2022年二次函数知识点总结及典型例题和练习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数学问点总结及典型例题和练习（极好）学问点一：二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地,假如yax2bxca,b,c是常数,a0,特殊留意 a 不为零 ,那么 y 叫做 x 的二次函数；yax2bxc a ,b ,c 是常数,a0 叫做二次函数的一般式；2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于xb对称的曲线,这条曲线叫抛物线；2a抛物线的主要特点：有开口方向；有对称轴；有顶点；3、二次函数图像的画法 - 五点作图法 ：（1）先依据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点 M,并用虚线画出对称轴（2）求抛

2、物线yax2bxc与坐标轴的交点：当抛物线与 x 轴有两个交点时,描出这两个交点 的对称点 D；将这五个点按从左到右的次序连接起来,A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C,再找到点 C 并向上或向下延长,就得到二次函数的图像；当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时, 描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D；由 C、M、D 三点可粗略 地画出二次函数的草图； 假如需要画出比较精确的图像, 可再描出一对对称点 A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像；【例 1】 已知函数 y=x 2-2x-3,（1）写出函数图象的顶点、 图象与坐标轴的交点, 以及图象与 点；然后画出函数图象的草图；（2

3、）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：y 轴的交点关于图象对称轴的对称名师归纳总结 （3）依据第（ 1）题的图象草图,说出 x 取哪些值时,y=0； y0 第 1 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学问点二：二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：ax2（1）一般式：yax2bxc a,b ,c 是常数,a0 （2） 交点式：当抛物线yax2bxc与 x 轴有交点时,即对应的一元二次方程ax2bxc0有 实 根1x和x2存 在 时 , 根 据 二 次 三 项 式 的 分 解 因 式bxcaxx 1xx2,二次函

4、数yax2bxc可转化为两根式yaxx 1xx2；如果没有交点,就不能这样表示；（3）顶点式：yaxh2ka,h,k是常数,a0当题目中告知我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁；【例 1】 抛物线yax2bxc与 x 轴交于 A（1,0）,B（3,0）两点,且过（ -1,16）,求抛物线的解析式；【例 2】 如图,抛物线yax2bxc与 x 轴的一个交点 A 在点（ -2,0）和（-1,0）之间（包括这两点）,顶点 C 是矩形 DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点,就：（1）abc 0 （或或 =）（2）a 的取值范畴是【例 3】 以下二次函数中,图象以直线x = 2 为对称轴

5、,且经过点 0,1的是 名师归纳总结 Ay = x - 2 2 + 1 By = x + 2 2 + 1 第 2 页,共 14 页Cy = x - 22 - 3 Dy = x + 2 2 3 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学问点三：二次函数的最值假如自变量的取值范畴是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值 （或最小值）,即当xb时,2ay最值4 acab2；x 2内,4假如自变量的取值范畴是x 1xx 2,那么,第一要看b是否在自变量取值范畴x 1x2a如在此范畴内,就当x=b时,y最值4 acab2；如不在此范畴内,就需要考虑函数

6、在x 1xx242a范畴内的增减性,假如在此范畴内,y 随 x 的增大而增大,就当xx2时,y最大ax2bx2c,当2xx 1时 ,y最小2 ax 1bx 1c； 如 果 在 此 范 围 内 , y 随 x 的 增 大 而 减 小 , 就 当x1x时 ,y最大2 ax 1bx 1c,当xx 2时,y最小ax2bx2c；1 2 3 x2【例 1】 已知二次函数的图像（ 0x3）如下列图 ,关于该函数在所给自变量取值范畴内y 3 , 以下说法正确选项 A有最小值 0,有最大值 3 B有最小值 1,有最大值 0 - 1 OC有最小值 1,有最大值 3 D有最小值 1,无最大值【例 2】 某宾馆有 5

7、0 个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天 l80 元时,房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加10 元时,就会有一个房间闲暇宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用依据规定,每个房间每天的房价不得高于 340 元设每个房间的房价每天增加 x 元x 为 10 的正整数倍 （1）设一天订住的房间数为 y,直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范畴；（2）设宾馆一天的利润为 w 元,求 w 与 x 的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大. 最大利润是多少元 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - -

8、- - - - - - - 学习必备 欢迎下载学问点四、二次函数的性质1、二次函数的性质函a0 yax2bx二次函数a0a0 时,抛物线开口向上a 0 时,图像与 x 轴有两个交点；当 =0 时,图像与 x 轴有一个交点；当 0 时 y 值随 x 值增大而减小的是（）2 Ay = xBy = xC y = 3 4 xDy = 1 x【例 6】如二次函数yxm21当xl时, 随x的增大而减小,就m的取值范畴是（Am=l Bml Cml Dml第 5 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学问点五、二次函数图象的平移 对于抛物

9、线 y=ax 2+bx+c 的平移通常先将一般式转化成顶点式ya xh2k ,再遵循 左加右减 ,上加下减 的的原就在化为顶点式有两种方法：配方法,顶点坐标公式法；在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后,写顶点式时,要减去顶点的横坐标,加上顶点的纵坐标；yyax2bxc沿 y 轴平移：向上（下）平移m （m0）个单位,yax2bxc变成ax2bxcm（或yax2bxcm） 当然,对于抛物线的一般式平移时,也可以不把它化为顶点式y ax 2bx c：向左（右）平移 m （m0）个单位,y ax 2 bx c 变成y a x m 2b x m c（或 y a x m 2 b x m c）2【例 1】 将

10、抛物线 y x 向左平移 2 个单位后,得到的抛物线的解析式是 2 2 2 2Ay x 2 By x 2 Cy x 2 Dy x 2【例 2】 将抛物线 y=x 22x 向上平移 3 个单位 ,再向右平移 4 个单位等到的抛物线是 _. 【例 3】 抛物线 y x 2 可以由抛物线 y x 2 23 平移得到 ,就以下平移过程正确选项 A.先向左平移 2 个单位 ,再向上平移 3 个单位B.先向左平移 2 个单位 ,再向下平移 3 个单位C.先向右平移 2 个单位 ,再向下平移 3 个单位D.先向右平移 2 个单位 ,再向上平移 3 个单位【补】抛物线 y=2x 2-3x-7 在 x 轴上截得

11、的线段的长度为 _ 【公式】抛物线 y=ax 2+bx+c 在 x 轴上截得的线段的长度为 _ 学问点六：抛物线 y ax 2 bx c 中, a、b、c 的作用名师归纳总结 - - - - - - -（1） a 打算开口方向及开口大小,这与yax2中的 a 完全一样 . （2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线xb,2a故：b0时,对称轴为 y 轴；b0（即a、b 同号）时,对称轴在y 轴左侧；b0（即aaa 、 b 异号）时,对称轴在y 轴右侧 .口诀-左同,右异（a、b 同号,对称轴在 y 轴左侧）第 6 页,共 14 页精选学习资料 - -

12、 - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3） c 的大小打算抛物线 y ax 2bx c 与 y 轴交点的位置 . 当 x 0 时,y c,抛物线 y ax 2bx c 与 y 轴有且只有一个交点（ 0, c ）： c 0,抛物线经过原点 ; c 0 ,与 y 轴交于正半轴； c 0 ,与 y 轴交于负半轴 . 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立 .如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,就 b0 . a【例 1】 如图为抛物线 y ax 2bx c 的图像,A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点, 且 OA=OC=1,就以下关系中正确选项 Aab=1 Bab=1 Cb2a Dac0 Bb0

13、 Cc0 Dabc0 【例 3】 如下列图的二次函数 y ax 2bx c 的图象中,刘星同学观看得出了下面四条信息：（1）2b 4 ac 0；（2）c1；（3）2ab0；（4）a+b+c0；你认为其中错误的有 A2 个B3 个 C4 个 D1 个【例 4】 如图,二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交, 其顶点坐标为 1 ,1,以下结论：2ac0；a+b=0；4acb 2=4a；a+b+c0.其中正确的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【例 5】 如图,是二次函数 yax 2bxc（a 0）的图象的一部分, 给出以下命题：a+b+c=0；b2a；ax 2

