2022年北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 七年级下三角形综合题归类一、 双等边三角形模型1. （1）如图 7,点 O 是线段 AD 的中点,分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB和等边三角形 OCD,连结 AC和 BD,相交于点 E,连结 BC求 AEB 的大小；（ 2）如图 8, OAB 固定不动,保持 OCD的外形和大小不变,将 OCD围着点 O 旋转（ OAB 和 OCD不能重叠）,求 AEB 的大小 .C B C B A E E D O A D O 2. 已知 :点 C 为线段 AB上一点,图 7 图 8 ACM, CBN 都是等边三角形,且AN、

2、BM 相交于 O. 求证： AN=BM 求 AOB 的度数； 如 AN、MC 相交于点 P, BM、NC 交于点 Q,求证： PQ AB；（湘潭 中考题）N C,B M O P Q A C 同类变式 ： 如图 a, ABC和 CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点连接 AF和 BE. 1 线段 AF和 BE有怎样的大小关系 .请证明你的结论；2 将图 a 中的 CEF绕点 C旋转肯定的角度, 得到图 b,1 中的结论仍成立吗 .作出判断并说明理由；3 如将图 a 中的 ABC绕点 C旋转肯定的角度,请你画出一个变换后的图形 c 草图即可 ,1 中的结论仍成立吗 .作出判定不必说明理

3、由 . 图 c 名师归纳总结 3. 如图 9,如ABC 和ADE 为等边三角形,M N 分别为EB CD 的中点,易证：第 1 页,共 11 页CDBE , AMN 是等边三角形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 1）当把ADE 绕 A 点旋转到图10 的位置时, CDBE 是否仍旧成立？如成立, 请证明；如不成立,请说明理由；（ 2）当ADE 绕 A 点旋转到图11 的位置时,AMN 是否仍是等边三角形？如是,请给出证明,如不是,请说明理由图 9 图 10 图 11 同 类 变 式 ： 已 知 , 如 图 所 示 , 在ABC和ADE中 , ABA

4、C , ADAE ,BACDAE ,且点 B, ,D在一条直线上, 连接 BE,CD,M,N分别为 BE,CD的中点（ 1）求证：BECD ；AMAN；180 ,其他条件不变,得到（ 2）在图的基础上,将ADE绕点 A 按顺时针方向旋转图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍旧成立. C 4. 如图,四边形C E B N A M N D B A D M E 图图BG与 DE相交于点 HABCD和四边形 AEFG均为正方形,连接名师归纳总结 （1）证明：ABG ADE ；第 2 页,共 11 页（2）试猜想BHD的度数,并说明理由；- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

5、 - - - - （3）将图中正方形ABCD绕点 A 逆时针旋转（ 0 BAE180 ）,设 ABE的面积为S , ADG的面积为S ,判定S 与S 的大小关系,并赐予证明D G A H C F E B 5.已知：如图,ABC是等边三角形,过AB 边上的点 D 作 DGBC,交 AC 于点 G ,在 GD 的延长线上取点E ,使 DEDB ,连接 AE,CDAEF是怎样的三角（1）求证：AGEDAC；AF ,并判定（2）过点 E 作 EFDC,交 BC 于点 F ,请你连接形,试证明你的结论A E B D G C F 二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点 1：利用垂直

6、证明角相等1.如图, ABC 中, ACB90,ACBC,AE 是 BC 边上的中线,过C 作 CFAE,垂足为 F,过 B 作 BDBC 交 CF 的延长线于D求证：（ 1）AECD ；（ 2）如 AC12 cm,求 BD 的长名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.（西安中考）如图1, 已知 ABC中, BAC=90 0, AB=AC, AE是过 A的一条直线 , 且 B、C在 A、E的异侧 , BD AE于 D, CE AE于 E ；图1 图2 图3 1 试说明 : BD=DE+CE. 2 如直线 AE绕 A

7、点旋转到图 2 位置时 BDCE, 其余条件不变 , 问 BD与 DE、CE的关系如何 . 写出结论 , 可不说明理由；3. 直 线CD 经 过B C A的 顶 点C, CA=CB E、 F 分 别 是 直 线CD 上 两 点 , 且BEC CFA（1）如直线 CD经过 BCA 的内部,且 E、F 在射线 CD 上,请解决下面两个问题：如图 1,如 BCA 90 , 90,就 EF BE AF （填“” ,“” 或“” 号）；如图 2,如 0 BCA 180,如使中的结论仍旧成立,就 与 BCA 应满意的关系是；（2）如图 3,如直线 CD 经过 BCA 的外部,BCA ,请探究 EF、与 B

