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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点学而思学校奥数学问点梳理学而思教材编写组前言学校奥数学问点梳理,对于学而思的学校奥数大纲建设特别必要,不过, 对于学问点的概括很可能显现以偏概全挂一漏万的现象,为此, 本人参考了单尊主编的学校数学奥林匹克 、中国少年报社主编的华杯赛教材、华杯赛集训指南以及学而思的寒假班系列教材和华罗庚学校的教材共五套教材,力图打破原有体系,重新整合划分,构建十七块体系 （其第十七为解题方法聚集,可补充相应杂题）树干；一、运算1 四就混合运算繁分数 运算次序 分数、小数混合运算技巧一般而言：,原就上简明扼要,努力刻画学校奥数学问的主概述 加减
2、运算中,能化成有限小数的统一以小数形式； 乘除运算中,统一以分数形式；带分数与假分数的互化 繁分数的化简2 简便运算 凑整思想 基准数思想 裂项与拆分 提取公因数 商不变性质 转变运算次序 运算定律的综合运用 连减的性质 连除的性质 同级运算移项的性质 增减括号的性质 变式提取公因数 形如：3 估算 求某式的整数部分：扩缩法4 比较大小通分,就；a. 通分母b. 通分子跟“ 中介” 比利用倒数性质如 ,就 cba.；形如：5 定义新运算名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点6 特别数列求和运用相关公式
3、：1+2+3+4 （ n-1）+n+（n-1）+ 4+3+2+1=n 二、数论1 奇偶性问题奇 奇=偶 奇 奇 =奇奇 偶=奇 奇 偶 =偶偶 偶=偶 偶 偶 =偶2 位值原就形如：=100a+10b+c 3 数的整除特点：整除数 特 征2 末尾是 0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是 3 的倍数5 末尾是 0 或 5 9 各数位上数字的和是 9 的倍数11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是 11 的倍数4 和 25 末两位数是 4（或 25）的倍数8 和 125 末三位数是 8（或 125）的倍数7、11、13 末三位数与前几位数的差是 7（或 11 或 13）的倍数4
4、整除性质 假如 c|a、c|b,那么 c|a b； 假如 bc|a,那么 b|a,c|a； 假如 b|a, c|a,且（ b,c）=1,那么 bc|a； 假如 c|b,b|a,那么 c|a. a 个连续自然数中必恰有一个数能被 a 整除；5 带余除法一般地,假如a 是整数, b 是整数（ b 0）,那么肯定有另外两个整数q 和 r,0rb,使得a=b q+r 当 r=0 时,我们称 a 能被 b 整除；当 r 0 时,我们称 a 不能被 b 整除, r 为 a 除以 b 的余数, q 为 a 除以 b 的不完全商（亦简称为商）；用带余数除式又可以表示为 6. 唯独分解定理a b=q r, 0r
5、b a=b q+r 名师归纳总结 任何一个大于1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积,即第 2 页,共 9 页n= p1 p2 .pk 7. 约数个数与约数和定理- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点设自然数 n 的质因子分解式如 n= p1 p2 . pk 那么：n 的约数个数： dn=a1+1a2+1.ak+1 n 的全部约数和： （1+P1+P1 + p1 ）（1+P2+P2 + p2 ） （ 1+Pk+Pk + pk ）8. 同余定理 同余定义：如两个整数 a,b 被自然数 m 除有相同的余数,那么称 a,b 对于模 m 同余
6、,用式子表示为 abmod m 如两个数 a,b 除以同一个数 c 得到的余数相同,就 a,b 的差肯定能被 c 整除；两数的和除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数和；两数的差除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数差；两数的积除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数积；9完全平方数性质平方差：A -B = （A+B ）（A-B ）,其中我们仍得留意A+B , A-B 同奇偶性；约数：约数个数为奇数个的是完全平方数；约数个数为 3 的是质数的平方；质因数分解：把数字分解,使他满意积是平方数；平方和；10孙子定理（中国剩余定理）11辗转相除法12数论解题的常用方法：枚
7、举、归纳、反证、构造、配对、估量三、几何图形1 平面图形多边形的内角和N 边形的内角和 =N-2 180等积变形（位移、割补） 三角形内等底等高的三角形 平行线内等底等高的三角形 公共部分的传递性 极值原理（变与不变）三角形面积与底的正比关系S1S2 =ab ；S1S2=S4 S3 或者 S1 S3=S2 S4 相像三角形性质（份数、比例） ; S1S2=a2A2 S1S3S2 S4= a2b2abab ; S=（a+b）2 燕尾定理名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点S ABG ： S AGC S
