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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载化工数学 第三章习题1 求以下函数的laplace 变换t；（3）2 sin t；（4）tsinat；（ 5）11 exp tt（1）sin2 nt；（2）cosT2 a解：（1）（2）Lsin2ntL costTLcos t1 L e i2 i2ntL ei2ntTTs e2 ss21si1s12i2ni2nTT2ns2T 2 n T2（4）（3）L sin2tL tsinat1 1 2L cos 2 2 a1 d 22 a ds sa2 a1 1 2 s2 ss 4s2 s2 a2（5）名师归纳总结 L 1 1texp
2、t3Laplace 变换第 1 页,共 16 页L1 te0tetlns1s0lnss12 利用 Laplace 变换的微分性质求以下函数的（1）f t te3tsin 2t；（ 2）f t ttesin 2d0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载解：、（1）4s4s（2）4s32L te3tsin 2 L tte3sin2dds20d 1ds ss22ds3 24322s31241ss3 242Laplace 逆变换2 ss2 3s2 344s324s3s2 342422 ss324s s2 33 求以下函数的2；（4）ss3（1
3、）1；（2）s2125；（3）s411s3解：（1）t4 1 0 teL1s2（2）1sin5 tL111 254 s11.541t36（3）L1s4s2L1s41s44et4e2t31et33 et1213（4）L1ss33L1s2s21s1224证明二阶常系数线性常微分方程当其特点根为重根s 1s 时,方程的基本解为名师归纳总结 当特点根为两共轭复根s 1,2iE tte 1st第 2 页,共 16 页时,方程的基本解为E t 1etsint- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载给出以上两种情形下非齐次方程的特解的一般表达式证；依
4、题意,是求取以下问题的解答对上式进行拉氏变换,仍记G s ayby cy s 2tes t 1y0y00L y t ,得到G s 112 asbscss 1s当s 1s 时,G s 1t21 es t 1ss 121G s 1E t L1特解的一般表达式为当特点根为两共轭复根yE t f t st 0ts t esf d2s 1,2i时,eti11G s 2siE t 1L1G s sint特解的一般表达式为yE t f t t1etsin tf d05 求以下掌握回路的传递函数F G s 1 + G2 Y G s 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资
5、料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载解：FGG1sYYG3sG2sYs1G1s G2sFG2sG3s6、在气固催化动力学试验争论中,催化剂表面的吸附与化学反应是两种较难区分的因素,由于这两种效应都发生在固体表面,一般的稳态试验难以鉴别,而采纳脉冲动态试验就有可能区分和测定这两种参数,这对于明白催化过程机理和指导催化剂开发具有重要意义；设固体表面的化学反应为一级反应rA0,k ntn0并设表面吸附为传质过程的掌握步骤,忽视内、外扩散阻力,就颗粒模型由下式给出在不考虑固定床轴向扩散的情形下,nkacnk n反应参tK试给出床层出口气体浓度的各阶时间矩与吸附、数之间的关系；
6、解：该气固催化模型可视为一个有反应发生的色谱过程,不考虑轴向扩散,就 D Z=0,由于忽视内、外扩散阻力,表面吸附为传质过程的掌握步骤,故颗粒上溶质的平均浓度=n固相浓度 ；名师归纳总结 tc1nck c01 第 4 页,共 16 页x床层模型：c 0, c x ,00颗粒模型：nk acnk ntK2 n 处于吸附平稳状态,t0,n0ka为吸附速率常数, n/K 为贴近颗粒表面处的流体相浓度,与固相浓度c s 令1对颗粒模型（ 2）进行 Laplace 变换,并仍记L n t n s L c t 得：sn s kac s n s k n s 3 K就,n s sKkkaka /Kc s r由
7、 5.5.7 对颗粒传递函数Ms 的定义得：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - M s cp优秀学习资料Kk欢迎下载t stKtr1n s ac s c s KsKkrkam/式中tm,t 具有时间量纲,tmK代表吸附过程的时间尺度；tr1代表反应过程的时间kakr尺度；对床层方程（ 1）进行 Laplace 变换,得：s cn1ck c04 xc0, 将 Ms 代入（ 4）中消去 ns得：s1M s ck c0G s c l s , es1M k r,lxc 0, 1出口气体浓度的各阶时间矩为：0G0ek r2e/tr/K10t2tKtm21G001t
