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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思扫描函数开放性试题2000 年 3 月 13 日,训练部发布的关于2000 年中学毕业、升学考试改革的指导看法中第一次提出, 在中学毕业、 升学考试的数学试卷中“ 应设计肯定的结合现实情境的问题和 开放性问题”,从今数学开放性问题成为了中考数学考试的重要内容；有关函数的开放性试题是中考开放性问题中的一道亮丽的风景线；这些新奇特殊的试题 勉励同学探究、 创新,对引导中学数学教学重视创新精神和实际才能的培育起到了很好的导 要仔细审题,学会运用恰当的策略,并留意分类讨 向作用；在解有关函数的开放性试题时,论等数学
2、方法下面以近年全国各地中考数学试题为例说明；一、条件开放题；1利用函数性质查找条件；例 1已知一次函数y=kx2,请你补充一个条件：,使 y 随 x 的增大而减小（20XX 年黑龙江省中考试题）分析：依据一次函数的性质：当 k0 时 y 随 x 的增大而增大；当 k0 时 y 随 x 的增大 而减小此题由于“y 随 x 的增大而减小”,因此 k0k 2 等等解： k 为任意负数均可,例如 说明：这是一道条件开放度极高的试题,类似的问题仍有“ 已知一次函数 y=kx2,请 你补充一个条件,使函数图象经过第一、三、四象限” 等,解决这一问题的关键是要通过一 次函数图象的性质推导出 k 的取值范畴2
3、利用函数解析式查找条件；例 2阅读下面文字后,解答问题有这样一道题目：“已知：二次函数图象经过点A（0,a）,B1, 2 ,求证这个二次函数图象对称轴是直线x=2”题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字请你依据已有的信息,在原题中的横线上,填加一个适当的条件,把原题补充完 整 20XX 年山东省青岛市中考试题 分析：由于“ 二次函数 y=ax 2bxc 图象经过点 A（0,a）,B1, 2” ,那么 A、B 两点的坐标满意这个关系式,再考虑“这个二次函数图象对称轴是直线 x=2” ,可求得该二次 函数关系式,然后反过来依据函数关系式补充条件解：已知二次函数的解析式是 yax2bx c
4、依据题意,得2ac ,.c ,abb22a解得 a=1,b= 4,c=1可得该二次函数关系式为yx24x1依据这个函数关系式可得：补充的条件为（等均可1,6）或（ 2, 3）或 c=1 或 b =4 等说明：这也是一道条件开放性试题,但求此题的解题策略是先求出二次函数函数关系式,然后依据所求出的函数关系式补充条件二、结论开放题；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1利用函数性质写出函数关系式；例 3某一次函数的图象经过点（1, 2）,且函数y 的值随自变量的增大而减小,请写出一个满
5、意上述条件的函数关系式：题）分析： 我们可初步考虑比较熟识的一次函数、（20XX 年黑龙江省中考试二次函数、 反比例函数, 但由于二次函数和反比例函数在整个自变量的取值范畴内不满意已知条件“y 随着 x 的增大而减小”于是可设函数关系式是 ykxb,那么点（ 1,2）的坐标应当满意这个函数关系式,可以得到一个关于 k 和 b 的二元一次方程,赋于 k 一个负值,就可以得到相应的一组 k 和 b 值解：依据题意,所求的函数是一次函数,由于函数 k0设一次函数的解析式是 ykxb,y 的值随自变量的增大而减小,可得由于函数图象经过（1,2）,所以 2 kb设 k 1,就 b3得 y x3；设 k
6、2,就 b4得 y 2 x4说明： 在此题中,一次函数关系式中的k 是不确定的,我们只要依据条件给予k 一个负值,就可以确定一个一次函数关系式2利用补充条件写出函数关系式；例 2例 5已知点 A（1,2）和 B（ 2,5）试写出两个二次函数,使他们的图象都 经过 A、B 两点（20XX 年广东省广州市中考试题）分析：假如设二次函数的图象经过另外一个已知点C,那么依据A、B、C 三点可确定这个二次函数的解析式解：设二次函数关系式是yax2bxc（1）假如它的图象经过A（1, 2）,B（ 2, 5）和 C（0, 0）三点,那么依据题意,得2abbc,解得a3 2 1 2, ,54 a2c ,b0c
7、 .c0 .所以二次函数关系式是（2）假如它的图象经过 次函数关系式是 y=x 21y= 3 x 21 x2 2A（1, 2）,B（ 2, 5）和 C（0, 1）三点,那么同理可得二说明：这是一道结论开放性,此题的开放性就表达在由两点坐标不能唯独确定二次函数关系式,在上述解法中,任意确定C 点的坐标,就可以相应得到一个二次函数关系式另外此题解题的策略丰富多样,也是一道策略开放性试题3分类确定函数关系式；例 5已知点 A（1,4）和 B（2,2）两点,试写出满意上述条件的两个不同的函数解析式,并简要说明解答过程（20XX 年山东省青岛市中考试题）分析：由于经过 A、B 两点的函数关系式可以是一次
8、函数、二次函数、反比例函数,因此可以分类求解；名师归纳总结 解：（1）假如经过A、B 两点的函数图象是直线,第 2 页,共 4 页可设函数的解析式是ykxb,就有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思4kb ,解得k2,22 kb .b6.这个函数的解析式为y 2x64,y4（2）由于 A、B 两点横坐标、纵坐标的积相等,都等于因此经过 A、B 两点的函数图象仍可以是双曲线,其解析式为x（3）假如经过A、 B 两点的函数图象是抛物线,设函数的解析式是yax2 b xc依据题意,可得4 a b c , b 3 a 2 ,
9、解得2 4 a 2 b c . c 2 a 6 .设 a1,就 b 5,c8得 yx 25x8; 设 a 1,就 b1, c4得 y x2x 4说明：此题仍可以挑选其他数值代入,答案不唯独练习：1写出图象经过点（1,0）、（0,1）的三个不同的函数解析（20XX 年江苏省淮安市中考试题）2写出一个符合以下条件的二次函数：开口向下；对称轴为 y 轴（20XX 年新疆省生产建设兵团中考试题）3已知直角坐标系内,点P 的纵坐标是横坐标的3 倍,请写出过点P 的一次函数的解析式（至少三个）（20XX 年贵州省贵阳市中考试题）4一次函数 y=kx b 的自变量的取值范畴是3x6,相应函数值的取值范畴是5
10、y 2,就这个函数的解析式为（20XX 年山东省济南市中考试题）5如一次函数的图象过第一、第三、第四象限,就一次函数的解析式为（填一个即可）（20XX 年河南省中考试题）6 写 出 一 个 反 比 例 函 数 , 使 它 的 图 象 经 过 第 二 、 四 象 限 , 它是（20XX 年广西壮族自治区中考试题）7有一个二次函数的图象,三位同学分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形的面积为 3请你写出满意上述全部特点的一个二次函数解析式：（20XX 年北京市东城区中考试题）答案：1此题答案不唯
11、独,例如 2此题答案不唯独,例如 3此题答案不唯独,例如y=x1,y=x 22x+1,y=2x 2+x+1 等等y x 2,y 2x 2x1 ,y x 21,y 2x 21 等等y=x,y=2x, y=3 x 等等；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思4y=1 x 34,或 y=1 x 33.5此题的答案不唯独,例如y2x3,y3x2,y5x1 等等名师归纳总结 6此题的答案不唯独,如y11 ,xy2 等等均满意条件xx 1 ,或 y=1x 28x第 4 页,共 4 页7y=1x28x3 ,或 y=x28x3 ,或 y=1x 28555577771- - - - - - -