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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载四边形提高测试（一）挑选题（每道题4 分,共 32 分）（）1如一个多边形的内角和是外角和的5 倍,就这个多边形的边数是 （A） 9 （B）10 （C）11 （D）12 【提示】为了便于运算,设每个内角都相等,那么每个内角是每个外角的5 倍【答案】 D2已知菱形 ABCD的两条对角线之和为 l ,面积为 S,就它的边长为 （）（A）14 S l 2（B）1S l 2（C）1l 24 S（D）14 l 2S2 2 2 2【提示】设两对角线长的一半为 a 与 b,就 S2 ab,l 2（ab）,边长为 a 2 b 2利用 a
2、2b 2 ab 22 ab【答案】 C3如图,矩形 ABCD的边长 AB6,BC8,将矩形沿 EF折叠,使 C点与 A 点重合,就折痕 EF的长是 （）（A） 75 （B）6 （ C）10 （D） 5 【提示】设 AEx,就 ED8 x,CE x,用勾股定理列出方程 x 28 x 26 2,解出 x25 ,而 OA1 AC 54 2【答案】 A4已知：如图,在 ABCD中, E、 F分别是边 AD、BC的中点, AC分别交 BE、DF 于 G、H,并有以下结论：（1） BEDF；（ 2）AG GHHC；（3） EG1 BG；（4）S ABE3 S AGE2其 中 正 确 的 结 论有 （）（A
3、）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个【提示】 BG2 FH2 GE【答案】 D5如图, E为矩形 ABCD的边 CD上的一点, ABAE4,BC2,就 BEC是（）（A） 15（B）30（C）60（D）75【提示】作 EFAB于 F 点,就由 AE2 BC2 EF,得知 EAB30 【答案】 D6顺次连结四边形各边中点所得四边形是矩形,就原图形肯定是 （）（A）菱形（B）对角线相等的四边形（C）对角线垂直的四边形（D）对角线垂直且相互平分的四边形名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载【答案
4、】 C7 如图,周长为 68 的矩形 ABCD被分成 7 个全等的矩形,就矩形 ABCD的面积为 （）（A） 98 （B）196 （ C）280 （D） 284 【提示】设小矩形的长为 x,宽为 y,就有x10,y4 xy404x7y682x5y【答案】 C8如图,在 ABCD中, EF BC,GH AB, EF、GH的交点 P在 BD上,就图中面积相等的平行四边形有 （）（A）0 对（B）1 对（ C）2 对（D） 3 对【提示】由 SBPESBPH,SPDGSPDF和 SABDSCBD可知有一边过 P 点的 3 对平行四边形面积相等【答案】 D（二）填空题（每道题 3 分,共 18 分）9
5、一个多边形的一个内角的补角与其他内角的和恰为 _500 ,那么这个多边形的边数是【提示】由于五边形内角和为540 500 ,所以多边形的边数不行能超过5明显它不行能是三角形因此分四边形、五边形两种情形验证是否存在符合要求的图形【答案】 4 或 510如图, P 是 ABCD内的一点,S 三角形 APB2 ,就 S 三角形 CPD_S 平行四边形 ABCD 3 S 平行四边形 ABCD【提示】 过 P点分别作 AB和 BC的平行线, 与 ABCD的边相交, 找出 4 对全等三角形 由此可见,ABP与 CDP的面积之和为 ABCD面积的一半【答案】1 1011用任意两个全等的直角三角形拼以下图形：
6、平行四边形 矩形 菱形正方形 等腰三角形 等边三角形其中肯定能够拼成的图形是 _（只填题号） 【答案】名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载12如图,假如四边形 CDEF旋转后能与正方形 ABCD重合,那么在图形所在平面内,可以作为旋转中心的点的个数为 _【提示】施转中心必需在公共边 CD上【答案】 313如图,梯形ABCD中,ABP的面积为20 平方厘米,CDQ的面积为35 平方厘米,就阴影四边形的面积等于_平方厘米【提示】连结MN SMNPSABP,SMNQSCDQ【答案】 5514如图,将边
7、长为 1 的正方形 ABCD绕 A 点按逆时针方向旋转 30 ,至正方形ABCD ,就旋转前后正方形重叠部分的面积是 _【提示】设 CD与 B C 的交点为 M,就 AM为两正方形的对称轴又设 MDx,就 AM2 x,用勾股定理列方程并解之即可【答案】3 3（三）运算题（每道题6 分,共 12 分）且中位线长为l ,求这个等腰梯形的高15如图, 一个等腰梯形的两条对角线相互垂直,【提示】如下图,过B 点作 AC的平行线【答案】过B 作 BG AC,交 DC的延长线于G点在梯形 ABCD中, AB DC,四边形 ABGC为平行四边形名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页