8、mtrG01K20tm/11trm/r7、当采纳上述脉冲试验方法来争论非均相催化反应时,由催化剂装填而成的反应柱往往难以将反应物 -产物的色谱峰完全分别；为解决这一问题, 一般都在反应柱之后串连一色谱柱,将反应物 -产物分别后由检测器检测,如下列图； 这种试验技术称之为催化反应色谱方法（陈诵英,高荫本,彭少逸,石油学报（石油加工）,1988,41:2937 ）；由于检测器测得的信号是经过多个单元传递的结果,且包含各种物理因素的影响,因此在数据处理时必需留意剔除与反应无关的其它因素以得到真实的反映表面吸附与化学反应作用的信息；试依据串连过程的时间参数加和性质与方差加和性质说明如何设计相关试验获得
9、吸附和反应动力学参数；解：由第 6 题结果可得反应柱传递函数：G s 1 Ke1s 1M1 krM1 1K1tm 1stm 1/tr1tm 11代表吸附过程的时间尺度；tr1代表反应过程的时间尺度；k ak r1反应柱的各种时间矩为：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0,1G 1优秀学习资料e欢迎下载0e1 kr1/tr1,1 G 100,111t m11K 110,11t21K t m 1/t rG 10211K12,10,11t m 1/tr1m 1/t r1 2忽视色谱过程的轴向扩散及内、外扩散阻力：tcnc
10、0x床层模型：颗粒模型：c0, 2n s es1ka/KK1c x ,00nk acntK对颗粒模型进行t0,n0Laplace 变换得：sn s kac s n s Kc s kt saM2 2n2 t2K对床层模型进行c 2 m 2s1 2M2 Laplace 变换得：G 2s cnc0xc 0, 1色谱柱的各阶时间矩为：0,2G20122K220,T0,10,21,2G 20212,2G202212K2222K tm 2串联系统的总传递函数G s G 1 s G s ,令 s=0,得：依据时间和方差的加和性得：名师归纳总结 t Tt 1t 211t m11K 11212K2第 6 页,共
11、 16 页/tr- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - T21222t11K11优秀学习资料1欢迎下载1K1122K tm222 tm 11tm 1m 1/trtm 1/tr1/tr1,2,1,2,K 1,K 均为可测量得到的常数,通过试验测定出tm 1,t 值就可获得吸附和反应动力学的参数ka,k r试验过程设计：第一以不与催化剂单独作用发生发应的反应物之一为争论对象进行脉冲实验,获得各阶矩的数据后求出Tt,1和T2 ,1,然后以能发生反应的混合物为对象进行脉冲试验,获得另一组数据Tt,2和T,22；2K22K2t T,1t T,211K1ttm 1/tr
12、1tm 1/tr的值tT,1111K121tT,211tm 11K11211m1/tr/tr1K1t11K11tm2tm 1111tm 11K11T2T,2211 K12 tm 1,11m 1/1/tr/trtr从而得mt1和rt ,代入tm 1K1和tr1中得吸附速率常数k 和反应速率常数rkka 1kr8停留时间分布或其它物理量分布的时间矩值除了可由脉冲试验来测定之外,也可由阶跃输入的方法来测定,特殊在气体中溶质含量低、固体吸附量大的情形下,采纳连续输入的阶跃试验技术上更简洁实现；为了处理阶跃试验数据,理论上要求建立阶跃试验的动态输出曲线 yU t与脉冲输入时的各阶矩值k之间的关系,以便通
13、过阶跃试验来测定脉冲输入的矩值；试依据以下步骤推导阶跃输入时的有关求矩公式：1）依据基本解的定义和性质证明,对于单位阶跃输入函数Ut,相应的输出函数yU t与基本解 Et之间满意以下关系dyUtEtdt2）依据脉冲输入的各阶矩的定义k0tkE tdt将 Et 用 yU t 代换,证明k0k0tysysy Utdtk1式中 ys= yU为阶跃试验的输出达到稳态以后的值；解：名师归纳总结 1 单位阶跃函数第 7 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - U t 优秀学习资料欢迎下载0t01t0用基本解构造单位阶跃输入函数的 Ut 的输出函数,可得：
14、tuy E t U d0设tx 0t0y dtk0y u E x d txE x dxE x dxtt0就可得dyu E t yuy u0dt2 0E t dtdy u000y dt ukydtk有齐次边界条件可知uy00所以0yuyskk t E t dtk t dy uk t yu| 0000 y t dt ukk tk1y sy u t dt009. 鼓泡塔是最简洁的气体吸取器和气液反应器,动力学争论用的试验室鼓泡反应器一般都采纳分批式操作, 如下列图, 气体从底部通入装有液体的容器,经分布板之后形成分散的气泡并在液体中浮升,最终淡定器的上部输出；鼓泡塔中气相的流淌可考虑为平推流,液相就
