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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y2 ax 的性质：性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴a0向上0,0y 轴x0时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 随x 的增大而减小；x0时, y 有最小值 0 a0向下0,0y 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时, y 随x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 0 a 的肯定值越大,抛物线的开口越小；2. yax2c 的性质：上加下减；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而增大；x0时,
2、y 随x 的增大而减小；x0时, y 有最小值 c a0向下0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时, y 随x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 c 3. ya xh2的性质：左加右减；名师归纳总结 a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质第 1 页,共 11 页a0向上h ,0X=h xh 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时, y随 x 的增大而减小；xh 时, y 有最小值 0 a0向下h ,0X=h xh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时, y随 x 的增大而增大；xh时,y有最大值04. ya xh2k 的性质：对称轴性质a 的符号开口方向顶点坐标a0向上
3、h,kX=h xh 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时, y随 x 的增大而减小；xh 时, y 有最小值 k a0向下h,kX=h xh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时, y随 x 的增大而增大；xh 时, y 有最大值 k - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：2方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ,确定其顶点坐标 h,k； 保持抛物线 y ax 的外形不变,将其顶点平移到 2h,k 处,详细平移方法如下：向上 k0【或向下 k0【或左 h0【或左 h0【或左
4、 h0【或下 k0【或下 k0】平移 |k|个单位y=ax-h2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“ h值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”概括成八个字“ 左加右减,上加下减”方法二：名师归纳总结 yax2bxc沿 y 轴平移 :向上（下）平移m 个单位,yax2bxc变成第 2 页,共 11 页yax2bxcm（或yax2bxcm）yax2bxc沿轴平移：向左（右）平移m 个单位,yax2bxc变成ya xm 2bxmc（或yaxm2b xmc）三、二次函数ya xh2k 与yax2bxc 的比较从解析式上看,ya xh2k 与yax2bxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前
5、者,即ya xb24aca2 b,其中hb,k4acb22 a42a4 a四、二次函数yax2bxc 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc 化为顶点式ya xh2k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称的点2h,c、与 x 轴的交点x ,0,x ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -
6、五、二次函数yax2bx精品资料欢迎下载c的性质1. 当a0时,抛物线开口向上,对称轴为xb,顶点坐标为b,4 ac4ab2b2a2 a当xb时, y 随 x 的增大而减小； 当xb时, y 随 x 的增大而增大； 当x2a2a2a时, y 有最小值4acb2当时, y4 a2. 当a0时,抛物线开口向下,对称轴为xb,顶点坐标为b,4 ac4ab22a2 axb时, y 随 x 的增大而增大；当xb时, y 随 x 的增大而减小；当xb2a2a2 a有最大值4acab24六、二次函数解析式的表示方法21. 一般式：y ax bx c （ a , b, c 为常数,a 0）；22. 顶点式：y
7、 a x h k （ a , h , k 为常数,a 0）；3. 两根式：y a x x 1 x x 2 （a 0,1x ,x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即 b 24 ac 0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 . 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y ax 2bx c 中, a 作为二次项系数,明显 a 0 当 a 0 时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大；
8、 当 a 0 时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大总结起来,a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数 b名师归纳总结 在二次项系数a 确定的前提下,b 打算了抛物线的对称轴第 3 页,共 11 页 在a0的前提下,当b0时,b0,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2 a当b0时,b0,即抛物线的对称轴就是y 轴；2 a当b0时,b0,即抛物线对称轴在y 轴的右侧2 a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在a0精品资料欢迎下载的前提下,结论刚好与上述相反,即当b0时,