8、E、AF 三条线段的数量关系,并赐予证明名师归纳总结 B F D B D E B C F D A 第 4 页,共 11 页C E F E C A A 图 1 图 2 图 3 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 考点 2：利用角相等证明垂直1.已知 BE,CF是 ABC的高,且 BP=AC,CQ=AB,试确定 AP与 AQ的数量关系和位置关系AQFD EPB C2. 如图,在等腰 Rt ABC中, ACB=90 , D为 BC的中点, DEAB,垂足为 E,过点 B 作BF AC交 DE的延长线于点 F,连接 CF1 求证： CD=BF；2 求证： ADC

9、F；3 连接 AF,试判定 ACF的外形 . 拓展巩固： 如图 9 所示,ABC是等腰直角三角形,ACB90 , AD 是 BC边上的中线,过 C 作 AD 的垂线,交 AB于点 E,交 AD 于点 F,求证： ADC BDEC （提示： 对比此题的条件和上面那题的条件,A F D B 图 9 E 对比此题的图形和上题的图像,有什么区分和联系？ ）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 如图 1,已知正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 DEFG 的边 DE 上,连接 AE , GC . （ 1）试猜想AE与 G

10、C 有怎样的位置关系,并证明你的结论；（ 2）将正方形 DEFG 绕点 D 按顺时针方向旋转, 使 E 点落在 BC 边上,如图 2,连接 AE和 GC .你认为（ 1）中的结论是否仍成立？如成立,给出证明；如不成立,请说明理由 . 4. 如图 1,ABC 的边 BC在直线 l 上,AC BC 且 AC BC , EFP 的边 FP 也在直线 l上,边 EF 与边 AC 重合,且 EFFPAB 与 AP 所满意的（1）在图 1 中,请你通过观看、测量,猜想并写出数量关系和位置关系；（2）将 EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的位置时,EP 交 AC 于点 Q , 连接AP BQ . 猜想并

11、写出 BQ 与 AP 所满意的数量关系和位置关系,请证明你的猜想；（3）将 EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时,EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q,连结 AP BQ , 你认为（ 2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系和位置关系仍成立吗？如成立,给出证明；如不成立,请说明理由 . A E E A Q B C F P l E B F 2 C P l 1 A 名师归纳总结 F P B C l 第 6 页,共 11 页3 Q - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三、 等腰三角形（中考重难点之一）考点 1：等腰三角形性质的应用1.

12、如图,ABC 中, ABAC ,BAC90, D 是 BC 中点, EDFD , ED 与 AB 交于E , FD 与 AC交于 F 求证： BEAF , AECF AFE2.两个全等的含30 ,60 角的三角板ADE 和三角板BDCABC ,如下列图放置,E A C 三点在一条直线上,连结BD,取BD的中点M ,连结ME MC 试判定EMC 的外形,并说明理由M BDEAC压轴题拓展： （三线合一性质的应用）已知 Rt ABC 中, AC的中点,EDF 90,EDF 绕 D 点旋转,它的两边分别交于 E 、 F BC ,C 90, D 为 AB 边AC 、 CB （或它们的延长线）当 EDF

13、 绕 D 点旋转到DE AC 于 E 时（如图 1）,易证 S DEF S CEF 1S ABC当 EDF 绕2D 点旋转到 DE 和AC不垂直时, 在图 2 和图 3 这两种情形下, 上述结论是否成立 . 如成立,请赐予证明；如不成立,S DEF,S CEF,S ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,不需证明AAFDBADFBCDBFEECC图 2E图3图 1提示：此题为上面题目的综合应用,思路与第一题相像；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3.已知：如图,ABC中, ABC=45 , CDAB 于 D,B

14、E平分 ABC,且 BEAC于 E,与 CD相交于点 F,H 是 BC边的中点,连结DH 与 BE相交于点 G；1 BF=AC 2 CE=1 2BF3CE与 BC的大小关系如何；考点 2：等腰直角三角形（45 度的联想）1. 如图 1,四边形 ABCD 是正方形, M 是 AB 延长线上一点；直角三角尺的一条直角边经过点 D,且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A,B 重合）,另一条直角边与CBM 的平分线 BF 相交于点 F. 如图 141 ,当点 E 在 AB 边的中点位置时： 通过测量 DE,EF 的长度,猜想 DE 与 EF 满意的数量关系是； 连接点 E 与 AD 边

