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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第十一讲 乘法原理与加法原理学问提要懂得和初步把握：加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及运算方法；加法原理： N= m1m2 mn；乘法原理： N= m1 m2 mn；经典例题例 1 小刚从家到学校要经过一座桥,从家到桥时有3 条路可以走,过了桥再到学校时有4条路可以走（如下图） ；小刚从家到学校一共可以有多少种不同的走法？家A 桥D E学校B F C 分析与解：G 把从小刚家到学校的路分为两步；第一步从家到桥, 其次步从桥到学校； 这两步中每一步都不能单独走完从家到学校的路,只有两步合在一起,才能完成；从图中看出从家到学校
2、共有 12 种不同的走法：AD AE AF AG BD BE BF BG CD CE CF CG 依据此题,得出如下结论：乘法原理 要完成一项任务,由几个步骤实现,第一步有 m1 种不同的方法；其次步有m2 种不同的方法； 第 n 步有 mn种不同的方法；那么要完成任务共有：N= m1 m2 mn；例 2 有四张数字卡片,5 6 7 8 用这四张数字卡片组成三位数,可以组成多少个？分析与解：用卡片组成三位数要分成三步,第一步选取百位上的数字,可以有 4 种挑选；其次步选取十位上的数字,可以有 3 种挑选； 第三步选取个位上的数字,可以有 2 种挑选；所以可以组成不同的三位数共有：4 3 2=2
3、4（个）例 3：由数字 1、2、3、4、5、6 可以组成多少个没有重复数字的四位奇数？分析与解： 要求奇数,所以个位数字只能取 1、3、5 中的一个,有 3 种取法；十位数字可以从余下的五个数字中任取一个,有 5 种不同取法； 百位数字仍有 4 种取法； 千位数字只有 3 种取法；由乘法原理,共可组成：名师归纳总结 3 5 4 3 180（个）没有重复数字的四位奇数；第 1 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 4：下图为 4 4 的棋盘,要把A、B、C、D四个不同的棋子放在棋盘的方格中,并使每行每列只能显现一个棋子；
4、问：共有多少种不同的放法？分析与解 ：四个棋子要一个一个地放,故可看做分四步完成任务,第一步放棋子 A,A可以放在 16 个方格中的任意一个中,故有 16 种不同方法；其次步放棋子 B,放 A 棋子的一行和一列都不能放 B,仍剩下 9 个方格可以放 B,所以 B 有 9 种方法；第三步放 C,再去掉放 B 的行和列,仍有 4 个方格可以放 C,故 C有 4 种放法；最终放 D,再去掉 C所在的行和列,只剩下一个方格放 D了, D只有一种方法,由乘法原理,共有 16 9 4 1576（种）不同放法；在解题时应留意加法原理和乘法原理的区分,往往是要综合使用的；例 5 从北京到郑州可以坐飞机,乘火车
5、,仍可以乘汽车；一天中有飞机2 班,火车有3 趟,汽车有 5 趟；同一天中从北京到郑州乘坐以上三种交通工具,共有几种不同的走法？分析与解：三种交通工具中的任何一种都可以到达目的地,那么每类交通工具中有几中不同的方法；（飞机 2 班,火车 3 趟,汽车 5 趟）因此,要到达目的地应有 依据此题,得出如下结论：235=10 不同的方法；加法原理 要完成一种任务有几类方法,在第一类方法中有 m1 中不同方法；在其次类方法中有 m2中不同方法； 在第 n 类方法中有 mn中不同方法；在这些不同的方法中,每一种方法都能独立完成任务,那么完成这一任务共有：N= m1m2 mn；例 6：如图：从甲地到乙地有
6、4 条路可走,从乙地到丙地有2 条路可走,从甲地到丙地有3条路可走；那么,从甲地到丙地共有多少种不同走法？乙甲 丙解：从甲地到丙地共有两类不同走法；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第一类： 由甲地途径乙地到丙地；学习必备欢迎下载4 种走法；这时要分二步走； 第一步, 从甲地到乙地有其次步从乙地到丙地有2 种走法；据乘法原理,从甲地经乙地到丙地共有： 4 28 种不同走法；其次类：从甲地直接到丙地,有3 种走法；由加法原理,从甲地到丙地如有 8 311 种不同的走法；例 7：有两个相同的正方体,每个正方体的六个面上
7、标有数字1、2、3、4、5、6,将两个正方体任意放到桌面上,向上一面的两个数字之和为偶数的有多少种情形？解：两个数字之和为偶数,这两个数字的奇偶性必相同,所以分两大类；第一类：两个数字同奇,第一个正方体有 3 种可能, 其次个正方体也有 3 种可能, 由乘 法原理,共有 3 39 种不同的情形；9 种不同的情形；其次类：是两个数字同偶；也有 据加法原理：两个正方体向上一面数字之和为偶数；共有： 9918 种不同的情形；基本训练1. 某校六一班有35 人,六二班有40 人,六三班有37 人；从中选1 人去人民大会堂开会,有多少种选法？2. 某校六一班第一小队有12 人,其次小队有11 人,第三小
