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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载定值问题解1、如图,在平面直角坐标系 x Oy 中,矩形 AOCD的顶点 A 的坐标是（ 0,4 ）,现有两动点 P、Q,点 P 从点 O动身沿线段 OC（不包括端点 O,C）以每秒 2 个单位长度的速度,匀速向点 C运动,点 Q从点 C动身沿线段 CD（不包括端点 C,D）以每秒 1 个单位长度的速度匀速向点 D运动 . 点 P,Q同时动身,同时停止,设运动时间为 t 秒,当 t=2 秒时 PQ= 2 5 . （1）求点 D的坐标,并直接写出 t 的取值范畴；（2）连接 AQ并延长交 x 轴于点 E, 把 AE沿 AD翻折交
2、 CD延长线于点如变化,求出 S与 t 的函数关系式；如不变化,求出 S的值 . （3）在（ 2）的条件下, t 为何值时,四边形 APQF是梯形？【答案】 解：（1）由题意可知,当 t=2 （秒）时, OP=4,CQ=2,F, 连接 EF,就 A EF的面积 S是否随 t 的变化而变化？在 Rt PCQ中,由勾股定理得：PC=PQ2CQ22 5222=4,OC=OP+PC=4+4=8；又矩形 AOCD,A（0,4）,D（ 8,4）；t 的取值范畴为：0t 4；（2）结论： AEF 的面积 S 不变化；AOCD是矩形, AD OE, AQD EQC；CE ADCQ,即CE 84tt,解得 CE
3、=8t 4t；DQ由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4t ,就 CF=CD+DF=8t ；S=S 梯形 AOCFS FCE S AOE=1 2（ OA+CF）.OC+1 2CF.CE1 2OA.OE8tt）；=1 2 4 （ 8t ） 8+1 2（ 8t ）.8tt1 2 4 （ 844化简得： S=32 为定值；所以 AEF 的面积 S 不变化, S=32；（3）如四边形APQF是梯形,由于AP与 CF不平行,所以只有PQ AF；由 PQ AF 可得： CPQ DAF；名师归纳总结 CP： AD=CQ：DF,即 8 2t ：8= t ：4t ,化简得 t212t 16=0,第 1 页,共 8
4、 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解得： t 1=6+25 ,t 2=62 5 ；学习必备欢迎下载由（ 1）可知, 0t 4,t1=6+2 5 不符合题意,舍去；2、如下列图,在菱形当 t= 62 5 秒时,四边形APQF是梯形；BCCD上滑动,且E、FABCD中, AB=4,BAD=120 , AEF 为正三角形,点E、F 分别在菱形的边不与 BC D重合（1）证明不论E、F 在 BC CD上如何滑动,总有BE=CF；（2）当点 E、F 在 BCCD上滑动时,分别探讨四边形 变化,求出最大（或最小）值【答案】 解：（1）证明：如图,连接 AC A
5、ECF和 CEF的面积是否发生变化？假如不变,求出这个定值；假如四边形 ABCD为菱形, BAD=120 ,BAE+EAC=60 , FAC+EAC=60 ,BAE=FAC；BAD=120 , ABF=60 ； ABC和 ACD为等边三角形；ACF=60 , AC=AB； ABE=AFC；在 ABE 和 ACF中, BAE=FAC, AB=AC,ABE=AFC, ABE ACF（ ASA）；BE=CF；（2）四边形 AECF的面积不变,CEF 的面积发生变化；理由如下：由（ 1）得 ABE ACF,就 S ABE=S ACF；S 四边形 AECF=S AEC+S ACF=S AEC+S ABE
6、=S ABC,是定值；作 AHBC于 H点,就 BH=2,S 四边形AECFSABC1BC AH1BCAB2BH24 3；边 AE最短22由“ 垂线段最短” 可知：当正三角形AEF的边 AE与 BC垂直时,故 AEF 的面积会随着AE的变化而变化, 且当 AE最短时, 正三角形 AEF的面积会最小,又 S CEF=S 四边形 AECF S AEF,就此时 CEF 的面积就会最大名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - S CEF=S 四边形 AECF S AEF4 31学习必备32欢迎下载23；2 3232 CEF的面积的最