8、 BGE ：S GECBE：EC；S BGA ： S BGC S AGF ：S GFCAF ：FC；S AGC ： S BCG S ADG ：S DGB AD：DB ；差不变原理知 5-2=3,就圆点比方点多 3；隐含条件的等价代换例如弦图中长短边长的关系；组合图形的摸索方法 化整为零 先补后去 正反结合2 立体图形 规章立体图形的表面积和体积公式 不规章立体图形的表面积 整体观照法 体积的等积变形水中浸放物体：V 升水 =V 物 测啤酒瓶容积：V=V 空气 +V 水 三视图与绽开图最短线路与绽开图外形问题 染色问题四、几面染色的块数与“ 芯”、棱长、顶点、面数的关系；典型应用题1 植树问题
9、开放型与封闭型 间隔与株数的关系2 方阵问题 外层边长数 -2=内层边长数（外层边长数 -1） 4=外周长数外层边长数2-中空边长数2=实面积数3 列车过桥问题 车长 +桥长 =速度 时间 车长甲 +车长乙 =速度和 相遇时间 车长甲 +车长乙 =速度差 追准时间 列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题 车长 =速度和 相遇时间 车长 =速度差 追准时间名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点4 年龄问题 差不变原理5 鸡兔同笼 假设法的解题思想6 牛吃草问题 原有草量 =（牛吃速度 -草长
10、速度） 时间7 平均数问题 8 盈亏问题 分析差量关系9 和差问题 10和倍问题 11 差倍问题 12逆推问题仍原法,从结果入手 13代换问题 列表消元法等价条件代换五、行程问题1 相遇问题 路程和 =速度和 相遇时间2 追及问题 路程差 =速度差 追准时间 3 流水行船 顺水速度 =船速 +水速 逆水速度 =船速 -水速 船速 =（顺水速度 +逆水速度）2 水速 =（顺水速度 -逆水速度）2 4 多次相遇 线型路程：甲乙共行全程数 =相遇次数2-1 环型路程：甲乙共行全程数 =相遇次数 其中甲共行路程 =单在单个全程所行路程 共行全程数5 环形跑道 6 行程问题中正反比例关系的应用 路程肯定
11、,速度和时间成反比；速度肯定,路程和时间成正比；时间肯定,路程和速度成正比；7 钟面上的追及问题； 时针和分针成直线； 时针和分针成直角；8 结合分数、工程、和差问题的一些类型；9 行程问题经常运用“ 时间倒流” 和“ 假定看成” 的摸索方法；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 六、计数问题名师总结优秀学问点1 加法原理：分类枚举2 乘法原理：排列组合3 容斥原理： 总数量 =A+B+C-AB+AC+BC+ABC 常用：总数量 =A+B-AB 4 抽屉原理：至多至少问题5 握手问题在图形计数中应用广泛 角、线段、三角形
12、, 长方形、梯形、平行四边形 正方形七、分数问题1 量率对应2 以不变量为“1”3 利润问题4 浓度问题倒三角原理例：5 工程问题 合作问题 水池进出水问题6 按比例安排八、方程解题1 等量关系相关联量的表示法甲 乙 =3 x 例：甲 + 乙=100 x 100-x 3x 解方程技巧恒等变形2 二元一次方程组的求解代入法、消元法3 不定方程的分析求解以系数大者为试值角度4 不等方程的分析求解九、找规律名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点周期性问题 年月日、星期几问题 余数的应用 数列问题 等差数列
13、通项公式 an=a1+n-1d 求项数：n= 求和：S= 等比数列 求和：S= 裴波那契数列 策略问题 抢报 30 放硬币 最值问题 最短线路a.一个字符阵组的分线读法 b.在格子路线上的最短走法数 最优化问题a.统筹方法 b.烙饼问题十、算式谜 1 填充型 2 替代型 3 填运算符号 4 横式变竖式 5 结合数论学问点十一、数阵问题1 相等和值问题 2 数列分组 知行列数,求某数 知某数,求行列数3 幻方 奇阶幻方问题：杨辉法 罗伯法 偶阶幻方问题：双偶阶：对称交换法 单偶阶：同心方阵法名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - -
14、 - 十二、二进制名师总结优秀学问点1 二进制计数法 二进制位值原就 二进制数与十进制数的相互转化 二进制的运算2 其它进制（十六进制）十三、一笔画1 一笔画定理：一笔画图形中只能有 0 个或两个奇点；两个奇点进必需从一个奇点进,另一个奇点出；2 哈密尔顿圈与哈密尔顿链3 多笔画定理笔画数 = 十四、规律推理1 等价条件的转换2 列表法3 对阵图竞赛问题,涉及体育竞赛常识十五、火柴棒问题1 移动火柴棒转变图形个数2 移动火柴棒转变算式,使之成立十六、智力问题1 突破思维定势2 某些特别情境问题十七、解题方法（结合杂题的处理）1 代换法2 消元法3 倒推法4 假设法5 反证法6 极值法7 设数法8 整体法名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点9 画图法10列表法11 排除法12染色法13构造法14配对法15列方程方程不定方程不等方程另外补充说明：在华校课本六年级中有“ 棋盘上的数学” 三讲,其实是找规律类型,学问点涉及棋盘格,几何,数论等,属于综合性问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页