8、队有13 人；从每个小队中各选1 人去人民大会堂开会,有多少种选法？3. 某人在学校、中学、高中时分别有两个学校可以挑选,那么他共有几种不同的由学校读 完高中的不同挑选方式？名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4如下列图,三条平行线上分别有两个点、四个点、三个点,且不在同始终线上的三个点肯定不共线,在每条直线上各取一点可以画一个三角形,如三角形 同的三角形？A BBEH,问可以画多少个不C G D H E FM5. 由数字 1、2、3、4、 5、6、7、8 可以组成多少个1 三位数？2 三位偶数？3
9、 没有重复数字的三位偶数？4 百位有 8 的没有重复数字的三位数？5 百位为 8 的没有重复数字的三位偶数？名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载拓展提高1某个地区的电话号码是八位数,假如首位不是0,其余各位上可以是09 这十个数字中的任意一个,不同数位上的数字可以重复,那么,这个地区可以有多少个电话号码？2两位数中个位数字加十位数字的和是双数,这样的两位数一共有多少个？3某公司买了8 辆汽车,这8 辆汽车的钥匙混装在一个纸袋里,要想把每辆汽车的钥匙挑出来,最多要试多少次？奥赛训练1 超市的一个货架上
10、摆放着10 种不同的蔬菜,另一个货架上摆放着8 种不同的水果；如果妈妈从这两个货架中至少选购一种,最多项购两种,一共有多少种不同的选购方法？2 从 130 这三十个自然数中,选出两个数, 使它们的和大于30,一共有多少中不同的选法？3自然数 11000 中,“ 0” 这个数字一共显现了多少次？名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第十二讲 简洁的排列与组合学问提要1、懂得和初步把握：加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及运算方法；加法原理： N= m1m2 mn；乘法原理： N= m 1 m2 mn；
11、排列：p n m = n （n-1 ）（n-2 ） （ n-m+1）（m n）组合：nc m = p n mp m m2、能够应用加法原理、乘法原理、 排列和组合的概念及运算方法解决一些简洁的实际问题；经典例题例 1 有四张数字卡片,5 6 7 8 用这四张数字卡片组成三位数,可以组成多少个？分析与解：用卡片组成三位数要分成三步,第一步选取百位上的数字,可以有 4 种挑选；其次步选 取十位上的数字,可以有 3 种挑选； 第三步选取个位上的数字,可以有 2 种挑选；所以可以组成不同的三位数共有：4 3 2=24（个）排列的公式：p n m= n （ n-1 ）（n-2 ） （ n-m+1）（m
12、n）例如用 5、6、7、8、9 组成没有重复数字的四位数,可以组成多少个？pm n= n （n-1 ）（n-2 ） （ n-m+1）（mn）=5 5 1 5 2 5 4+1= 5 4 3 2=120 4 p 5例 2 有红、黄、粉、紫和蓝色的花各有许多支,现在用三种颜色的花各一支扎成一束,可以 扎成多少不同的束？分析与解：从 n 个不同元素中,任意取出m个元素（ mn）,组成一组,叫做从n 个不同元素取m个元素的一个组合,所组合的个数,叫做组合数；用符号cm表示；n组合的公式：m c n=pmpmnm排列与组合的区分：排列与元素的次序有关：例如从 7 个人中选出正副组长,两个人有正、副之分；组
13、合与元素的次序无关：例如从 7 个人中选出两个人去开会,没有正、副之分；由于所扎成的每一束花,与颜色的排列次序无关,所以是组合问题；名师归纳总结 3 p 3 p =（5 4 3） （ 3 2 1）= 60 6= 10 第 6 页,共 25 页答：一共可以扎成10 种不同的花束；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 3 从甲地到乙地的铁路沿线连同甲、乙两站共有 同票价？分析与解：10 个车站,那么,火车票应有多少种不由于从 A 到 B 和从 B 到 A 火车的票价是相同的,所以是组合问题；2 p 10p2=（10 9） （ 2 1）2
