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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数提高性复习总结学问点 1 定义： 一般地,假如yax2bxca、b、c是常数,a0）,那么 y 叫做 x 的二次函数；函数0对 称 轴开 口 方 向顶 点 坐 标a0ayax 2x0（ y 轴）、b2 ,yax2kx0（ y 轴）0,k开开 ,ya（xh）2口口xh向向h,kya（xh）k上下xhyax2bxcxbb,4acab22a42 a例 1、 函数的解析式为yax2bxc,其中a、b、c为常数；、c 时该函数为正比例函数；当 a 时该函数为二次函数；当 a、b时该函数为一次函数；当 a练 1、（1）ym1m x
2、212 mx1的图像是抛物线,求m ；（2）如ym3 xm3m2是二次函数,求m 值；34x2D.y32x2学问点 2、二次函数yax2bxc由特别到一般的几种表现形式之图像特点C.y例 2、某二次函数的图象如下列图,其解析式为 （）A .yx24B.y4x244练 2、二次函数y3x229的图像的开口方向,对称轴和顶点坐标分别为（）A开口向上,对称轴为x2,顶点为（ 2, 9）B开口向下,对称轴为xx2,顶点为（ 2,9）C开口向上,对称轴为,顶点为（ 2, 9）D开口向下,对称轴为,顶点为（ 2, 9）x22学问点 3、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：yax2bxcaxb2h4a
3、cb2,顶点是b,4ac 4ab2,对称轴是直线hxb；2a4 a2a2 a（2）配方法：将抛物线的解析式化为yax2k的形式,得到顶点为h,k,对称轴是直线x；（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是轴对称图形,所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点；例 3、已知抛物线yx22x3,如点P 2,与点 Q 关于该抛物线的对称轴对称,求点Q 的坐标；第 1 页,共 7 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载；练 3、用配方法将函数y1x22x1化为ya（xh）k的形式是（）2A .y1x221B
4、 .y1x1 21C.y1x223D.y1x2 212222学问点 4、在抛物线yax2bxca、b、c是常数且a0）中,常数a、b、c所起的作用（1） a 打算了抛物线yax2bxc开口方向及开口大小： a 的正、负打算抛物线的开口方向：当a0时,抛物线开口向上；当a0时, 抛物线开口向下； a 的大小打算抛物线的开口大小：a越大,抛物线的开口越小；a越小,抛物线的开口越大；（2）b和 a 共同打算了抛物线对称轴的位置：由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线xb,2 a故：b0时,对称轴为x0 y 轴 ；b0时,对称轴在y 轴左侧；b0时,对称轴在y 轴右侧；aa（3） c 打算了抛物线ya
5、x2bxc与 y 轴交点的位置； 当x0时,yc,抛物线yax2bxc与 y 轴有且只有一个交点0,c ；c0,抛物线过原点0, ；c0,与 y 轴交于正半轴上点0,c；c0,与 y 轴交于负半轴上点0,c以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立；例如：如抛物线的对称轴在y 轴右侧,就b0；a例 4、如抛物线yax2bxc的图象如下列图,OAOC,就（）A . ac1bB . ab1cC . bc1aD 以上都不对y C A O x x11、例 4 题图练 4（1）题图练 4（2）题图练4、（1）小明从如下列图的二次函数yax2bxc 的图象中,观看得出了下面5条信息：c0abc0abc02a3
6、 b0c4 b0你认为其中正确信息的有（）个,能说出理由吗？A 2 B3 C4 D5 （2）如图,二次函数yax2bxc 的图象过点1, 且与 x 轴交点的横坐标为x 、x2,其中2；0x21；在所列的4 个不等式中,依据,可知正确选项4 a2 bc02 ab0a1b28 a4ac学问点 5、直线与抛物线的交点（1） y 轴与抛物线yax2bxc得交点为0,c ；第 2 页,共 7 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）与 y 轴平行的直线xh与抛物线yax2学习必备c欢迎下载h,ah2bhc；bx有且只有一个交点（3） x 轴与抛物
7、线的交点x轴与抛物线yax2bxc图像两个交点横坐标x 、x2是对应的一元二次方程ax2bxc0两个实数根；x轴与抛物线的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点ax2bx0c抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与 x 轴相切；没有交点0抛物线与 x 轴相离；（4）平行于 x 轴的直线与抛物线y的交点同（ 3）一样可能有两个交点、一个交点、没有交点；当有两个交点时,两交点的纵坐标相等；设纵坐标为k ,就横坐标是ax2bxck的两个实数根；a；（5）直线 l ：ykxnk0与抛物线 G ：yax2bxca0的交点,由方程组ykx2nc的解的数目来确定：y
8、axbx方程组有两组不同的解时l 与 G 有两个交点；方程组只有一组解时l 与 G 只有一个交点；方程组无解时l 与 G 没有交点；（6） x轴与抛物线两交点之间的距离：如抛物线yax2bxc与 x 轴的两交点为Ax 1,、Bx2,由于x 、1x2是方程ax2bxc0的两个根,故x 1x2b,x 1x2c,aaABx 1x 2x 1x22x 1x 224x 1x2b24 cb2a4acaa例 5、已知二次函数yaxm 2axm（a、m为常数,且a0）；（1）求证：不论 a 与 m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C ,与 x 轴相交于A、B两点,与 y 轴交