8、精选学习资料 - - - - - - - - - CGAB,BGAC优秀学习资料欢迎下载EF为梯形中位线,DGDCAB2 EF2 l ACBD且 ACBDBGBD且 BGBD BDG为等腰直角三角形高 BH1 DGl 216如图,矩形纸片 ABCD中, AB3 cm,BC 4 cm现将 A,C重合,使纸片折叠压平,设折痕为 EF,试求 AF的长和重叠部分AEF的面积【提示】把 AF取作 AEF的底, AF边上的高等于由折叠过程知,EF 经过矩形的对称中心, ABE中使用勾股定理求 AE,即求得 AF的长AB3FD BE, AE CE AF由此可以在【答案】如图,连结 AC,交 EF于点 O,由
9、折叠过程可知,OAOC,O点为矩形的对称中心E、F 关于 O点对称, B、D也关于 O点对称BEFD,ECAF,由 EC折叠后与 EA重合,ECEA设 AFx,就 BEFDADAF4x,AEAFx在 Rt ABE中,由勾股定理,得AB 2BE 2AE 2,即 3 24 x 2x 2解得 x25 8S AEF1 325 75 （cm 2）2 8 16故 AF的长为 25 cm, AEF的面积为 75 cm 28 16（四）证明题（每道题 5 分,共 20 分）17已知：如图,梯形 ABCD中, AD BC,过 C作 CE AB且 CEAB,连结DE交 BC于 F求证： DFEF【提示】连结 AE
10、交 BC于 O,要证 DF EF,由于 AD BC,所以只要证 OAOE,只要证四边形 ABEC为平行四边形名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】连结优秀学习资料欢迎下载AE交 BC于 O点,CE AB,四边形 ABEC为平行四边形,OAOE又 AD BC,DFEF18如图, E 是矩形 ABCD的边 AD上一点,且 BEED,P 是对角线 BD上任意一点, PFBE, PGAD,垂足分别为 F、G求证： PFPGAB【提示】延长 GP交 BC于 H,只要证 PHPF即可,所以只要证PBF PBH【答案】BED
11、E,EBD EDB在矩形 ABCD中, AD BC,DBC ADB,EBD CBD延长 GP交 BC于 H点PGAD,PHBCPFBE,P 是 EBC的平分线上PFPH四边形 ABHG中,A ABH BHG HGA 90 四边形 ABHG为矩形,ABGHGPPHGPPF故 PFPGAB19如图,在梯形 ABCD中, AD BC,M、N分别是 AB、 CD的中点, ME AN交 BC于点 E,求证 AMNE【提示】延长 AN交 BC延长线于点 F证明 NE为 ABF的中位线【答案】延长 AN交 BC的延长线于点 F,DNCN, ANDFNC,又由 AD BC,得 ADN FCN, ADN FCN
12、ANNFAMBM且 ME AF,BEEFNE为 ABF的中位线,NE1 AB AM220已知：如图,以正方形 ABCD的对角线为边作菱形求证： AE、AF把 BAC三等分AEFC,B 在 FE的延长线上名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载【提示】证出CAE30 即可【答案】连结 BD,交 AC于点 O,作 EGAC,垂足为 G点四边形 AEFC为菱形,EF ACGEOB四边形 ABCD为正方形,OBAC,OB GE,AEAC,OB1 BD1 AC,2 2EG1 AE,2EAG30 BAE15 在
13、菱形 AEFC中, AF平分 EAC,EAF FAC1 EAC152EAB FAE FAC即 AE、AF将 BAC三等分（五）解答题（每道题 6 分,共 18 分）21如图,已知 M、N两点在正方形 ABCD的对角线 BD上移动, MCN为定角,连结 AM、AN,并延长分别交 BC、CD于 E、 F两点,就 CME与 CNF在 M、N两点移动过程,它们的和是否有变化？证明你的结论【提示】 BD为正方形 ABCD的对称轴,名师归纳总结 1 3, 2 4,第 6 页,共 15 页用 1 和 2 表示 MCN以及 EMC FNC【答案】BD为正方形 ABCD的对称轴,1 3, 2 4,EMC180
14、1 3180 21同理FNC180 22EMC FNC360 2（ 1 2）MCN180 （ 1 2）,EMC FNC总与 2MCN相等因此 EMC FNC始终为定角,这定角为MCN的 2 倍22 如图（1）, AB、 CD 是两条线段,M 是 AB 的中点, S DMC、 S DAC 和 S DBC 分别表示DMC、 DAC、 DBC的面积当AB CD时,有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载S DMCS DAC S DBC 2（ 1）如图（ 2）,如图（ 1）中 AB CD时,式是否成立？请说明理由（2）如图（ 3）,如图（ 1