14、= 90 2 = 45 答：火车票应有 45 种不同票价；例 4 平面上共有 7 个点（没有 3 个点在同一条直线上） ,通过这些点可以画出多少个三角形 或四边形？分析与解：通过这些点画三角形和四边形时,这些点没有次序关系,所以先依据组合公式分别求出三角形和四边形的个数,再依据加法原理把两种的个数相加；3 c 7+4 c 7= 7 6 5 3 2 1 + 7 6 5 4 4 3 2 1 = 35+35 = 70 答: 可以画出 70 个三角形或四边形；例 5 如图；共有多少个平行四边形？分析与解：依据数长方形个数的方法, “ 长边”上 8 个点中选 两个点的组合乘以宽边上 6 个点中两个点的组
15、合；2 2 c 8c 6 = 8 7 2 1 6 5 2 1 =28 15 =420 答: 共有 420 个平行四边形；基本训练1. 一次乒乓球竞赛,最终有 以写出多少种？6 名选手进入决赛,假如赛前写出冠、亚军名单,可名师归纳总结 2. 在一张纸上有9 个点,没有三个点在一条直线上；通过这些点一共可以画出多少条线段？第 7 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3. 第三小队共有队员 12 人,要选出正、副小队长各一人,选出的结果可以有多少种不同的情形？4. 六一班有 40 名同学,现在要选派2 名同学参与国庆活动,共有
16、多少种不同的选法？5. 小红有 4 件不同花色的衬衫,有 3 条不同样式的裙子,假如用一件衬衫和一条裙子搭配成一套,一共可以搭配成多少套？6. 学校食堂今日中午的主食有：米饭、馒头、花卷和烙饼,炒菜有：炒芹菜、炒肉片、炒三 丁、炒豆角和红烧肉；张老师要买一种主食和一种炒菜作为中午饭,张老师可以有多少种不同的买法？拓展提高1. 用 0、1、2、 3、4、5、6 写出没有重复数字的四位数,可以写出多少个？2. 用 0、1、2、3、4 写出没有重复数字的两位数、三位数和四位数,一共可以写出多少个？3. 六一班的图书角现在有6 本科技书, 有 8 本故事书, 有 3 本词典, 小刚想借其中的一本,一共
17、可以有多少种不同的借法？名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4. 有 6 名同学和班主任老师照相留念,分成两排,中间；他们一共有多少种不同的排法？5. 有 7 名同学毕业前照相留念,分成两排,前排 的边上；” ；他们一共有多少种不同的排法？前排 3 人,后排 4 人,班主任要站在前排3 人,后排 4 人,张刚说： “ 我不站在后排6. 有 1 克、 2 克、 4 克、 8 克、 16 克的砝码各一个,只选用其中的两个砝码,在天平上能称 出多少种不同重量的物体？奥赛训练1. 一张纸上共画有10 个点,
18、其中有3 个点在一条直线上,以这些点为三角形的顶点,一共可以画出多少个三角形？. . . . . . . . . . 2. 有 1 分、 2 分、 5 分、 1 角、 5 角和 1 元的硬币各一枚,共可以组成多少种不同币值？名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第十三讲 巧求面积学问提要 1、把握正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形这些直线形图形的特点：b a b h h h a a a a a 2、懂得和把握正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导过程：正方形面积 =边长 边长 =
19、a 2,长方形面积 =长 宽 =ab,平行四边形面积=底 高 =ah,2= ab h三角形面积 =底 高2=ah2梯形面积 =（上底下底） 高2经典例题例 1 算出下面每个图形中阴影部分的面积. （已知大正方形边长10 厘米,小正方形边长6厘米）图二图一图二图三分析与解：（ 610） 6 2 6 6 2 （106） 10 2 =48（平方厘米） =18平方厘米 =80（平方厘米）例 2 小两个正方形组成下图所示的组合图形；已知大正方形的边长 长 6 厘米,求阴影部分的面积；分析与解：方法 1：两个正方形的面积之和减去三角形 ABD与三角形 BEF的面积,就得到阴影部分的面积；2+6 2（ 10
20、 10 2）（ 10+6） 6 2=38（平方厘米）；10 方法 2：添加帮助线 GB,三角形 BDG与三角形 GBF的面积之和就等于阴 影部分的面积；（10-6 ） 10 26 6 2=38（厘米 2）答：阴影部分的面积是 38 平方厘米；10 厘米,小正方形的边名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 3 用四种不同的方法,把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形分析与解：方法 1：如下图 1,先将 BC四等分,即BD=DE=EF=EC,连结 AD、AE、AF得到四个等积三角形,即ABD、 AD