15、一般考虑为全混流；分别对气、 液两相组分建立物料衡算方程,并略去气相组分的时间导数项（该项较小,可以忽视）,得到c gU k a c i c L zdcdt Ll 1 k ag 0 l c i c L dz k c r L式中 cg 和 cL 分别为反应组分在气相和液相中的浓度,g 为气含率, 即气泡所占的体积分率,名师归纳总结 U为空塔气速, kLa 为气液传质系数, kr为一级反应动力学常数,ci 为气液界面处的液相浓第 8 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载度,由 Henry 定律给出c icg/H当气相反应
16、物采纳脉冲输入时,初始与边界条件如下z0:cgcLt0t0:cg试采纳矩量分析方法求出反应器顶部输出的气相浓度的设计试验测定参数 kLa, H, kr；解：对 gc 和 c 做关于时间 t 的 Laplace 变换,设：L c g , c g , L c t L c L c i c g , / H边界条件：z 0 : c g 1原方程可化为：0、1、2 阶时间矩, 并说明如何名师归纳总结 1式是关于Udcgk a c icLk c rL1 第 9 页,共 16 页dzsc Llk a LglcicLdz02 1cg的一阶常微分方程,分别变量求解：Udcgk a c Lg/HcLdzcgdcgL
17、k adzH cHUlncg H cLk al L1H cLHU- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设：cg H c优秀学习资料欢迎下载Lek al LAHU1H cL得：cg A1A H cL3 将1 代入 2得：设：1skrcLlk aglU dcgdzl1Ugcg dcg4 10k a dz Lcg0sk cLlUg1cg 1cg l1gsk rkrB scLU由3 ,4两式可得：cg AB sk r1A HB s1A Hkr由矩的定义可知：名师归纳总结 反应器顶部的的气相浓度的0 阶时间矩为：2ek al1ek all1HUk r第 10 页,共
18、 16 页0cg0, ABk r1A HHUHUg11ek all1HUk rBk r1A HHUg1cg0, 1A 2BH1ek al2l1HUkr2HUgBkr1A H11ek all1HUkr2HUg- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2cg0, 2 B H 21优秀学习资料欢迎下载2l1HUk r33A 2k al21eHUgBkr1A H3k all1HUk r11eHUg由矩的物理意义可知,零阶矩表示区间内全部物理量的总和,一阶矩与零阶矩的比值,t1表示了分布的平均值,222 t 或022201 表示了分布函数的方差；为了001求出 0, 1
19、,2 阶矩,需要得到反应器顶部输出的气相浓度对时间的变化曲线；在反应器入口打入原料气的一个脉冲输入,同时在反应器出口记录尾气的浓度,可以得到气相浓度对时间的变化曲线,利用微积分和概率统计的学问,可以求出浓度曲线下的面积,浓度的平均值以及方差,由定义得到各阶矩；然后代入0,1,2 阶矩的表达式中,就可以得到含有 rk , H 以及 k a 的三个方程；通过求解这个方程组可以得到这三个参数；10附图为一两级连续结晶器流程,由两个体积相同的结晶器串连组成；设第一个结晶器输入的料液中不含晶体,结晶器处于稳态操作,液体流量相同, 每个结晶器的成核与晶体生长速率已知（但不肯定相同）,试求最终一级结晶器输出
20、的晶体重均粒径；nin = 0 解：由教材 P294 页连续结晶过程的矩量分析可知：第一个结晶器的各阶矩为：0,1B 10,11,1G 12,12G 11,13,13G 12,14,14G 13,1其中 G1和 B1 分别是第一个结晶器的晶体的成长和成核速率；其次个结晶器的各阶矩为：名师归纳总结 0,20,1B 220,2第 11 页,共 16 页1,21,1G- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2,22,1优秀学习资料1,2欢迎下载2G23,23,13G222,24,24,14G3,2其中 G2和 B2 分别是第一个结晶器的晶体的成长和成核速率；所以其
21、次个级结晶器输出的晶体重均粒径为：l W4,24,14 G 23,23,23,13 G 22,2将上面两个结晶器各阶矩代入,化简得：lW245B G 1 1 4B G G 1 1 32B G G 1 1 22 2B G G 1 1 2 3B G 1 2 4B G 2 2 464B G 1 1 3B G G 1 1 22B G G 1 12B G 1 2 3B G 2 2 324 4 B G 13 B G G 22 2B G G 23 B G G 24 B G 24 B G 23 B G 12 B G G 2B G G23 B G 2B G32211已知聚合物的链长分布可由方程（5.6.50）、