15、的中点 N,猜想 NE 与 BF 满意的数量关系是； 请证明你的上述两猜想 . 如图 142 ,当点 E 在 AB 边上的任意位置时,请你在 AD 边上找到一点 N, 使得 NE=BF ,进而猜想此时DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 在 Rt ABC中, ACBC, ACB90,D 是 AC的中点, DGAC交 AB 于点 G. （1）如图 1, E为线段 DC 上任意一点,点 点 F 作 FHFC,交直线 AB 于点 H求证： DG=DC 判定 FH 与 FC的数量关系

16、并加以证明F 在线段 DG 上,且 DE=DF,连结 EF与 CF,过（ 2）如 E为线段 DC 的延长线上任意一点,点 F在射线 DG 上,1中的其他条件不变,借助图 2 画出图形；在你所画图形中找出一对全等三角形,并判定你在 1中得出的结论是否发生转变（本小题直接写出结论,不必证明）B BHG GFADECADCE同类变式：（期末考试原题哦）图 1 ABC为等边三角形,图 2 已知：M 是 BC延长线上一点,直角三角尺的一条直角边经过点A,且 60o 角的顶点 E在 BC上滑动,（点 E不与点 B、C重合）,斜边与 ACM 的平分线 CF交于点 F（ 1）如图（ 1）当点 E 在 BC边得

17、中点位置时1 猜想 AE与 EF满意的数量关系是 . 2 连结点 E与边得中点,猜想和满意的数量关系是 . 3 请证明你的上述猜想；（）如图（）当点在边得任意位置时,和EF有怎样的数量关系,并说明你的理由？A AF名师归纳总结 BN图（1）CFMBE 图（ 2）CM第 9 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 四、 角平分线问题 1. 如图： E 在线段 CD上, EA、EB分别平分 DAB和 CBA, AEB=90 , 设 AD x , BC y ,且x y 满意x 2y26x8y250（1）求 AD和 BC的长；（2）你认为 AD和 B

18、C仍有什么关系？并验证你的结论；（3）你能求出AB的长度吗？如能,请写出推理过程；如不能,请说明理由. E C D A B 2. 如图, OP 是 MON 的平分线,请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形；请你参考这个作全等三角形的方法,解答以下问题：（1）如图,在ABC 中, ACB 是直角, B=60 , AD、CE 分别是 BAC、 BCA的平分线, AD、CE相交于点 F；请你判定并写出FE与 FD之间的数量关系；（2）如图,在ABC中,假如 ACB 不是直角,而 1中的其它条件不变,请问,你在 1中所得结论是否仍旧成立？如成立,请证明；如不成立,请说明理由；B M

19、B O P E F D E F D 图 N A 图 C A 图 C 第 23 题图 3. 北京市中考模拟题如图,在四边形ABCD 中, AC 平分BAD ,过 C 作 CEAB于 E ,并且AE1 2ABAD ,就ABCADC 等于多少？DCAEB4. 如图,ABC中, AD平分 BAC,DGBC且平分 BC,DEAB于 E,DF AC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）假如 AB=a ,AC=b ,求 AE、BE的长 . BEGACFD名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 五、中点问题1. 在 ABC中,

20、 D 为 BC 的中点,过 D 点的直线 GF 交 AC 于 F , 交 AC 的平行线BG 于点 G ； DEGF , 并交 AB 于点 E . 连结 EG . BC , E 为 BC 边的中点求证：（ 1）求证 : BGCF ；（ 2）请猜想 BECF 与 EF 的大小关系 , 并加以证明2.如右下图,在ABC 中,如B2C , ADAB2DE ABDEC3.已知ABC 中, AB2AC , BD 为 AB 的延长线,且BDAB ,CE为ABC 的 AB 边上的中线求证CDCE （提示：倍长中线试试）CAEBD附加摸索题：（此题有很好地思维训练价值,值得深化摸索探究）以ABC 的两边 AB 、AC为腰分别向外作等腰RtABD 和等腰 RtACE ,BADCAE90.连接 DE , M 、 N 分别是 BC 、 DE 的中点探究：AM 与 DE 的位置关系及数量关系如图 当 ABC 为直角三角形时, AM 与 DE 的位置关系是数量关系是；将图 中的等腰 Rt ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转 0中得到的两个结论是否发生转变？并说明理由；线段 AM 与 DE 的 90 后,如图 所示,问DNDNE名师归纳总结 BMACBMACE第 11 页,共 11 页图图- - - - - - -