21、E、 AEF、 AFC；方法 2：如下图 2,先将 BC二等分,分点 D、连结 AD,得到两个等积三角形,即ABD与 ADC等积然后取 AC、AB中点 E、F,并连结 DE、DF以而得到四个等积三角形,即ADF、 BDF、 DCE、 ADE等积方法 3：如下图 3,先将 BC四等分, 即 BD等于四分之一 即 AE=EF=FD,连结 CE、CF,从而得到四个等积三角形,即等积BC,连结 AD,再将 AD三等分,ABD、 CDF、 CEF、 ACEA D A F A E F B D E F C B E C B D 图 3 C 图 1 图 2 想一想：你仍有其他方法吗？从上面例题得到下面结论：等底
22、等高的两个三角形面积相等底在同一条直线上并且相等,该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线 上,这两个三角形面积相等如两个三角形的高（或底）相等,其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的 几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍例 4 如右图,在梯形ABCD中, AC与 BD是对角线,其交点O,求证：AOB与 COD面积相等分析与解：证明：ABC与 DBC等底等高,S ABC=S DBC 又 S AOB=S ABCS BOC S DOC=S DBCS BOC S AOB=S COD等量减等量所得的差相等；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 25 页精选
23、学习资料 - - - - - - - - - 例 5 一个三角形的底长学习必备欢迎下载1.55 米,假如底延长1 米,那么面积就增加平方米, 如图 ,那么原先三角形的面积是多少平方米 . 分析与解：方法 1：已知阴影三角形的面积和底,依据三角形面积公式就能求出三角 形的高,也就是原三角形的高,又知道原三角形的底,从而求出原三角形的面积；15 2 1=3（米） 3 2=7.5 （平方米） 5 答：原先三角形的面积是 7.5 平方米；方法 2：已知原三角形的底是阴影三角形的底的 的 5 倍； 15 5=7.5 （平方米）5 倍,所以原三角形的面积就是阴影三角形面积例 6 如右图,已知在ABC中,
24、BE=3AE,CD=2AD如 ADE的面积为 1 平方厘米求三角形 ABC的面积分析与解：方法 1：连结 BD,在 ABD中 BE=3AE, S ABD=4S ADE=4（平方厘米）在 ABC中, CD=2AD, S ABC=3S ABD=3 4=12（平方厘米）方法 2：连结 CE,如右图所示,在ACE中, CD=2AD, S ACE=3S ADE=3（平方厘米）在 ABC中, BE=3AE S ABC=4S ACE =4 3=12（平方厘米）例 7 如右图, ABCD为平行四边形, EF平行 AC,假如CDF的面积分析与解：ADE的面积为 4 平方厘米求三角形解：连结 AF、CE, S A
25、DE=S ACE；S CDF=S ACF；又 AC与 EF平行, S ACE=S ACF； S ADE=S CDF=4（平方厘米）名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 8 如右图,在平行四边形 求 BEF的面积分析与解：ABCD中,直线 CF交 AB于 E,交 DA延长线于 F,如 S ADE=1,解：连结 AC, AB/CD, S ADE=S ACE 又 AD/BC, S ACF=S ABF 而 S ACF=S ACE+S AEF,S ABF=S BEF+S AEF S ACE=S BEF S
26、 BEF=S ADE=1基本训练1挑选题 （有且只有一个正确答案）：BE、 CE,那么与ABE等积（1）如下左图,在ABC中, D是 BC中点, E是 AD中点,连结的三角形一共有_个（A）0 个 （ B）1 个（C）2 个 （D）3 个（2）如上右图,在平行四边形ABCD中, EF平行 AC,连结 BE、AE、CF、 BF那么与BEC等积的三角形一共有_个（A）0 个 （B）1 个（C）2 个 （D）3 个（3）如下左图,在梯形ABCD中,共有八个三角形,其中面积相等的三角形共有_对（A）0 对 （B）1 对（C）2 对 （D）3 对（4）如上右图,是一个长方形花坛,阴影部分是草地,空地是四
27、块同样的菱形,那么草地 与空地面积之比是 _（A）11 （B）11.1 （C）11.2 （D）11.4 2填空题：（1）如下左图, A、B 两点是长方形长和宽的中点,那么阴影部分面积占长方形面积的 _（2）如上右图,平行四边形ABCD的面积是 40 平方厘米,图中阴影部分的面积是_名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3）如下左图,正方形 ABCD的面积为 1 平方厘米, S BEGS CEG=21,S CFGSDFG=11,那么这四个小三角形面积之和 _（4）如上右图, 在 ABC中,EF 平行
