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1、上海市崇明区2018 届高三二模数学试卷2018.04 一. 填空题（本大题共12 题，1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 已知集合 1,0,1,2,3U，1,0,2A，则UC A2. 已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是111012，则xy3. i是虚数单位，若复数(12 )()iai是纯虚数，则实数a的值为4. 若2log1042x，则x5. 我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为石（精确到小数点后一位数字）6. 已知圆锥的母线长
2、为5，侧面积为15，则此圆锥的体积为（结果保留）7. 若二项式7(2)axx的展开式中一次项的系数是70，则23lim()nnaaaa8. 已知椭圆2221xya（0a）的焦点1F、2F，抛物线22yx的焦点为F，若123F FFF，则a9. 设( )f x是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，当0,1x时，2( )log (1)f xx，则函数( )f x在1,2上的解析式是10. 某办公楼前有7 个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的概率是11. 已知, x yR，且满足34 3300 xyxyy，若存在R 使得cossin10 xy成立，则点( , )
3、P x y构成的区域面积为12. 在平面四边形ABCD中，已知1AB，4BC，2CD，3DA，则AC BD的值为二. 选择题（本大题共4 题，每题 5 分，共 20 分）13. “1x”是“21x”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14. 若12i是关于x的实系数方程20 xbxc的一个复数根，则（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - A. 2b，3cB. 2b
4、，1cC. 2b，3cD. 2b，1c15. 将函数sin(2)3yx图像上的点(, )4Pt向左平移s（0s）个单位长度得到点P，若P位于函数sin2yx的图像上，则（）A. 12t，s的最小值为6B. 32t，s的最小值为6C. 12t，s的最小值为3D. 32t，s的最小值为316. 在平面直角坐标系中，定义1212( ,)max|,|d A Bxxyy为两点11(,)A x y、22(,)B xy的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q，称( ,)d P Q的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作( , )d P l，给出下列三个命题： 对任意三点A、B、C，都有( ,)(
5、,)( ,)d C Ad C Bd A B； 已知点(3,1)P和直线:210lxy，则4( , )3d P l； 定点1(,0)Fc、2( ,0)Fc，动点( , )P x y满足12| (,)(,) | 2d P Fd P Fa（220ca），则点P的轨迹与直线yk（k为常数）有且仅有2 个公共点；其中真命题的个数是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三. 解答题（本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，BCAD，ABBC，45ADC，PA平面ABCD，1ABAP，3AD. （1）求异面直线PB与CD所
6、成角的大小；（2）求点D到平面PBC的距离 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 18. 已知点1F、2F依次为双曲线2222:1xyCab（,0a b）的左右焦点，12| 6F F，1(0,)Bb，2(0, )Bb. （1）若5a，以(3, 4)d为方向向量的直线l经过1B，求2F到l的距离；（2）若双曲线C上存在点P，使得122PBPB，求实数b的取值范围 . 19. 如图，某公园有三条观光大道AB、BC、AC
7、围成直角三角形，其中直角边200BCm，斜边400ABm，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB、BC、AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D、E、F. （1）若甲乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2 分钟出发，当乙出发1 分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；（2）设CEF，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2 倍，且3DEF，请将甲乙之间的距离y表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共
8、 8 页 - - - - - - - - - 20. 已知函数2( )21xxaf x，xR. （1）证明：当1a时，函数( )yf x是减函数；（2）根据a的不同取值，讨论函数( )yf x的奇偶性，并说明理由；（3）当2a，且bc时，证明：对任意( ),( )df cf b，存在唯一的0 xR，使得0()f xd，且0 , xb c. 21. 设数列na的前n项和为nS，若1122nnaa（*nN），则称na是“紧密数列”. （1）已知数列na是“紧密数列”，其前5 项依次为3 9811, , ,2 416x，求x的取值范围；（2）若数列na的前n项和为21(3 )4nSnn（*nN），判
9、断na是否是“紧密数列”，并说明理由；（3）设na是公比为q的等比数列，若na与nS都是“紧密数列”，求q的取值范围 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 参考答案一 . 填空题1. 1,32. 5 3. 24. 4 5. 169.1 6. 127. 138. 29. 2( )log (3)f xx10. 4711. 4 3612. 10二. 选择题13. A 14. C 15. A 16. D 三. 解答题17.