22、（5.6.51）描述,即dPjP j1,P j00（j1, 2, ）dtP 10I0P jj2当 j1 时,可将 j 考虑为连续变量并取如下近似名师归纳总结 P j1P jP j12P（11-1）第 12 页,共 16 页j2j2于是链长分布P , j由以下连续方程描述PP12Pj2j2P,0l0,Pj00jP0,j004 阶矩试对上述方程作关于变量j 的 Laplace 变换,然后求出链长分布的（注：上述近似仅在j1 时才能得到合理的结果）解：对式（ 11-1）做关于变量j 的 Laplace 变换,得dPsPI012 s PsI0d2（11-2）P00- - - - - - -精选学习资料
23、 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载可得式（ 11-2）的解为又PI0Aexp1 2s1s（11-3）sP001 2s1sI0I0expPss0P 0lim s 0P s I0式（ 11-3）可变换成如下形式：sPI0I0exp1s1s（11-4）2对式（ 11-4）求关于 s 的二阶导数,得2 PPsPI0I0exp11s1ss11s1ss1222sP exps1sI0exp22当 s 0 时,有名师归纳总结 同理有sP321P01I0s2s12I0exp1s1（11-5）3355第 13 页,共 16 页223 I0exp1s1ss13 22P01I033（11-6
24、）34P3sP433 I0exp1s1s326 I0exp1s1ss123122s14I0exp1s1s42（11-7）55 P4sP4632P301I031 2s4115 I0exp1sss121ss4I0exps1310 I0exp1s1s2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4P40优秀学习资料4欢迎下载（11-8）1I0510153512设无限长色谱反应柱中的溶质运动由以下方程描述1KccDc 2k c（12-1）tx2xc x ,0xHermite 多项式构造本问题的解答,争论当吸附试依据本章7 节所介绍的方法由空间矩和参数 K 变化时,色谱峰
25、的移动速度、峰面积、峰宽呈何种趋势变化；假如输入的同一个脉冲中含有两个不同的独立组分,二组分具有相同的参数 , D, kr, 但有不同的吸附平稳常数Ki（i 1,2）试画一草图表示两组分色谱峰的运动图象,要求标出两峰在同一时刻的空间 位置、峰面积、峰宽上的差异；解：对式（ 12-1）做关于 x 的 Fourier 变换,仍记 F cx, t = c , t,c11Kdcici2Dck c（12-2）dt,0可得式（ 12-2）的解为c,texp2Dikrt1K可得其各阶矩值如下0c0,texpt0rk tK2Dt01K（12-3）1ic 0,t（12-4）1K1c 0,tt（12-5）211K
26、1K3i3c30,ttt2K4Dt（12-6）116Dt4c40,t32（12-7）1K1K一般有kck0,ttk1K2k1Dtk2（12-8）1K1该分布函数的形心位置x 和第 04 阶中心矩 分别为的名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - x11tK优秀学习资料欢迎下载0012x222Dt0K3x412DtK2（12-9）10（ 12-10）2（12-11）10333x2x3（12-12）404x06x22（12-13）430001我们定义如下空间变量Xxx2xxn12-14）所示22Dt就浓度分布函数1Kc（ x
27、,t）关于 X 的 Hermite 多项式级数式（c x texpX2b nt HnX（12-14）n0Xdx其中b ntc x t HnX dXc x t HHnX2expX2dX2nn.22就其前五项系数分布为b 0122c x t dx202dx2220102（12-15）0022b 11c x t2xx（ 12-16）2 2222b 21c x t4xxdx14220224 2 228 22（12-17）名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - b 312c x t优秀学习资料3欢迎下载xdx（12-18）8xx
28、212x 28 3. 222b 41122c x txx3dx82010xx2212dx3.42 22c x t16xx44816 4.22（12-19）4.4124024 2300K（12-20）22进一步运算可证明,更高阶的系数bn（n4）也恒为 0 c x tb 0expX2202expX2expk tKexpxx2K124 Dt（12-21）DtK11色谱峰的移动速度vd x1Kdt峰宽（标准偏差）002212D1（12-22）2t1峰面积Sexpc x t dxexpk tKexpxx2Kdx（12-23）12DtK4 Dt11k tK1由式（ 12-21）至式（ 12-23）可知某一时刻色谱峰的移动速度 峰面积 S 和峰宽 0都随 K 的增大而增大；