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1、立身以立学为先，立学以读书为本函数一、基本概念1、AxfBy)(xfyAxg)(xgzfBy)(xgfy函数本 质：两个“非空数集”之 间的对应关系。（1）（有时会特别规定范围决定（）中的自然范围f，这个范围叫作用范 围（2）的作用范围内中的数必须在f()（3）定义域是最 终变量函数）范围不一定相同（复合的范围，定义域跟作用x（4）)(对应具有反函数的函数一一可以对应多个，只能唯一的对应一个xyyx例：1、)12(2,0)(xfxf），求的定义域为（的定义域2、)(2,0) 12(xfxf），求的定义域为（的定义域解析： 1，对）的作用范围为（翻译2,0)(2 ,0(),(fxxf对)(2,0
2、(12),12(作用对象在作用范围内xxf)23,21(x）（最终变量，定义域为（xxf2321) 12( 2，对)1 ,1()1 , 1(12)1 ,0(),12(作用范围：fxxxf对)1 ,1()() 1 , 1(),(定义域：xfxxf2、值域。yxf(1). 直接法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本x1y值域: ), 0()0,(2). 配方法求函数2, 1x,5x2xy2的值域。4) 1x(y2 2, 1x值域：4，8 (3) .
3、 判别式法求函数22x1xx1y的值域。0 x) 1y(x) 1y(2（1）当1y时，Rx0) 1y)(1y(4) 1(223y21(4). 反函数法)(xf6x54x3值域。3y5y64x53,(5.) 函数有界性法求函数3xsinxcosy的值域。y3xcosxsiny即1yy3)x(xsin2Rx 1 , 1)x(xsin即11yy31242y42精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本（6）. 函数单调性法求函数)10 x2(1xlog2y35x的值域。2，10上是增函数当x=2时，8
4、112log2y33min当x=10时，339log2y35max故所求函数的值域为：33,81（7.） 换元法求函数1xxy的值域。解：令t1x，)0t (则1tx243)21t (1tty22又0t，由二次函数的性质可知当0t时，1ymin当0t时，y故函数的值域为), 1（8）. 数形结合法求函数5x4x13x6xy22的值域。解：2222) 10()2x()20()3x(y上式可看成x轴上的点)0,x(P到两定点) 1,2(B),2,3(A的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，43) 12()23(|AB|y22min，故所求函数的值域为,43精选学习资料 - - - - -
5、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本（9）. 不等式法例19. 求函数4)xcos1x( cos)xsi n1x(si ny22的值域。52xcotxtan3xcotxtan3xsecxces1xcos1xsin1)xcosx(siny22322222222当且仅当xcotxtan即当4kx时)zk(，等号成立故原函数的值域为：),5二、函数性质：1、单调性：0)()()()()(0)()()()()(,212121212121212121xfxfxxxfxfxxxfxfxxxfxfxxDxx减函数：增函数：任取减小（右
6、下）增大，增大（右上）增大，yxxxxxxfxfyxxxxxxfxf)(0)()()(0)()(2121212121212、奇偶性：0)()(|)(|)()(,00)()()()(,0 ,0 xfxfxfxfxfDxxxfxfxfxfDx任意的对称图像关于偶函数任意的）对称图像关于（奇函数（1）函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本（2）证明一个函数具有奇偶性，用定义；证明一个函数不具有奇偶性，可以用特值（反证法）（3）奇函数关于原点对称的两个区间单
7、调性一致，偶函数相反（4）函数奇偶性的表达形式必须具有一致性如：| )(|)(|xfxf的奇偶性无法判断：显然：3)(xxf，奇函数2)(xxf，偶函数), 1 () 1,(,) 1 , 1(,)(2xxxxxf，非奇非偶（5）的形式必为数，则既是奇函数，又是偶函0)()()(xfxfxf（但是 这样 的函数有无 穷多个，因 为可以取不同的定 义域）3、对称性：（1）轴对称：对称关于axxfxafxfxafxaf)(),2()()()(一般地：2)(),()()()(baxxfxbafxfxbfxaf关于对称（2）点对称：)0,()(),2()(0)()()()(axfaxfxfxafxafx
8、afxaf关于对称),()(,2)()(baxfbxafxaf关于对称4、周期性：aTxfaxfxf周期为)()()(|)()(baTbxfaxfaTxfaxf2)()(aTxfbaxf2)()(（1）两个 对称性决定一个周期性：)2()(),2()()(xbfxfxafxfbxaxxf对称，关于|2baT|2)0 ,(),0,()(baTbaxf对称关于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本|4),0,()(baTbxaxf对称关于（2）区间翻译，求函数表达式例：xxxfxxxxf3)(2
9、, 12, 1)(2时，对称，关于，求的表达式)(xf解析：2)2()()4()(),2()(Txfxfxfxfxfxf周期函数，先研究一个周期，然后进行推广：2, 121 , 0 xx)2(3)2()2()(2xxxfxfZkkkxkxkxkkxkxkxkxfxf,22 ,12(),2(3)2(12 ,2),2(2 3)2(2)2()(225，凸凹性凸函数：2)()()2(2121xfxfxxf（两点 连线函数图像在线段上方）凹函数：2)()()2(2121xfxfxxf（两点 连线函数图像在线段下方）三、抽象函数与特 值：1、xkxfkxxfxfxfxxf)(,)(),()()(2121例
10、：0)0(f2、xaxfxfxfxxf)(),()()(2121例：0)0() 1)()( 1)0(fxfxff或3、xxfxfxfxxfalog)(:),()()(2121例0)1()1(,0)0(fff4、axxfxfxfxxf)(:),()()(2121例)1)1()( 10) 1 (, 10)0(xfxfff或或例：1)(0, 1)()()(2121xfxxfxfxxf时，判断)(xf的单调性解析：)()()()(,22212121xfxxxfxfxfxx任取（拆分） =01)(21xxf为增函数)(xf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页