7、大值是3 ；（二） 由运动产生的线段和差问题（最值问题）1、如下列图,已知A 1, y 1,B2, y 为反比例函数 2y1图像上的两点,动】2x点 Px,0 在 x 正半轴上运动,当线段AP与线段 BP之差达到最大时,点P 的坐标是【A. 1,0 B. 1,0 C. 3,0 D. 5,0222【答案】 D；【考点】 反比例函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,三角形三边关系；【分析】 把 A 1, y 1,B2, y 分别代入反比例函数y1得： y1=2,y2=1 2,2xA（1 2,2）,B（2,1 2）；|APBP| AB,在 ABP 中,由三角形的三边关系定理得：延长 A
8、B交 x 轴于 P ,当 P 在 P 点时, PAPB=AB,即此时线段AP与线段 BP之差达到最大；3）将抛物线l 沿 y 轴翻折得抛物线l1设直线 AB的解析式是y=kx+b ,把 A、B 的坐标代入得：2=1k+b,解得：k=51；直线 AB的解析式是yx5；21 =2k+b 2b=22当 y=0 时, x= 5 2,即 P（5 2,0）；应选 D；2、如图,抛物线l 交 x 轴于点 A（ 3,0）、B（1,0）,交 y 轴于点 C（0,（1）求 l 1 的解析式；（2）在 l1 的对称轴上找出点P,使点 P 到点 A的对称点 A1 及 C两点的距离差最大,并说出理由；第 3 页,共 8
9、 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】 解：（1）如图 1,设经翻折后,点学习必备欢迎下载AB 的对应点分别为A1、B1,依题意, 由翻折变换的性质可知A1（3,0）,B1（ 1,0）,C点坐标不变,三点,点 P,就点 P即为所抛物线 l 1经过 A1（3,0）,B1（ 1, 0）,C（ 0, 3）设抛物线 l1的解析式为y=ax2+bx+c,就9a+3b+c=0a=1ab+c=0,解得b=2；c=3c=3抛物线 l 1的解析式为： y=x2 2x 3；（2）抛物线 l 1 的对称轴为： x=b=2=1,2a2如图 2,连接 B1
10、C并延长, 与对称轴 x=1 交于求；此时, |PA1 PC|=|PB 1 PC|=B1C；设 P 为对称轴x=1 上不同于点P 的任意一点,就有：|PA PC|=|P B1 PC| B1C（三角形两边之差小于第三边）,|PA PC| |PA 1 PC|,即 |PA1 PC|最大；D设直线 B1C的解析式为y=kx+b,就y 轴交于点 N其顶点为k+b=0,解得 k=b= 3；直线 B1C的解析式为： y= 3x 3；b=3令 x=1,得 y= 6；P（ 1,6）；3、如图,已知抛物线y= x2+bx+c 与始终线相交于A（ 1,0）,C（2,3）两点,与（1）抛物线及直线 AC的函数关系式；
11、（2）设点 M（3,m）,求使 MN+MD的值最小时 m的值；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）如抛物线的对称轴与直线学习必备欢迎下载E 作 EF BD交抛物线于点F,以 B,D,E,AC相交于点 B,E 为直线 AC上的任意一点,过点为顶点的四边形能否为平行四边形？如能,求点E 的坐标；如不能,请说明理由；（4）如 P 是抛物线上位于直线 AC上方的一个动点,求APC 的面积的最大值【答案】 解：（1）由抛物线 y= x 2+bx+c 过点 A（ 1,0）及 C（2,3）得,1 b+c=0,解得 b=2；抛物
12、线的函数关系式为 y x 22x 3；4+2b+c=3 c=3设直线 AC的函数关系式为 y=kx+n,由直线 AC过点 A（ 1,0）及 C（ 2,3）得k+n=0 k=1,解得；2k+n=3 n=1直线 AC的函数关系式为 y=x+1；（2）作 N点关于直线 x=3 的对称点 N ,令 x=0,得 y=3,即 N（ 0,3）；N （ 6, 3）由yx22x3=x12+4 得D（1,4）；设直线 DN 的函数关系式为y=sx+t ,就21；6s+t=3,解得s=1；5s+t=4t=21y1x5故直线 DN 的函数关系式为55依据轴对称的性质和三角形三边关系,知当m1321=18；555使 M
