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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载恒成立问题二、恒成立问题解决的基本策略A、两个基本思想解决“ 恒成立问题”思路 1：m f x 在 x D 上恒成立 m f x max；思路 2：m f x 在 x D 上恒成立 m f x min如何在区间 D 上求函数 f x 的最大值或者最小值问题,可以通过题目的实际情形,实行合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的 单调性 、函数的图像 、二次函数的配方法、三角函数的有界性、 均值定理 、函数求导, 等等方法求函数 f x 的最值此类问题涉及的学问比较广泛,在处理上也有很多特别性,期望大家多多留意积存C、分清基
2、本类型,运用相关基本学问,把握基本的解题策略1、一次函数型如原题可化为一次函数型,就由数形结合思想利用一次函数学问求解,特别简捷给定一次函数 y f x ax b a 0,如 y f x 在 m n 内恒有 f x 0,就等价于：f m 0 f m 0；同理,如在 m n 内恒有 f x 0,就等价于：f n 0 f n 02例 3对于满意 a 2 的全部实数 a ,求使不等式 x ax 1 2 a x 恒成立的 x 的取值范畴解：原不等式转化为： x 1 a x 22 x 1 0 在 a 2 时恒成立,设 f a x 1 a x 22 x 1,就 f a 在 2, 2 上恒大于 0,2f 2
3、 0 x 4 x 3 0 x 3 或 x 1故有：即,解得：；f 2 0 x 21 0 x 1 或 x 1x 1 或 x 3,即 x ,13,+ 2、二次函数型名师归纳总结 例 4如函数f x 且a21 x2a1 xa21的定义域为 R ,求实数 a 的取值范畴第 1 页,共 8 页解：由题意可知,当xR 时, a2a1 x2a1 xa210恒成立,当a210a10时,1；此时,a21x2a1xa2110,适合；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当a210时,有a210精品资料1a2欢迎下载a21a901a9；10即有a2 14a2a210名师归纳总结
4、 综上所述,f x 的定义域为 R时,a1, 9第 2 页,共 8 页例 5已知函数f 2 xax3a ,在 R 上f x 0恒成立,求 a 的取值范畴分析 ：yf x 的函数图像都在x轴及其上方,如右图所示：略解 ：a24 3aa24a120,6a2变式 1：如x2,2时,f x 0恒成立,求a 的取值范畴分析 ：要使x2,2时,f x 0恒成立,只需f x 的最小值g a 0即可解：f x xa2a2a3,令f x 在2,2 上的最小值为g a ；24当a2,即a4时,g a f 273a0；a7,而a4,a 不存在；23当2a2,即4a4时,g a faa2a30,6a2；224又4a4
5、,4a2；当a2,即a4时,g a f27a0,a7；2又a4,7a4；综上所述,7a2变式 2：如x2,2时,f x 2恒成立,求a 的取值范畴法一 ：分析：题目中要证明f x 2在2,2 上恒成立,如把2 移到等号的左边,就把原题转化成左边二次函数在区间2,2 时恒大于等于0 的问题略解 ：f x x2ax3a20,即f x 2 xax1a0在2,2 上成立；a24 1a0,2 2 22 2a22 2；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a241a0精品资料欢迎下载f20a2；5a222；f 20a 22或23、变量分别型如在等式或不等式中显现两个变
6、量,其中一个变量的范畴已知,另一个变量的范畴为所求,且简洁通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,就可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解运用不等式的相关学问不难推出如下结论：如对于x 取值范畴内的任何一个数都有：f x g a 恒成立,就 g a f x min；如对于 x 取值范畴内的任何一个数,都有：f x g a 恒成立,就 g a f x max例 6已知三个不等式： x 24 x 3 0, x 26 x 8 0, 2 x 29 x m 0要使同时满足的全部 x 的值满意,求 m 的取值范畴略解 ：由得 2 x 3,要使同时满意的全部 x 的值满意,即不等式 2 x 29
