的长为.解析如图所示,连接OC,连接BE交OC于点F,则OCl,BEAD.又ADl,所以ADOC,OCBE.因为直径AB=8,所以OB=OC=4.又因为BC=4,所以OBC是等边三角形.所以F是OC的中点.所以AE=2OF=OC=4.答案45.如图所示,D是ABC的边AC上的一点,ADDC=21,BCD=45,ADB=60,求证:AB是BCD的外接圆的切线.证明如图所示,连接OB,OC,OD,OD交BC于点E.DCB是BD所对的圆周角,BOD是BD所对的圆心角,BCD=45,BOD=90.ADB是BCD的一个外角,DBC=ADB-ACB=60-45=15.DOC
9、=2DBC=30.BOC=BOD+DOC=120.OB=OC,OBC=OCB=30.在OEC中,EOC=ECO=30,OE=EC.在BOE中,BOE=90,EBO=30,BE=2OE=2EC.CEBE=CDDA=12.ABOD.ABO=90.故AB是BCD的外接圆的切线.6.导学号19110035如图所示,AB是O的直径,F,C是O上两点,且AF=FC=CB,连接AC,AF,过点C作CDAF交AF延长线于点D,垂足为D.(1)求证:CD是O的切线;(2)若CD=23,求O的半径.(1)证明如图所示,连接OC.FC=BC,FAC=BAC.OA=OC,OAC=OCA.FAC=OCA.OCAF.CDAF,OCCD.CD是O的切线.(2)解如图所示,连接BC.AB为直径,ACB=90.AF=FC=CB,BOC=13180=60.BAC=30.DAC=30.在RtADC中,CD=23,AC=2CD=43.在RtACB中,BC=33AC=3343=4,OB=BC=4.O的半径为4.