28、 BC,AB=3AE,那么三角形甲、 乙、丙面积的连比是 _拓展提高1. 如图 1,在边长为6 厘米的正方形内有一个三角形BEF,已知线段AE=3厘米, DF=2厘米,求阴影部分的面积是多少？2. 左下图是一块长方形草地,长方形的长是160 米,宽是 102 米；中间有两条道路,一条是长方形, 一条是平行四边形,那么有草部分的面积等于多少平方米？3. 如图,梯形的下底为8 厘米,高为4 厘米；阴影部分面积是多少平方厘米？4. 如图,四边形ABCD是长方形, A、D、E、F 在同一条直线上；AB7,A D E F BC5,DG3；求 DE的长；G B C 名师归纳总结 - - - - - - -
29、第 14 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载5. 如图,正方形 ABCD与长方形 AEFG重叠放在一起, 已知 AB=4厘米,BE=3厘米,AE=5厘米；请你运算出长方形AEFG的面积；A 6. 如图,三角形ABC的面积是144 平方厘米, BD 18 厘米, DC6 厘米, AE10 厘米, EC5 厘米；求三角形ADE的面积；E B D C 奥赛训练名师归纳总结 1. 如右图,把四边形ABCD改成一个等积的三角形；第 15 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第十四讲
30、 用等量代换求面积学问提要一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或削减）同一个数,它们的差不变；前者是等量公理, 后者是减法的差不变性质；这两个性质在解几何题时有很重要的作用,它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积,或将两个图形的面积差转化为另两个 图形的面积差,从而使隐藏的关系明朗化,找到解题思路；经典例题 例 1 两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重 叠在一起,求阴影部分的面积；分析与解：阴影部分是一个高为 3 厘米的直角梯形,然而它的上底与下底都不知道,因而不能直接求出它的面积；由于三角形ABC与三角形 DEF完全相同,都减去三角形 DOC后,依据差不变性质,
31、差应相等, 即阴影部分与直角梯形 OEFC面积相等,所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形 OEFC的面积；直角梯形 OEFC的下底和高已知 ,所以求出上底即可；上底 OC：10-3=7 （厘米）,面积：（7+10） 2 2=17（平方厘米）；答：阴影部分的面积是 17 平方厘米；例 2 在右图中, 平行四边形 ABCD的边 BC长 10 厘米, 直角三角形 ECB的直角边 EC长 8 厘米；已知阴影部分的总面积比三角形 EFG的面积大 10 厘米 2,求平行四边形 ABCD的面积；分析与解：由于阴影部分比三角形 EFG的面积大 10 厘米 2,都加上梯形 FGCB后,依据差不变性质,所得的两
32、个新图形的面积差不变,即平行四边行 ABCD比直角三角形 ECB的面积大 10 厘米 2,所以平行四边形 ABCD的面积等于：10 8 2+10=50（平方厘米）；答： 平行四边形 ABCD的面积是 50 平方厘米；例 3 在下图中, AB=8厘米, CD=4厘米, BC=6厘米,三角形 AFB比三角形 EFD的面积大 18 厘米 2；求 ED的长；分析与解：名师归纳总结 求 ED的长,需求出EC的长；求 EC的长,需求出直角三角形ECB的面积；由于三角形第 16 页,共 25 页AFB比三角形 EFD的面积大 18 厘米2,这两个三角形都加上四边形FDCB后,其差不变,所以梯形 ABCD比三
33、角形 ECB的面积大 18 厘米2；也就是说, 只要求出梯形ABCD的面积, 就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长,从而求出ED的长；梯形 ABCD面积：（ 8+4） 6 2=36（厘米2） 三角形 ECB面积： 36-18=18 （厘米2）EC：18 2 6=6（厘米） ED：6-4=2 （厘米）答： ED长 2 厘米；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 4 如下图, ABCD是 7 4 的长方形, DEFG是 10 2 的长方形,求三角形 BCO与三角形 EFO的面积之差；分析与解：直接求出三角形 BCO与三角形 EFO的面