7、x m 0 在 x 2, 3 上恒成立,2 2即 m 2 x 9 x 在 x 2,3 上恒成立,又 2 x 9 x 在 x 2,3 上大于 9；所以：m 92例 7函数 f x 是奇函数,且在 1, 1 上单调递增,又 f 1 1,如 f x t 2 at 1 对所有的 a 1, 1 都成立,求 t 的取值范畴解： 据奇函数关于原点对称,f 1 1；又由于 f x 在 1, 1 是单调递增,所以 f x max f 1 1；2f x t 2 at 1 对全部的 a 1,1 都成立；因此,只需 t 22 at 1 大于或等于 f x 在 1, 1 上的最大值 1,2 2t 2 at 1 1 t
8、2 at 0；又对全部的 a 1, 1 都成立,即关于 a 的一次函数在 1, 1上大于或等于 0 恒成立,2t 2 t 02 t 2 或 t 0 或 t 2 即：t , 2 0 2, t 2 t 0利用变量分别解决恒成立问题,主要是要把它转化为函数的最值问题4、依据函数的奇偶性、周期性等性质名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如函数精品资料欢迎下载fxf x （fx f x ）恒f x 是奇（偶）函数,就对一切定义域中的x ：成立；如函数f x 的周期为 T ,就对一切定义域中的x ：f x f xT 恒成立5、直接
9、依据图像判定 如把等式或不等式进行合理的变形后,能特别简洁地画出等号或不等号两边函数的图像,就 可以通过画图直接判定得出结果特别对于填空题这种方法更显便利、快捷例 8对任意实数x ,不等式 |x1|x2|a 恒成立,求实数a 的取值范畴a 的取值范畴分析： 转化为求函数y|x1|x2|的最小值,画出此函数的图像即可求得3, 1, x1解：令yx1x22x1x2；3, x2在直角坐标系中画出图像如下列图,由图象可看出,要使对任意实数x ,不等式 |x1|x2 |a 恒成立,|x2 |a ” ；同样由图象可得a3只需a3；故实数 a 的取值范畴是（, ）此题中如将“|x1|x2|a ” 改为“|x
10、1|利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给 定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范畴三、在恒成立问题中,主要是求参数的取值范畴问题,是一种热点题型,介绍一些基本的解题 策略,在学习中学会把问题分类、归类,娴熟基本方法（一）换元引参,显露问题实质例 9对于全部实数x,不等式：x2log24a12 log22a1log2aa2 10恒成立,aa42求 a 的取值范畴解： 由于log22 a1的值随着参数a 的变化而变化,如设2tlog22 a1,aa就上述问题实质是“ 当t 为何值时,不等式3t x2tx2t0恒成立” ；这是我们较
11、为熟识的二次函数问题,它等价于：名师归纳总结 求解关于 t 的不等式组：3t028 3t0；第 4 页,共 8 页2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解得t0,即有log22a10精品资料a1欢迎下载,易得 0a（二）分别参数,化归值域问题例 10如对于任意角总有sin22mcos4m10成立,求 m 的范畴2的最小值解： 此式是可分别变量型,由原不等式得m 2cos42 cos,又 cos20 ,就原不等式等价变形为2 m2 cos2恒成立cos故 2m 必需小于f 2 cos2的最小值,这样问题化归为怎样求2 coscoscos由f cos22c
12、os224cos24cos2cos424440；coscos2即 cos0 时,有最小值为0,故m0（三）变更主元,简化解题过程例 11如对于 0 m 1,方程 x 2mx 2 m 1 0 都有实根,求实根的范畴解：此题一般思路是先求出方程含参数 m 的根,再由 m 的范畴来确定根 x 的范畴,但这样会遇到很多麻烦,如以 m 为主元,就 m x 2 1 x 2,2由原方程知 x 2,得 m 1 x；x 22又 0 m 1,即 0 1 x1；解之得 1 13x 1 或 1 x 1 13x 2 2 2（四）图象解题,用好数形结合名师归纳总结 例 12设x0 4,如不等式x 4x ax恒成立,求 a