9、b0,即抛物线的对称轴在y 轴右侧；ab0,2 a当b0时,b0,即抛物线的对称轴就是y 轴；2 a当b0时,b0,即抛物线对称轴在y 轴的左侧2 a总结起来,在a 确定的前提下,b 打算了抛物线对称轴的位置ab 的符号的判定：对称轴xb在 y 轴左边就ab0,在 y 轴的右侧就2 a概括的说就是“ 左同右异”总结：3. 常数项 c 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵
10、坐标为负总结起来, c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a, , 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点,挑选适当的形式,才能使解题简便况：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；一般来说,有如下几种情2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于
11、 x 轴对称y2 a xhb x关于 x 轴对称后,得到的解析式是yyax2bxc ；ya x2a xh2k ；k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是2. 关于 y 轴对称名师归纳总结 y2 a xhb x关于 y轴对称后,得到的解析式是yyax2bxc ；第 4 页,共 11 页ya x2k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是a xh2k ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载3. 关于原点对称2 2y a x b x 关于原点对称后,得到的解析式是 y ax bx c；2 2y a x h k关于原点对称后,得到的解析式是 y a
12、x h k ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180 ）2y a x 2b x 关于顶点对称后,得到的解析式是 y ax 2bx c b；2 a2 2y a x h k 关于顶点对称后,得到的解析式是 y a x h k 5. 关于点 m,n 对称2 2y a x h k 关于点 m,n 对称后,得到的解析式是 y a x h 2 m 2 n k依据对称的性质, 明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此 a永久不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就,挑选合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定
13、其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图像参考：y=2x2y=3x+42y=3x2y=3x-22y=x2y=x2y=2x2y=2x-42十2y=2x-42-3一、y=2 x2+2y=2 x2y=2 x2-4y= -x2 2名师归纳总结 y= -x2y=-2x+32y=-2x2y=-2x-32第 5 页,共 11 页y=-2x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法x【例 1】 求作函数y1x24x6的图象2【解】y1x24x61x28x1222以x1x242-41
14、x 2 4 2-22x 的一些值,列表如下：24为中间值,取x-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y50 3-2 30 52222【例 2】 求作函数yx24x3的图象；【解】yx24x3x24x3 x2 27 x2 27先画出图角在对称轴x2的右边部分,列表-2 -1 0 1 2 y7 6 5 4 3 【点评】 画二次函数图象步骤： 1 配方； 2 列表；3 描点成图；也可利用图象的对称性,先画出函数的左（右）边部分图象,再利 用对称性描出右（左）部分就可；二、一元二次函数性质名师归纳总结 【例 3】 求函数yx26x9的最小值及图象的对称轴和顶点坐标,并求它的单调区间；第 6 页,共
15、 11 页【解】yx26x2x26x97x3 27由配方结果可知：顶点坐标为3,7,对称轴为x3；10当x3时,ymin7函数在区间,3上是减函数,在区间3,上是增函数；【例 4】求函数y5x23 x1图象的顶点坐标、对称轴、最值；b235 3,4acab245132292a1044520- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载29 20函数图象的顶点坐标为3,29 20,对称轴为x1050当x3时,函数取得最大值ymaz291020,3 10函数在区间上是增函数,在区间3 ,上是减函数；【点评】 要讨论二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等
16、性质时,方法有两个：1 配方法；如例3 二次项系数为负数或分数 如例 4,可防止出错；2 公式法：适用于不简单配方题目任何一个函数都可配方成如下形式：ya xb24 acab2a02 a4【二次函数题型总结】1.关于二次函数的概念例 1 假如函数ym3 xm23 m2mx1 是二次函数,那么 m的值为；顶点Y 例 2 抛物线yx22x4的开口方向是；对称轴是为；2.关于二次函数的性质及图象例 3 函数yax2bxcac0的图象如下列图,-1 O X=1 X ,abc的符号就 a、b、c,ab为,例 4 已知abc=0 9a 3bc=0,就二次函数y=ax2bxc 的图像的顶点可能在（）（ B）
