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1、上海市崇明区2018届高三二模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合，则2. 已知一个关于、的二元一次方程组的增广矩阵是，则3. 是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为4. 若，则5. 我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为石（精确到小数点后一位数字）6. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为，则此圆锥的体积为（结果保留）7. 若二项式的展开式中一次项的系数是，则8. 已知椭圆（）的焦点、，抛物线的焦点为，若，则9. 设是定义在R
2、上以2为周期的偶函数，当时，则函数在上的解析式是10. 某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的概率是11. 已知R，且满足，若存在R使得成立，则点构成的区域面积为12. 在平面四边形中，已知，则的值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，15. 将函数图像上的点向左平移（）个单位长度得到点，若位于函数的图像上，则（ ）A. ，的最小值为B. ，的最
3、小值为C. ，的最小值为D. ，的最小值为16. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：对任意三点、，都有；已知点和直线，则；定点、，动点满足（），则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；其中真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面，.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求点到平面的距离.18. 已知点、依次为双曲线（）的左右焦点，.（1）若，以为方向向量的直线经过
4、，求到的距离；（2）若双曲线上存在点，使得，求实数的取值范围.19. 如图，某公园有三条观光大道、围成直角三角形，其中直角边，斜边，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在、大道上嬉戏，所在位置分别记为点、.（1）若甲乙都以每分钟100的速度从点出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；（2）设，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离.20. 已知函数，R.（1）证明：当时，函数是减函数；（2） 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；（3）当，且时，证明：对任意，存在唯一的
5、R，使得，且.21. 设数列的前项和为，若（），则称是“紧密数列”.（1）已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为，求的取值范围；（2）若数列的前项和为（），判断是否是“紧密数列”，并说明理由；（3）设是公比为的等比数列，若与都是“紧密数列”，求的取值范围.参考答案一 . 填空题1. 2. 5 3. 4. 4 5. 169.1 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 10二. 选择题13. A 14. C 15. A 16. DABCDP三. 解答题17.（1）建立如图所示空间直角坐标系，则,所以，3分设异面直线与所成角为则 6分所以异面直线与所成角大小为 7分（2） 设平面的一个法向量
6、为则2分所以取，得4分所以点到平面的距离 7分18.（1）由题意知：, 2分所以直线的方程为：，即 4分所以到l的距离6分（2）设,则，所以，3分，即因为，所以5分所以，又7分，故实数b的取值范围是8分19.（1）依题意得，在中， 2分在中，由余弦定理得：，. 5分所以甲乙两人之间的距离为m. 6分（2）由题意得，在直角三角形中， 1分在中，由正弦定理得，即， ， 5分所以当时，有最小值. 7分所以甲乙之间的最小距离为. 8分20.（1）证明：任取，设，则，所以，又，即3分所以当时，函数是减函数 4分（2） 当时，所以，所以函数是偶函数1分当时，所以函数是奇函数 3分当且时，因为且所以函数是非
7、奇非偶函数 5分（3） 证明：由（1）知，当时函数是减函数，所以函数在上的值域为，因为，所以存在，使得. 2分假设存在使得，若，则，若，则，与矛盾，故是唯一的 5分假设，即或，则或所以，与矛盾，故7分21.（1）由题意得：， 所以3分（2）由数列的前项和，得 3分所以， 4分因为对任意，即，所以，即是“紧密数列” 6分（3）由数列是公比为的等比数列，得，因为是“紧密数列”，所以 1分当时，因为，所以时，数列为“紧密数列”，故满足题意 2分当时，则，因为数列为“紧密数列”，所以，对任意恒成立（）当时，即，对任意恒成立因为，所以，所以，当时，对任意恒成立 5分（）当时，,即，对任意恒成立因为所以，解得，又，此时不存在 8分综上所述，的取值范围是 9分