13、 的取值范畴yy14 1x2第 5 页,共 8 页解： 如设y 1x4x ,就x222 y 14 y 10表示为上半圆设y 2ax ,为过原点,a 为斜率的直线y2在同一坐标系内作出函数图像；依题意,半圆恒在直线上方时,只有a0时成立,0 即 a 的取值范畴为a01,a例 13当x1, 2时,不等式x2 1log ax 恒成立,求a 的取值范畴解：设y 1x2 1,y2log ax ,就1y 的图像为右图是抛物线；要使对一切x1, 2,y 1y 恒成立,明显a1,并且必需也只需当x2时,y 的函数值大于等于1y 的函数值；故log 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - -
14、- - - - 精品资料 欢迎下载（五）合理联想,运用平几性质例 14不论 k 为何实数,直线ykx1与曲线x2y22 axa22 a40恒有交点,求 a 的范畴解：xa22 y42 a ,C（a,0）,a2A（0,1）必在圆上或圆内,3当a2时,联想到直线与圆的位置关系,就有点即点 A（0,1）到圆心距离不大于半径,就有12a4a2,得1a评析 ：由于题设中有两个参数,用解析几何中有交点的理论将二方程联立,用判别式来解题是比较困难的；如考虑到直线过定点（六）分类争论,防止重复遗漏A（0,1）,曲线为圆例 15当 |m| 2时,不等式2x1m x21恒成立,求x 的范畴x21723；解：使用
15、|m| 2的条件,必需将m 分别出来,此时应对x21进行争论当x210时,要使不等式2x1m恒成立,只要2x12,解得1x21x21x1当x210时,要使不等式2x1m恒成立,只要2x12,解得1x21x21当x210时,要使 2x10恒成立,只有x1；综上得127x123解法 2：可设f m x21 m2x1,用一次函数学问来解,就较为简洁（七）构造函数,表达函数思想名师归纳总结 例 16设f x lgx 12x3xnnx 1x n a,其中 a 为实数, n为任意给定的自然数,第 6 页,共 8 页且n2,假如f x 当x, 时有意义,求a 的取值范畴解：此题即为对于x, ,有 1 x2x
16、n1xx n a0恒成立这里有三种元素交错在一起,结构复杂,难以下手；如考虑到求a 的范畴,可先将 a 分别出来,得a1x2xnn1 xn2,对于x, 恒成立nn构造函数：g x 1x 2nxnn1 x,n就问题转化为求函数g x 在x, 上的值域- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于函数u x kx k精品资料在x欢迎下载12, ,n1, 上是单调增函数,n就g x 在 , 上为单调增函数；1n1,从而可得a1 2n1于是有g x 的最大值为：g12四、巩固练习1对任意的实数 x ,如不等式 x 1 x 2 a 恒成立,求实数 a 的取值范畴2已知函
17、数 f x x 12 x m R ,对任意 x R 都有意义,求实数 m 的取值范畴lg2 2 m 2 23已知 f x 是定义在 , 3 的单调减函数, 且 f a sin f a 1 cos x 对一切实数 x成立,求实数 a 的取值范畴24当 a 、b满意什么条件时, 关于 x的不等式 x 1 a2 x a 5 3b 1 对一切实数 x 恒成立？x x 13 25已知 f x x ax bx c ,在 x 1 与 x 2 时,都取得极值；（1）求 a 、 b 的值；（2）如 x 3, 2 都有 f x 1 1恒成立,求实数 c 的取值范畴c 2答案：（ 1）a 3,b 6；（ 2）3 1
18、3 c 0 或 c 3 132 2 26定义在定义域 D 内的函数 y f x ,如任意的 x x 2 D ,都有 | f x 1 f x 2 | 1,就称函数3y f x 为“ 接近函数”,否就称 “ 非接近函数”,函数 f x x x a x 1,1 , a R 是否为“ 接近函数” ？假如是,请给出证明；假如不是,请说明理由名师归纳总结 解：由于|f x 1f x2 | |fmaxfmin|；R 的导数是：f f32 x1；10；第 7 页,共 8 页,a函数f x 3 xxa x 1,1当3 x210即x3时, 1时 32 x30,在x31在x0,3时,f 3x233故f x 在x0, 1内有微小值是f3a2 3；39- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 同理,f x 在x 1, 0精品资料f欢迎下载2 3；内有极大值是3a39名师归纳总结 由于f1f 1a ,a xf 1,1,aR 的最大值是a2 3,最小值是a2 3；第 8 页,共 8 页所以函数f x 3 xx99故有：|f x 1f x 2 | |fmaxxmin|4 21；9所以函数f x 3 xxa R 是“ 接近函数” 1,1,a- - - - - - -