15、）中 AB与 CD相交于点 O时, S DMC与 S DAC和 S DBC有何种相等关系？证明你的结论图（ 1）图（ 2）图（ 3）【提示】DAC, DMC和 DBC同底 CD,通过它们在CD边上的高的关系,来确定它们面积的关系【答案】（1）当 AB CD时,式仍成立分别过 A、M、 B作 CD的垂线, AE、MN、BF的垂足分别为 E、N、FM为 AB的中点,MN1 （AEBF）2S DACS DBC1 DCAE1 DCBF1 DC （ AEBF） 2 S DMC2 2 2S DMCS DBC S DAC2（2）对于图（ 3）有 S DMCS DBC S DAC2证法一：M是 AB的中点,
16、S ADMS BDM,S ACMS BCM,S DBCS BDMS BCMS DMC,S DACS ADMS ACMS DMC 得： S DBCS DAC2 S DMCSDMCS DBC S DAC2证法二：如右图,过 A 作 CD的平行线 l ,MNl ,垂足 为 N,BEl ,垂足为 E设 A、M、B 到 CD的距离分别 h1、h0、h2就 MNh1h0,BEh2h1名师归纳总结 AMBM,第 7 页,共 15 页BE2 MNh2h12（h1h0）,h0h 22h 1S DMCSDBC2SDAC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下
17、载23已知：如图,ABC中,点 O是 AC上边上一个动点,过点 O作直线 MN BC,MN交 BCA的平分线于点 E,交 BCA的外角平分线于点 F（1）求证 EOFO（2）当点 O运动到何处时,四边形 AECF是矩形？证明你的结论【提示】（1）证明 OEOCOF；（2）O点的位置第一满意四边形 AECF是平行四边形,然后证明它此时也是矩形【答案】（1）CE平分 BCA,BCE ECO又 MN BC,BCE CEOECO CEOOEOC同理 OCOFOEOF（2）当点 O运动到 AC边的中点时,四边形 AECF是矩形,证明如下：OEOF,又 O是 AC的中点,即 OAOC,四边形 AECF是平
18、行四边形CE、CF分别平分 BCA、 ACD,且 BCA ACD180 ,名师归纳总结 ECF ECO OCF1 （ BCA ACD） 90 2第 8 页,共 15 页 AECF是矩形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载平行四边形是一种极重要的几何图形这不仅是由于它是讨论更特别的平行四边形矩形、菱形、正方形 的基础,仍由于由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形,并且包含着有关平行线的很多性质,因此,它在几何图形的讨论上有着广泛的应用由平行四边形的定义打算了它有以下几个基本性质：1 平行四边形对角相等；2 平行四边形对边相等；3 平
19、行四边形对角线相互平分除了定义以外,平行四边形仍有以下几种判定方法：1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3 对角线相互平分的四边形是平行四边形；4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例 1 如图 2-32 所示在 ABCD中, AEBC,CFAD,DN=BM求证： EF 与 MN相互平分分析 只要证明 ENFM是平行四边形即可,由已知,供应的等量要素很多,可从全等三角形下手证 由于 ABCD是平行四边形,所以ADBC, ABCD, B=D又 AEBC,CFAD,所以 AECF是矩形,从而 AE=CF所以Rt ABE Rt CDFHL,或 AA
20、S,BE=DF又由已知 BM=DN,所以 BEM DFNSAS,ME=NF 又由于 AF=CE,AM=CN, MAF= NCE,所以 MAF NCESAS,所以 MF=NF 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由,四边形优秀学习资料欢迎下载ENFM是平行四边形,从而对角线EF与 MN相互平分例 2 如图 2-33 所示 Rt ABC中, BAC=90 , AD BC于 D,BG平分 ABC,EF BC且交 AC于 F求证：AE=CF分析 AE 与 CF分处于不同的位置,必需通过添加帮助线使两者发生联系如作 GHBC于
21、 H,由于 BG是 ABC的平分线,故AG=GH,易知ABG HBG又连接 EH,可证ABE HBE,从而 AE=HE这样,将AE“ 转移” 到EH位置设法证明EHCF为平行四边形,问题即可获解证 作 GHBC于 H,连接 EH由于 BG是 ABH的平分线, GABA,所以 GA=GH,从而 ABG HBGAAS,所以 AB=HB 在 ABE及 HBE中, ABE= CBE,BE=BE,所以 ABEHBESAS,所以 AE=EH, BEA=BEH下面证明四边形 EHCF是平行四边形由于 AD GH,所以AEG=BGH内错角相等 又 AEG= GEH由于 BEA= BEH,等角的补角相等 , A