17、第三或第四象限（ C）第一或第四象限（D）其次或（A） 第一或其次象限第三象限3.确定二次函数的解析式名师归纳总结 例 5 已知：函数yax2bxc的图象如图：那么函数解析式为（）3 y 3 x （A）yx22x3（B）yx22x3-1 o （C）yx22x3（D）yx22x3第 7 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载4.一次函数图像与二次函数图像综合考查例 6 已知一次函数y=ax+c 二次函数y=ax2+bx+ca 0, 它们在同一坐标系中的大致图象是 . 例 7 如图：ABC是边长为 4 的等边三角形,AB在 X
18、 轴上,点 C 在第一象限, AC与 Y轴交于点 D,点 A的坐标为（ -1 ,0）（1）求 B、C、D 三点的坐标；（2）抛物线yax2bxc经过 B、C、D 三点,求它的解析式；64C2 DAOB510【练习题】-6一、挑选题名师归纳总结 1. 二次函数yx24x7的顶点坐标是 y（2, 3）第 8 页,共 11 页A.2, 11 B.（ 2,7） C.（2,11） D. 2. 把抛物线y22 x 向上平移 1 个单位,得到的抛物线是（）2x21A. y2x2 1 B. y2x2 1 C. y2x21 D. 3. 函数ykx2k 和ykk0在同始终角坐标系中图象可能是图中的 x- - -
19、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 已知二次函数3精品资料欢迎下载, 就以下结论 : a,b 同号 ; 2y ax bx c a 0时, 函数值相等 ; 4 a的图象如下列图当x1和xb0当y2时, x 的值只能取0. 其中正确的个数是 A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个5. 已知二次函数 y ax 2bx c a 0 的顶点坐标（ -1 ,-3.2 ）及部分图象 如图 ,由图象可知关于 x 的一元二次方程 ax 2bx c 0 的两个根分别是 x 1 1.3 和 x 2（） . B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 26. 已知二次函数
20、y ax bx c的图象如下列图,就点 ac bc 在（）A第一象限 B其次象限C第三象限 D 第四象限2 27. 方程 2x x 的正根的个数为（）xA.0 个 B.1 个 C.2 个. 3 个8. 已知抛物线过点 A2,0,B-1,0, 与 y 轴交于点 C,且 OC=2.就这条抛物线的解析式为2 2A. y x x 2 B. y x x 22 2 2 2C. y x x 2 或 y x x 2 D. y x x 2 或 y x x 2二、填空题9二次函数 y x 2bx 3 的对称轴是 x 2,就 b _；10已知抛物线 y=-2（ x+3）2+5,假如 y 随 x 的增大而减小, 那么
21、 x 的取值范畴是 _. 11一个函数具有以下性质：图象过点（增大而增大；满意上述两条性质的函数的解析式是1,2）,当 x0 时,函数值 y 随自变量 x 的（只写一个即可） ；12抛物线 y 2 x 2 26 的顶点为 C,已知直线 y kx 3 过点 C,就这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为；2 213. 二次函数 y 2 x 4 x 1 的图象是由 y 2 x bx c 的图象向左平移 1 个单位 , 再向下平移 2 个单位得到的 , 就 b= ,c= ；14如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是 16 米,跨度是 40 米,在线段 AB上离中心M处 5 米的地方,桥的高度是 取 3
22、.14. 三、解答题：15. 已知二次函数图象的对称轴是x30, 图象经过 1,-6,且与 y 轴的交点为 0,5. 21 求这个二次函数的解析式; 2 当 x 为何值时 , 这个函数的函数值为0. 3 当 x 在什么范畴内变化时, 这个函数的函数值y随 x 的增大而增大 . 第 15 题图名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载16. 某种爆竹点燃后, 其上上升度 h（米）和时间 t（秒）符合关系式 h v t 1gt 2（0t 2）,2其中重力加速度 g 以 10 米 / 秒 2 运算这种爆竹点燃后
23、以 v0=20 米/ 秒的初速度上升,（1）这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地 15 米？（2）在爆竹点燃后的 明理由 . 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内,判定爆竹是上升,或是下降,并说17. 如图,抛物线yx2bxc 经过直线yx3与坐标轴的两个交点 A、B,此抛物线与x 轴的另一个交点为C,抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；（2）点 P为抛物线上的一个动点,求使SAPC：SACD5 ：4 的点 P的坐标；一,挑选题、1A 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 7C 8 C 等（答案不唯独）二、填空题、 10 x-3 11 如y2x24,y2x4 9 b4121 13
24、-8 7 1415 三、解答题名师归纳总结 15 1 设抛物线的解析式为yax2bxc, 由题意可得y当t1x23 x5第 10 页,共 11 页b31,b3, c5所以2aabc6解得a2222c52x1或-5 22x313时不合题意,舍去；1 21016（1）由已知得,1520t2 t ,解得t 13,t2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以当爆竹点燃后精品资料欢迎下载20t 5t2220,可1 秒离地 15 米（2）由题意得,h5 t2知顶点的横坐标t2,又抛物线开口向下,所以在爆竹点燃后的1.5 秒至 108 秒这段时间内,爆竹在上升名师归纳总结 17（1）直线yx3与坐标轴的交点A（3,0）,B（ 0,3）就9c3 b3c0解得b32第 11 页,共 11 页c所以此抛物线解析式为yx22x3（2）抛物线的顶点D（1, 4）,与 x 轴的另一个交点 C（ 1,0）. 设 P , a a22a3,就14a22a3 : 1445: 4.22化简得a22 a35当a22a30 时,a22 a35得a4,a2P（4,5）或 P（ 2,5）当a22a30 时,a22a35即a22a20,此方程无解综上所述,满意条件的点的坐标为（4,5）或（ 2, 5）- - - - - - -