9、于点 D ；当ABC的面积等于1 时,求 a 的值；当ABC的面积与ABD 的面积相等时,求m的值；练 5、已知二次函数yx22xm的图象C 与 x 轴有且只有一个公共点；（1）求C 的顶点坐标；C ,假如C 与 x轴的一个交点为A 3,求C 的函数关系式,（2）将C 向下平移如干个单位后,得抛物线名师归纳总结 第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 并求C 与 x 轴的另一个交点坐标；y 1学习必备欢迎下载（3）如Py2,求实数 n 的取值范畴；n,y1、Q2,y2是C 的两点,且学问点 6、用待定系数法求出二次函数的解析式常用方法（
10、1）顶点式 ：已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式yaxh2k；axx1xx2；0,2x （2）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x1,x 2,通常选用交点式y（3）一般式 ：已知图像上三点坐标或三对x、y的值,通常挑选一般式yax2bxc；例 6、已知抛物线y2 axbxc的对称轴为x1,与 x 轴交于A 3,、B两点,与 y 轴交于点CA O y B （1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P ,使得PBC的周长最小,求出点 P 的坐标；（2）如点 D 是线段 OC 上的一个动点（不与点O 、点 C 重合）；过点 D 作 DEPC交 x 轴于点 E, 连接PD、PE；
11、C 设CD长为 m ,PDE面积为S 求 S 与 m 间的函数关系式；试说明 S是否存在最大值,如存在,求出最大值；如不存在,说明理由；例 6 题图练 6、如图,抛物线yx2bxc与始终线相交于A1,、C ,两点,与 y 轴交与点 N ；其顶点为点D ；E第 4 页,共 7 页（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点M3,m ,求使MNMD的值最小时 m 的值；（3）如抛物线对称轴与直线AC 相交于点 B , E 为直线 AC 上任意一点,过作EF /BD,交抛物线于点F ,以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - -
12、- - - - - 学习必备 欢迎下载四边形？如能,求点 E 坐标；如不能,请说明理由；（4）点 P 是该抛物线上位于直线 AC 上方的一动点,求出 APC面积的最大值；练 6 题图练 7、如图,抛物线yax2bxc经过A1,、B3,、C0,三点,直线 l 是抛物线的对称轴；（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点,当PAC 的周长最小时,求点P 的坐标；M 的坐标；（3）在直线 l 上是否存在点M ,使MAC 为等腰三角形？如存在,直接写出全部符合条件的点如不存在,请说明理由；图 1 图 2 图 3 图 4 图 5例 7 题图学问点 7、所学各个学问点水乳交融在二
13、次函数的综合性习题中,常作为中考压轴题来甄别同学的数学底蕴是否深厚；例 7、如图,已知二次函数yx21m xm（0m1）的图像与 x 轴交于A、B两点（点 A 在点 B 的左侧）,PC；与 y 轴交于点 C ,对称轴为直线l ；设 P 为对称轴 l 上的点,连接PA、PC,PA（1）ABC 的度数为；ly（2）求 P 点坐标（用含m 的代数式表示） ；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点 O 不重合）,使得以Q、B、CP为顶点的三角形与PAC 相像,且线段PQ 的长度最小？假如存在,求出全部满意条件的点Q 的坐标；假如不存在,请说明理由；AOBxC名师归纳总结 例 8 题图第 5 页,共 7
14、 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练 8、在平面直角坐标系xoy中,抛物线ym学习必备欢迎下载3 m2与 x 轴的交点分别为原点O 和点 A ,点1x25 mx2 m44B 2,n）在这条抛物线上；（1）求点 B 的坐标；（2）点 P 在线段 OA 上,从点 O 动身向点 A 运动,过点P 作 x 轴的垂线,与直线OB 交于点 E ,延长 PE 到点 D ,使得EDPE,以 PD 为斜边,在 PD 右侧作等腰RtPCD（当点 P 运动时,点C、D也随之运动） ；当等腰RtPCD的顶点 C 落在此抛物线上时,求OP 的长；如点 P 从点 O 动身向点
15、 A 作匀速运动, 速度为每秒1 个单位, 同时线段 OA 上另一个点 Q 从点 A 动身向点 O 作匀速运动,速度为每秒 2 个单位（当点 Q 到达点 O 时停止运动, 点 P 也停止运动） 过 Q 作 x 轴垂线, 与直线 AB 交于点 F ,延长 QF F 到点 M ,使得 FM QF,以 QM 为斜边, 在 QM 的左侧作等腰 Rt QMN（当点 Q 运动时, 点 M、N也随之运动） ,如点 P 运动到 t 秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻 t 的值；名师归纳总结 第 6 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -
16、- - 学习必备 欢迎下载练 7 题图练 9、如图 1,在 Rt ABC 中,C 90,AC分别沿 PA、PB 以每秒 1 个单位长度的速度向点点 F 运动到点 B 时停止,点 E 也随之停止；在点线段 AB 的同侧；设 E、F 运动的时间为 t 秒 t8,BC 6,点 P 在 AB 上,AP 2点 E、F 同时从点 P 动身,A、B 匀速运动,点 E 到达点 A 后马上以原速度沿 AB向点B运动,E、F 运动过程中,以 EF为边作正方形 EFGH ,使它与 ABC在0 ,正方形 EFGH 与 ABC重叠部分的面积为 S ；（1）当t1时,正方形 EFGH 的边长是 _；当t3时,正方形 EFGH 的边长是 _；图 4 （2）当1t2时,求 S 与 t 的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中,当t为何值时,S最大？最大面积是多少？图 1 图 2 图 3 练 8 题图名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页