14、+bx+c=0 的两根分别为 -3 和 1；a-2b+c0其中正确的命题是（只要求填写正确命题的序号）名师归纳总结 【例 6】 如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,就以下关系正确选项（）Amn,khBmn ,k h 第 7 页,共 14 页Cmn,khDmn,k h- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学问点七：中考二次函数压轴题中常用到的公式1、两点间距离公式：如图：点A 坐标为（ x1,y1）,点 B 坐标为（ x 2,y2）,就 AB 间的距离,即2xy 1线段 AB 的长度为x 1x 22y 1y22（这实际上是依据

15、 勾股定理 得出yB y 2来的）y PA P y1y2、中点坐标公式：如图,在平面直角坐标系中,A、 两点的坐标分别为A x 1,y 1,O x 1x 2xpx 12xB x2,y2,AB中点P的坐标为xp,yp由xpx 1x2xp,得xpx 12x 2,同理ypy 12y2,所以AB的中点坐标为x 12x 2,y 12y 23、两平行直线的解析式分别为：y=k1x+b1,y=k2x+b2,那么 k1=k2,也就是说当我们知道一条直线的 k 值,就肯定能知道与它平行的另一条直线的 k 值；4、两垂直直线的解析式分别为：y=k1x+b1,y=k2x+b2,那么 k1k2=-1,也就是说当我们知

16、道一条直线的 k 值,就肯定能知道与它垂直的另一条直线的k 值；（对于这一条,只要能敏捷运用就行,不需要懂得 ）以上四条,我称它们为坐标系中的“四大金刚 ”【例 1】 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y= x 2+2x+3 与 x 轴交于 AB 两点,与 y 轴交于 点 C,点 D 是该抛物线的顶点（1）求直线 AC 的解析式及 BD 两点的坐标；（2）点 P 是 x 轴上一个动点,过 P 作直线 l AC 交抛物线于点 Q,摸索究：随着 P 点的运动,在 抛物线上是否存在点 Q,使以点 AP、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？如存在,请直接写 出符合条件的点 Q 的坐标；如不存在,请说明

17、理由（3）请在直线 AC 上找一点 M,使 BDM 的周长最小,求出 M 点的坐标名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【例 2】 如图,已知抛物线 y= x 2+bx+c 与始终线相交于 A（ 1,0）,C（2,3）两点,与 y 轴交于点 N其顶点为 D（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点 M（3,m）,求使 MN+MD 的值最小时 m 的值；（3）如抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B,E 为直线 AC 上的任意一点,过点 E 作 EF BD交抛物线于点 F,以 B,D,E,F

18、为顶点的四边形能否为平行四边形？如能,求点 E 的坐标；如不能,请说明理由；（4）如 P 是抛物线上位于直线2AC 上方的一个动点,求APC 的面积的最大值【例 3】 如图,抛物线y1x3x4与 x 轴交于 A,B 两点（点 B 在点 A 的右边）,与 y 轴交42于 C,连接 BC,以 BC 为一边,点 O 为对称中心作菱形BDEC,点 P 是 x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为（ m,0）,过 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q；（1）求点 A、B、C 的坐标；（2）当点 P 在线段 OB 上运动时,直线l 分别交 BD、BC 于点 M、N；摸索究 m 为何值时,四边形 CQMD

19、 是平行四边形,此时,请判定四边形 CQBM 的外形,并说明理由；（3）当点 P 在线段 EB 上运动时,是否存在点 Q 点坐标；如不存在,请说明理由；Q,使 BDQ 为直角三角形,如存在,请直接写出DDEAOBDC名师归纳总结 EACOBEACOB第 9 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【练 习】1、平常我们在跳大绳时,绳甩到最高处的外形可近似地看为抛物线如下列图,正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为 4 m,距地面均为 1m,同学丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、25 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他