13、N+MD的值最小时m的值为18 5M（ 3,m）在直线 DN 上时, MN+MD的值最小,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3）由（ 1）、（2）得 D（1, 4）,B（ 1,2）,当 BD为平行四边形对角线时,由B、C、D、N的坐标知,四边形BCDN是平行四边形,此时,点E 与点 C重合,即 E（2,3）；当 BD为平行四边形边时,点 E在直线 AC上,设 E（x,x+1）,就 F（x,x22x3）；又BD=2如四边形BDEF或 BDFE是平行四边形时,BD=EF；217,3217；x22x3x
14、1 =2,即x2x2 =2 ；如x2x2=2 ,解得, x=0 或 x=1（舍去）, E（0, 1）；如x2x2=2 ,解得,x=1217,E1+ 17,3+ 172或 E12综上,满意条件的点E 为（ 2,3）、（0,1）、1+ 17 3+ 17,22、1217,3217；（4）如图,过点P 作 PQx 轴交 AC于点 Q；过点 C作 CGx 轴于点 G,设 Q（x, x+1）,就 P（x, x2+2x+3）；PQ（x22x3）（x1）x2x2；SAPCSAPQ+SCPQ1PQ AG21（2x2x2）33（x21）2227；830,2当x=1时, APC的面积取得最大值,最大值为27；284
15、、如图,已知抛物线yax2bxc经过 A（4,0）,B（2,3）,C（0,3）三点（1）求抛物线的解析式及对称轴（2）在抛物线的对称轴上找一点M,使得 MA+MB的值最小,并求出点M的坐标P 的坐标；（3）在抛物线上是否存在一点P,使得以点A、B、C、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形？如存在,恳求出点如不存在,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】 解：（1）抛物线yax2bx学习必备欢迎下载c经过 A（ 4,0）, B（2,3）,C（0,3）三点,xb1 16a4bc0,解得a33；3 x3, 其
16、对 称 轴 为 ：84a2bc3b4 c3c3 抛 物 线 的 解 析 式 为 ：y3 x284；x=1,可知点B、C 是关于对2a（2）由 B（ 2,3）, C（0,3）,且对称轴为称轴 x=1 的对称点；如图 1 所示,连接AC,交对称轴x=1 于点 M,连接 MB,就 MAMB=MAMC=AC,依据两点之间线段最短可知此时 MA MB的值最小；设直线 AC的解析式为y=kxb,解得k33；A（ 4,0）, C（0,3）, 4kb04 b3b直线 AC的解析式为： y=3x 3；）；4令 x=1,得 y=9 4；M 点坐标为（ 1,9 4（3）结论：存在；如图 2 所示,在抛物线上有两个点
17、 P满意题意：如 BC AP1,此时梯形为 ABCP 1；由 B（2,3）,C（0,3）,可知 BC x 轴,就 x 轴与抛物 线的另一个交点 P1即为所求；在y3 x23 x3中令 y=0,解得 x1=-2 ,x2=4；84P 1（ 2,0）；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载P1A=6,BC=2,P1A BC；四边形 ABCP 1 为梯形；如 AB CP2,此时梯形为 ABCP 2；设 CP2与 x 轴交于点 N,BC x 轴,AB CP2,四边形ABCN为平行四边形； AN=BC=2；N（2,
18、0）；P 的坐标为设直线 CN的解析式为y=k1x+b1,就有：2k1b10,解得k33；2b13 b直线 CN的解析式为： y=3x+3；2点 P2 既在直线 CN：y=3x+3 上,又在抛物线：y3 x23 x3上,2843x+3=3 x23 x3,化简得： x2 6x=0,解得 x1=0（舍去）,x2=6；284点 P2 横坐标为 6,代入直线CN解析式求得纵坐标为6；P2（6, 6）；ABCN,AB=CN,而 CP2 CN,CP2 AB；四边形ABCP2为梯形；综上所述,在抛物线上存在点P,使得以点A、B、C、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形,点（ 2, 0）或（ 6, 6）；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页