34、积之差,不太简洁做到；假如利用差不变性质,将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差,而这两个图形的面积之差简洁求出,那么问题就解决了；方法 1：连结 B, E（见下左图）；三角形 BCO与三角形 EFO都加上三角形 BEO,就原来的问题转化为求三角形 BEC与三角形 BEF的面积之差；S BEC： 4 （ 107） 2=6 S BEF： 2 （ 107） 2=3 差： 6 3=3 图 4 图 1 图 2 图 3 方法 2：连结 C,F（见上右图）；三角形 BCO与三角形 EFO都加上三角形 CFO,就原先的问题转化为求三角形 BCF与三角形 ECF的面积之差；S BCF： 4 （ 107）
35、2=6 S ECF： 2 （ 107） 2=3 差： 63=3 方法 3：延长 BC交 GF于 H（见左下图）；三角形 BCO与三角形 EFO都加上梯形 COFH,就原先的问题转化为求三角形BHF与矩形 CEFH的面积之差；S BHF：（ 4+2） （ 107） 2=9 矩形： 2 （ 10 7）=6 差： 96=3 方法 4：延长 AB,FE交于 H（见上右图）；三角形 BCO与三角形 EFO都加上梯形 BHEO,就原先的问题转化为求矩形 BHEC与直角三角形 BHF的面积之差；矩形： 4 （ 10 7）=12 S BHF：（ 107） （ 4+2） 2=9 差： 129=3 例 6 左下图
36、是由大、 小两个正方形组成的,小正方形的边长是 4 厘米,求三角形ABC的面积；分析与解：这道题好像缺少大正方形的边长这个条件,实际上此题的结果与大正方形的边长没关系；连结AD（见上右图）,可以看出,三角形 ABD与三角形 ACD的底都等于小正方形的边长,高都等于大正方形的边长,所以面积相等；由于三角形 AFD是三角形 ABD与三角形 ACD的公共部分, 所以去掉这个公共部分,依据差不变性质,剩下的两个部分,即三角形ABF与三角形 FCD面积仍旧相等；依据等量代换,名师归纳总结 求三角形 ABC的面积等于求三角形BCD的面积；ABC的面积是 8 平方厘米；第 17 页,共 25 页4 4 2=
37、8（厘米2）答：三角形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载基本训练 1. 如右图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起,求阴影部分的面积；2. 在右图的三角形中,D, E分别是所在边的中点,求四边形ADFE的面积；3. 图中,矩形ABCD的边 AB为 4 厘米, BC为 6 厘米,三角形 ABF比三角形 EDF的面积大 9厘米2,求 ED的长；ABE比三角形 CDE的面积大 2 厘米2,求 CD的长；4. 如图中, CA=AB=4厘米,三角形5. 如图,平行四边形ABCD的面积是 120 平方厘米, BE3AE,BF2DF；求三角
38、形DEF的面积；D C F 名师归纳总结 A E B 第 18 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载拓展提高1. 如图, ABCD是梯形,对角线AC和 BD相交于 O,三角形 ABD的面积是 12 平方厘米,三角形 ADB的面积比三角形COD的面积少 15 平方厘米；求梯形ABCD的面积；2. 如图,四边形ABCD是边长 12 厘米的正方形,E、F 分别A O B D C 是 BC和 CD的中点, DE和 BF相交于 O；求四边形ABOD的面积；A O D F B E C 奥赛训练1. 如图,ABC中, AD：DB=2：
39、1,BE：EC=3：1,CF：FA=4：1,那么DEF是 ABC的面积的几分之几？AFD名师归纳总结 BEC第 19 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第十五讲 用长方形图巧解题学问提要 用长方形图来表示数量关系,可以使抽象的数量更加形象、详细,可以帮忙我们分析 解答应用题,这一讲我们就来学习画长方形图解应用题的方法；经典例题 1、用长方形图巧运算 例 1 运算： 1999 2105-1993 2108 分析与解：运算时假如硬算就会感到比较复杂,但假如我们把它放在一个长方形图中,就会使计 算简便；从图中可知：两个长方形的面积差就等于两个涂色部分的小长方形面积的差；所以： 1999 2105-1993 2108 =（1999-1993 ） 2105- （2108-2105 ） 1993 =6 2105-3 1993 =12630-5979 =6651例 2 运算：111111112481632641024分析与解：2名师归纳总结 1运算时可引用正方形图来分析：1=1-1=1023111第 20 页,共 25 页111118248163264102410241024416- - - - - - -