20、们的头顶已知同学丙的身高是 15 m,就同学丁的身高为 建立的平面直角坐标系如右图所示 A15 m B1625 m C166 m D167 m 2x 1 1 x32、已知函数 y 2,就使 y=k 成立的 x 值恰好有三个,就 k 的值为（）x 5 1 x3A0 B1 C2 D3 3. 二次函数 y ax 2bx c的图象如下列图,就反比例函数 y a 与一次函数 y bx c 在同一坐标x系中的大致图象是（）. 4. 如图,已知二次函数 y x 2 bx c 的图象经过点 （1,0）,（1,2）,当 y 随 x 的增大而增大时,x 的取值范畴是cyyx2bx1- 1 O1x（ 1,- 2）名

21、师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载25. 在平面直角坐标系中,将抛物线 y x 2 x 3 围着它与 y 轴的交点旋转 180,所得抛物线的解析式是（）Ay x 1 22 By x 1 24Cy x 1 22 Dy x 1 246. 已知二次函数 y ax 2bx c 的图像如图, 其对称轴 x 1,给出以下结果 b 2 4 ac abc 02ab0abc0abc0,就正确的结论是（）2 x 2 1 0 1 A B y 0 4 6 6 4 C D 7抛物线yax2bxc 上部分点的横坐标 x,纵坐

22、标 y 的对应值如上表：从上表可知,以下说法中正确选项（填写序号）c的最大值为 6；y 随 x增大而增大抛物线与 x轴的一个交点为（ 3,0）； 函数y2 axbx抛物线的对称轴是x1；在对称轴左侧,28. 如图,在平面直角坐标系中,垂足为 B,连结 OAO 是坐标原点,点 A 的坐标是（ 2,4）,过点 A 作 ABy 轴,1求 OAB 的面积； 2如抛物线y2 x2xc 经过点 AOAB 的内部（不求 c 的值；将抛物线向下平移m 个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在包括 OAB 的边界）,求 m 的取值范畴（直接写出答案即可） 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 1

23、4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9、“已知函数y1x2bxc学习必备欢迎下载） ,这个二次函数图象的的图象经过点 A（c,2）,2对称轴是 x=3；”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字；依据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式？如能,请写出求解过程,并画出二次函数图象；如不能,请说明理由；10、如下列图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 是直角梯形, BC AD,BAD= 90 ,BC 与y 轴相交于点 M,且 M 是 BC 的中点, A、B、D 三点的坐标分别是 A（-1,0）,B -1,2, D 3,0,连接 DM,并把线段 DM

24、 沿 DA 方向平移到 ON,如抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P使得 PA= PC如存在,求出点P 的坐标；如不存在请说明理由；（3）设抛物线与 x 轴的另 个交点为 E点 Q 是抛物线的对称轴上的 个动点,当点 Q 在什么位置时有 QE QC 最大？并求出最大值；y E N B M C D x A O 图名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载11、如图,抛物线 y= 1 x 2+bx2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于

25、C 点,且 A（一 1,0）2求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；判定 ABC 的外形,证明你的结论；点 Mm,0是 x 轴上的一个动点,当CM+DM 的值最小时,求 m 的值名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12、在平面直角坐标系中,如图学习必备欢迎下载OABC,相邻两边 OA1,将 n 个边长为 1 的正方形并排组成矩形和 OC 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上；设抛物线（1）当 n1 时,假如 a=1,试求 b 的值；y=ax 2+bx+ca0过矩形顶点 B、C. （2）当 n2 时,如图 2,在矩形 OABC 上方作一边长为 1 的正方形 EFMN,使 EF 在线段 CB 上,假如 M,N 两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转,使得点 点 O,B 落到 x 轴的正半轴上,假如该抛物线同时经过原名师归纳总结 试求出当 n=3 时 a 的值；y CD = 1.1 厘M NBxOyABxyO x 直接写出 a 关于 n 的关系式 . yCBCFECOAxOA图 1 图 2 图 3 第 14 页,共 14 页- - - - - - -