22、GB=BGH全等三角形对应角相等 ,所以 AGB=GEH从而EH AC内错角相等,两直线平行 由已知 EF HC,所以 EHCF是平行四边形,所以FC=EH=AE说明 此题添加帮助线 GHBC的想法是由 BG为 ABC的平分线的信息萌生的 角平分线上的点到角的两边距离相等 ,从而构造出全等三角形 ABG与 HBG继而发觉ABE HBE,完成了 AE的位置到 HE位置的过渡这样,证明 EHCF是平行四边形就是顺理成章的了人们在学习中,经过刻苦钻研,形成有用的体会,这对我们探究新的问题是非常有益的名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - -
23、 - - - 优秀学习资料 欢迎下载例 3 如图 2-34 所示ABCD中, DE AB于 E, BM=MC=DC求证： EMC=3BEM分析 由于 EMC是 BEM的外角,因此 EMC= B+ BEM从而,应当有B=2 BEM,这个论断在BEM内很难发觉,因此,应设法通过添加帮助线的方法,将这两个角转移到新的位置加以解决利用平行四边形及 M为 BC中点的条件,延长 EM与 DC延长线交于 F,这样 B=MCF及 BEM=F,因此,只要证明 MCF=2 F 即可不难发觉,EDF为直角三角形 EDF=90 及 M为斜边中点,我们的证明可从这里绽开证 延长 EM交 DC的延长线于F,连接 DM由于
24、 CM=BM, F=BEM, MCF= B,所以 MCF MBEAAS,所以 M是 EF的中点由于 AB CD及 DE AB,所以, DE FD,三角形 DEF是直角三角形, DM为斜边的中线,由直角三角形斜边中线的性质知F=MDC,又由已知 MC=CD,所以 MDC=CMD,就MCF=MDC+ CMD=2F从而 EMC=F+MCF=3F=3BEM例 4 如图 2-35 所示矩形 ABCD中, CEBD于 E,AF 平分 BAD交 EC延长线于 F求证： CA=CF分析 只要证明CAF是等腰三角形,即CAF=CFA即可由于 CAF=45 - CAD,所以,在添加帮助线时,应设法产生一个与CAD
25、相等的角 a,使得 CFA=45 -a为此,延长 DC交 AF于 H,并设 AF 与 BC交于 G,我们不难证明FCH=CAD证 延长 DC交 AF于 H,明显 FCH= DCE又在 Rt BCD中,由于 CE BD,故 DCE=DBC由于矩形对角线相等,所以DCB CDA,从而 DBC=CAD,因此,FCH=CAD 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又 AG平分 BAD=90 ,所以优秀学习资料欢迎下载HCG也是等腰直角三角形,所以ABG是等腰直角三角形,从而易证CHG=45 由于 CHG是 CHF的外角,所以
26、CHG=CFH+ FCH=45 ,所以 CFH=45-FCH 由, CFH=45 - CAD=CAF,于是在三角形 CAF中,有 CA=CF例 5 设正方形 ABCD的边 CD的中点为 E,F 是 CE的中点 图 2-36 求证：分析 作 BAF的平分线,将角分为1 与 2 相等的两部分,设法证明DAE=1 或 2证 如图作 BAF的平分线 AH交 DC的延长线于 H,就 1=2=3,所以 FA=FH设正方形边长为 a,在 Rt ADF中,从而所以 Rt ABG Rt HCGAAS,从而名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - -
27、- - 优秀学习资料 欢迎下载Rt ABGRt ADESAS,例 6 如图 2-37 所示正方形ABCD中,在 AD的延长线上取点E, F,使 DE=AD,DF=BD,连接 BF 分别交CD,CE于 H,G求证：GHD是等腰三角形分析 精确地画图可启示我们证明GDH=GHD证 由于 DEBC,所以四边形BCED为平行四边形,所以1=4又 BD=FD,所以所以 BC=GC=CD因此,DCG为等腰三角形,且顶角DCG=45 ,所以又所以 HDG= GHD,从而 GH=GD,即 GHD是等腰三角形练习十二名师归纳总结 1如图 2-38 所示 DEAC,BFAC,DE=BF, ADB= DBC求证：四
28、边形ABCD是平行四边形第 13 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载2如图 2-39 所示 在平行四边形 ABCD中, ABE和 BCF都是等边三角形 求证： DEF是等边三角形3如图 2-40 所示ABCD中, AF 平分 BAD交 BC于 F,DEAF 交 CB于 E求证： BE=CF名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载4如图 2-41 所示矩形 ABCD中, F 在 CB延长线上, AE=EF, CF=CA求证： BE DE5如图 2-42 所示在正方形 ABCD中, CE垂直于 CAB的平分名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页