10、（1）建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,1)P,(1,0,0)B,(1,2,0)C,(0,3,0)D所以(1,0, 1)PB，( 1,1,0)CD3 分设异面直线PB与 CD 所成角为则|1cos2| |PB CDPBCD6 分所以异面直线PB与 CD 所成角大小为37 分（2）设平面PBC的一个法向量为( , ,)nu v w则00PB nBC n2 分所以020uwv取1uw，得(1,0,1)n4 分所以点D到平面 PBC 的距离|22|n CDdn7 分18.（1）由题意知：3c,2(3,0)F,222bca2 分所以直线l的方程为：232xy，即2360 xy4 分所以2F到 l
11、 的距离22|434 06|18543d6 分（2）设( ,)P x y, 则1( ,)PBx yb，2( ,)PBx ybA B C D P 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 所以222122PB PBxyb22221xyab，22222b xyba3 分2222(1)22bxba，即222222cxba因为|xa，3,c所以2222229cbxa5 分所以222b，又3bc7 分，故 实数 b 的取值范围是22
12、,3)28分19.（1）依题意得300BD，100BE，在 ABC 中，1cos2BCBAB，3B，2 分在BDE中，由余弦定理得：2222212cos3001002 300 100700002DEBDBEBD BEB，100 7DE. 5 分所以甲乙两人之间的距离为100 7 m. 6 分（2）由题意得22EFDEy，BDECEF，在直角三角形CEF 中，cos2 cosCEEFCEFy，1 分在BDE中，由正弦定理得sinsinBEDEBDEDBE，即2002 cossinsin 60yy，100 350 33cossinsin()3y，02，5 分所以当6时，y有最小值 503 . 7
13、分所以甲乙之间的最小距离为50 3 m . 8分20.（1）证明：任取12,x xR，设12xx，则211212(1)(22 )()()(21)(21)xxxxaf xf x12xx，所以2122xx，又1a，12()()0f xf x，即12()()f xf x3 分所以当1a时，函数( )yf x是减函数4 分（2）当1a时，( )1f x，所以()( )fxf x，所以函数( )yfx是偶函数1 分当1a时，2121xxfx，2112()( )2121xxxxfxf x所以函数( )yfx是奇函数3 分当1a且1a时，2(1)3af，21( 1)3af名师资料总结 - - -精品资料欢迎
14、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 因为( 1)(1)ff且( 1)(1)ff所以函数( )yfx是非奇非偶函数5 分（3）证明：由（ 1）知，当2a时函数( )yf x是减函数，所以函数( )yfx在 , b c上的值域为( ),( )f cf b，因为( ),( )df cf b，所以存在0 xR，使得0()f xd. 2 分假设存在110,xR xx使得1()f xd，若10 xx，则10()()f xf x，若10 xx，则10()()f xf
15、 x，与10()()f xf xd矛盾，故0 x是唯一的5 分假设0 , xb c，即0 xb或0 xc，则0()( )f xf b或0()( )f xf c所以( ),( )df cf b，与( ),( )df cf b矛盾，故0 , xb c7 分21.（1）由题意得：8111162,29224xx， 所以8181328x3 分（2）由数列na的前n项和2134nSnnnN，得11,1,2nnnSnaSSn1,111,222nnn1122nnN3 分所以，111121221111122nnnanannn4 分因为对任意nN，11012n，即131112n，所以，1122nnaa，即na是“
16、 紧密数列 ” 6 分（3）由数列na是公比为q的等比数列，得1nnaqa，因为na是“紧密数列”，所以122q1 分 当1q时，1111,1nnnSnSnaSnn，因为11122n，所以1q时，数列nS为“紧密数列”，故1q满足题意2 分 当1q时，111nnaqSq，则1111nnnnSqSq，因为数列nS为“紧密数列”，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 所以111221nnqq，对任意nN恒成立（）当112q
17、时，11112 12nnnqqq，即21121nnqqqq，对任意nN恒成立因为01nqq，0211q，3212q，所以211nqqq，133221224nqqq q，所以，当112q时，21121nnqqqq，对任意nN恒成立5 分（）当12q时，1111212nnnqqq,即21121nnqqqq，对任意nN恒成立因为1,211, 120nqqqq所以21121qqq q，解得1q，又12q，此时q不存在8分综上所述，q的取值范围是1,129 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -