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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海十年中考数学压轴题解析2001 年上海市数学中考27已知在梯形 ABCD中, AD BC,ADBC,且 AD5,ABDC2（1）如图 8,P 为 AD 上的一点,满意BPC A图 8 求证；ABPDPC 求 AP的长（2）假如点 P在 AD边上移动（点 P 与点 A、D 不重合）,且满意 BPE A,PE交 直线 BC于点 E,同时交直线 DC于点 Q,那么当点 Q 在线段 DC的延长线上时,设 并写出函数的定义域；APx,CQy,求 y 关于 x 的函数解析式,当 CE1 时,写出 AP 的长（不必写出
2、解题过程）27（1）证明： ABP180 A APB,DPC180 BPC APB,BPC A, ABP DPC在梯形 ABCD 中, AD BC,AB CD, A D ABP DPC解：设 APx,就 DP 5x,由 ABP DPC,得ABPD,即252x,APDCx解得 x11,x24,就 AP 的长为 1 或 4得y（2）解：类似（1）,易得ABP DPQ,ABAP即52x2xy, 第 1 页,共 20 页 PDDQ1x25x2,1x422细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料
3、 - - - - - - - - - - - - - - -AP 2 或 AP 35 （题 27 是一道涉及动量与变量的考题,其中（1）可看作（ 2）的特例,故（ 2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路这是一种从仿照到制造的过程,仿照即借鉴、套用,制造即敏捷变化, 这是中同学学数学应具备的一种基本素养,世上的万事万物总有着千丝万缕的联系,也有着质的区分,仿照的关键是发觉联系,制造的关键是发觉区分,并找到应对新问题的途径）上海市 2002 年中等学校高中阶段招生文化考试27操作： 将一把三角尺放在边长为1 的正方形 ABCD上,并使它的直角顶点P 在对角线 AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一
4、边与射线DC相交于点 Q图 567 探究 ：设 A、P 两点间的距离为 x（1）当点 Q 在边 CD上时,线段 PQ 与线段 PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（ 2）当点 Q 在边 CD上时, 设四边形 PBCQ的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数解析式,并写出函数的定义域；（3）当点 P 在线段 AC上滑动时,PCQ是否可能成为等腰三角形？假如可能,指出全部能使PCQ成为等腰三角形的点Q 的位置,并求出相应的x 的值；假如不行能,试说明理由（图 5、图 6、图 7 的外形大小相同,图5 供操作、试验用,图6 和图 7 备用） 第 2 页,共 20 页 五、（本大题只有1
5、题,满分 12 分,（1）、（2）、（3）题均为 4 分）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -27图 1 图 2 图 3 （ 1）解： PQPB （1 分）证明如下： 过点 P作 MN BC,分别交 AB 于点 M,交 CD于点 N,那么四边形 AMND和四边形 BCNM都是矩形,AMP 和 CNP都是等腰直角三角形（如图 1）NPNCMB （1 分）BPQ90 ,QPN BPM90 而 BPM PBM90 ,QPN PB
6、M （1 分）又QNP PMB 90 , QNP PMB （1 分）PQ PB（2）解法一由（ 1） QNP PMB得 NQMPAPx,AM MPNQDN2 x,BMPNCN12 x,2 2CQ CDDQ122 x12 x2得 S PBC1 BC BM2 1 1 （ 12 2 2 x）1 2 4 2 x （1 分）S PCQ1 CQ PN2 1 （ 12 2 x）（12 2 x）1 2 34 2 x1 x2 2（1 分）S 四边形 PBCQS PBCS PCQ1 x2 22 x1即 y1 x 22 x1（0x2 ） （1 分,1 分）2 2解法二细心整理归纳 精选学习资料 作 PT BC,T
7、为垂足（如图2）,那么四边形PTCN为正方形 第 3 页,共 20 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -PTCBPN又 PNQ PTB90 , PBPQ, PBT PQNS 四边形 PBCQS 四边形 PBTS四边形 PTCQ S 四边形 PTCQS PQNS 正方形 PTCN（2 分）CN 2（ 12 x）21 x 22 x1 2 2y1 x 22 x1（0x2 ） （1 分）2 2（3） PCQ可能成为等腰三角形当点 P 与点 A 重合,点
8、Q 与点 D 重合,这时 PQ QC, PCQ是等腰三角形,此时 x0 （1 分）当点 Q 在边 DC的延长线上,且 CPCQ时, PCQ是等腰三角形（如图 3） （1 分）解法一 此时, QN PM2 x,CP2 x,CN2 CP12x2 2 2CQQNCN2 x（ 12 x）2 x 12 2当 2 x2 x1 时,得 x1 （1 分）解法二 此时 CPQ1 PCN22.5 , APB90 22.5 67.5 ,2ABP180（ 45 67.5 ） 67.5 ,得 APB ABP,细心整理归纳 精选学习资料 APAB1,x1 （1 分） 第 4 页,共 20 页 - - - - - - -
9、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海市 2003 年中学毕业高中招生统一考试27.如图,在正方形 ABCD中, AB 1,弧 AC是点 B 为圆心, AB 长为半径的圆的一段弧；点 E 是边 AD 上的任意一点（点 E与点 A、D 不重合）,过 E作弧 AC所在圆的切线,交边 DC于点 F, G 为切点：（1）当 DEF45o时,求证：点 G 为线段 EF的中点；（ 2）设 AEx,FCy,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域；（ 3）将 DEF 沿直线 EF
10、 翻折后得D1EF,如图,当EF5 时,争论6AD1 D 与 ED1 F是否相像,假如相像,请加以证明；假如不相像,只要求写出结论,不要求写出理由；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2004 年上海市中考数学试卷27、（2004.上海）数学课上,老师提出：如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点, A 点的坐标为（ 1,0）,点 B 在 x 轴上,且在点 A 的右侧, AB=OA,过点 A 和
11、B 作 x 轴的垂线,分别交二次函数 y=x2的图象于点 C和 D,直线 OC 交 BD 于点 M,直线 CD交 y 轴于点 H,记点 C、D 的的横坐标分别为 xC、xD,点 H的纵坐标为 yH同学发觉两个结论：S CMD：S 梯形 ABMC=2：3 数值相等关系：xC.xD= yH（1）请你验证结论 和结论 成立；（2）请你争论：假如上述框中的条件“ A的坐标（ 1,0）”改为 “ A的坐标（ t,0）（t0）” ,其他条件不变,结论 是否仍成立（请说明理由）；（3）进一步争论：假如上述框中的条件“ A的坐标（ 1,0）” 改为 “ A的坐标（ t,0）（t0）”,又将条件 “ y=x 2
12、” 改为 “y=ax 2（a0）”,其他条件不变, 那么 xC、xD 与 yH 有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）考点 ：二次函数综合题；专题 ：压轴题；分析：（1）可先依据 AB=OA得出 B 点的坐标,然后依据抛物线的解析式和 A,B 的坐标得出C,D 两点的坐标,再依据 C 点的坐标求出直线 OC 的解析式进而可求出 M 点的坐标,然后依据 C、D 两点的坐标求出直线 CD 的解析式进而求出 D 点的坐标,然后可依据这些点的坐标进行求解即可；（2）（3）的解法同（ 1）完全一样解答： 解：（1）由已知可得点 4）,B 的坐标为（ 2,0）,点 C坐标为（ 1,1）,点 D 的坐标为
13、（ 2,由点 C坐标为（ 1,1）易得直线OC的函数解析式为y=x,故点 M 的坐标为（ 2, 2）,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -所以 S CMD=1,S 梯形 ABMC=所以 S CMD：S 梯形 ABMC=2：3,即结论 成立设直线 CD 的函数解析式为 y=kx+b,就,解得所以直线 CD 的函数解析式为 y=3x 2由上述可得,点 H 的坐标为（ 0, 2）,yH= 2 由于 xC
14、.xD=2,所以 xC.xD= yH,即结论 成立；（2）（1）的结论仍旧成立理由：当 A 的坐标（ t,0）（t 0）时,点 B 的坐标为（ 2t,0）,点 C坐标为（ t,t2）,点 D 的坐标为（ 2t ,4t2 ）,由点 C坐标为（ t ,t2 ）易得直线OC 的函数解析式为y=tx,故点 M 的坐标为（ 2t,2t2）,所以 S CMD=t3,S 梯形 ABMC= t3所以 S CMD：S 梯形 ABMC=2：3,即结论 成立设直线 CD 的函数解析式为 y=kx+b,就,解得所以直线 CD 的函数解析式为y=3tx 2t2；2由上述可得,点H 的坐标为（ 0, 2t2）, yH=
15、2t由于 xC.xD=2t2,所以 xC.xD= yH,即结论 成立；（3）由题意,当二次函数的解析式为y=ax2（a0）,且点 A 坐标为（ t ,0）（t0）时,点 第 7 页,共 20 页 - - - - - - - - - C坐标为（ t,at2）,点 D 坐标为（ 2t, 4at2）,设直线 CD 的解析式为y=kx+b,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -就：,解得所以直线 CD 的函数解析式为 y=3atx 2at2,就点 H 的坐标为（ 0,2
16、at2）,yH= 2at 2由于 xC.xD=2t 2,所以 xC.xD=yH点评： 此题主要考查了二次函数的应用、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象的交点等学问点2005 年上海市中学毕业生统一学业考试数学试卷1、 （此题满分 12 分,每道题满分各为 4 分）在 ABC中, ABC90 , AB4,BC3,O 是边 AC上的一个动点,以点 O 为圆心作半圆,与边 AB 相切于点 D,交线段 OC 于点 E,作 EPED,交射线 AB 于点 P,交射线 CB于点 F；（1）如图 8,求证：ADE AEP；（2）设 OAx,APy,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义域；
17、（3）当 BF1 时,求线段 AP的长 . FB BPD细心整理归纳 精选学习资料 C图8EOAC图9（备用图）A 第 8 页,共 20 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -25. 1（）证明：连结 ODAP切半圆于D,ODAPED90又ODOE,ODEOED90ODE90OEDEDAPEA,又AAADEAEP（ ）2 ODOACB ACOD3OD3xOE,同理可得：AD4xx 第 9 页,共 20 页 x555ADEAEPAPAEy8x4xy6
18、4x2y165 4AEAD8 5xx52555x03 由题意可知存在三种情形但当E在C点左侧时明显大于所以不合舍去当x5时APAB如图）4延长DO,BE交于H易证DHEDJEHD6x,PBEPDH905PFBPHD1PBPB2AP66 5x12 5x细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -J 当x5 4时 点在 点的右侧延长DO PE 交于点H同理可得DHEEJD2PBFPDH1BPBP6 5x12 5xAP4222006年上
19、海市中学毕业生统一学业考试数学试卷25（此题满分14 分,第（ 1）小题满分4 分,第（ 2）小题满分7 分,第（ 3）小题满分3分）已知点 P 在线段 AB 上,点 O 在线段 AB的延长线上；以点O 为圆心, OP 为半径作圆,点C是圆 O 上的一点；细心整理归纳 精选学习资料 （1）如图 9,假如 AP=2PB,PB=BO；求证：CAO BCO； 第 10 页,共 20 页 （2）假如 AP=m（m 是常数,且m1）,BP=1,OP 是 OA、OB 的比例中项；当点C（3）在圆 O 上运动时,求AC：BC的值（结果用含m 的式子表示） ；在（ 2）的条件下,争论以BC为半径的圆B 和以
20、CA为半径的圆C的位置关系,并写出相应m 的取值范畴； - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -C A P B O 图 9 25（1）证明：AP 2 PB PB BO PO ,AO 2 PO AO PO2（2 分）PO BOPO CO ,（1 分）AO COCOABOC,CAOBCO（1 分）CO BO（2）解：设 OP x ,就 OB x 1,OA x m ,OP 是 OA ,OB 的比例中项,2x x 1 x m ,（1 分）得 x m,即 OP m
21、（1 分）m 1 m 1OB 1（1 分）m 1OP 是 OA , OB 的比例中项,即 OA OP,OP OBOA OCOP OC , （1 分）OC OB设圆 O 与线段 AB 的延长线相交于点Q ,当点 C 与点 P ,点 Q 不重合时,细心整理归纳 精选学习资料 AOCCOB,CAOBCO （1 分） 第 11 页,共 20 页 ACOC （1 分）BCOBACOCOPm；当点 C 与点 P 或点 Q 重合时,可得ACm,BCOBOBBC当点 C 在圆 O 上运动时,AC:BCm ； （1 分）（3）解：由（ 2）得, ACBC ,且ACBCm1BC m1,ACBCm1BC ,圆 B
22、和圆 C 的圆心距 dBC ,明显BCm1BC ,圆 B 和圆 C 的位置关系只可能相交、内切或内含当圆 B 与圆 C 相交时,m1BCBCm1BC ,得 0m2,m1,1m2；（1 分） - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当圆 B 与圆 C 内切时,m1BCBC,得m2；（1 分）当圆 B 与圆 C 内含时,BCm1BC ,得m2（ 1 分）2007 年上海市中学毕业生统一学业考试25（此题满分14 分,第（ 1）小题满分4 分,第（ 2）,（3
23、）小题满分各5 分） 第 12 页,共 20 页 - - - - - - - - - 已知：MAN60,点 B 在射线 AM 上,AB4（如图 10） P 为直线 AN 上一动点,以 BP 为边作等边三角形BPQ （点 B, ,Q按顺时针排列） , O 是BPQ的外心（1）当点 P 在射线 AN 上运动时,求证：点O 在MAN的平分线上；（2）当点 P 在射线 AN 上运动（点 P 与点 A 不重合） 时, AO 与 BP 交于点 C ,设 APx,AC AOy ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域；（3）如点 D 在射线 AN 上,AD2,圆 I 为ABD的内切圆 当BPQ的
24、边 BP 或 BQ与圆 I 相切时,请直接写出点A 与点 O 的距离AAPPBOBOMQNMQN图 10 备用图25（1）证明：如图4,连结 OB,OP,O 是等边三角形BPQ 的外心,OBOP ,1 分圆心角BOP3601203当 OB 不垂直于 AM 时,作 OHAM , OTAN ,垂足分别为H,T由HOTAAHOATO360,且A60,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -AHOATO90,HOT120BOHPOT 1 分 第 13 页,共 20 页 -
25、 - - - - - - - - RtBOHRtPOT1 分OHOT 点 O 在MAN 的平分线上1 分当 OBAM 时,APO360ABOPOBA90即OPAN ,点O在MAN 的平分线上综上所述,当点P 在射线 AN 上运动时,点O 在MAN 的平分线上AAH BOPTBCPOMQNMQN图 4 图 5 （2）解：如图5,AO 平分MAN ,且MAN60,BAOPAO301 分由（ 1）知, OBOP ,BOP120,CBO30,CBOPAC BCOPCA ,AOBAPC 1 分ABOACPABAOAC AOAB AP y4x 1 分ACAP定义域为：x01 分（3）解：如图6,当 BP
26、与圆 I 相切时,AO2 3；2 分如图 7,当 BP 与圆 I 相切时,AO43；1 分3如图 8,当 BQ 与圆 I 相切时,AO02 分细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -MBAD PNMBP A DQNPAODNQIIOQOBI图 6 图 7 M图 8 2022 年上海市中考数学试卷25（此题满分14 分,第（ 1）小题满分5 分,第（ 2）小题满分4 分,第（ 3）小题满分5分）已知AB2,AD4,DAB90, ADBC（如图 13）E 是射线 BC
27、 上的动点 （点E 与点 B 不重合）, M 是线段 DE 的中点（1）设 BE x ,ABM 的面积为 y ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域；（2）假如以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切,求线段 BE 的长；（3）联结 BD ,交线段 AM 于点 N ,假如以 A,N,D 为顶点的三角形与BME 相像,求线段 BE 的长A D A D M B 图 13 E C B 备用图C 25解：（1）取 AB 中点 H ,联结 MH ,又M 为 DE 的中点,MHBE,MH1 2BEAD （1 分） 第 14 页,共 20 页 ABBE ,MHAB （1 分）细心
28、整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -SABM1AB MH,得y1x2x0； （2 分）（1 分）22（2）由已知得DEx4222 （1 分）（2 分）（1 分）（1 分）BME 以线段 AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切,MH1AB1DE ,即1x4124x22 2 2222解得x4,即线段 BE 的长为4 3； 3（3）由已知,以A,N,D为顶点的三角形与BME相像,又易证得DAMEBM 由此可知,另一对对应角相等
29、有两种情形：ADNBEM ；ADB当ADNBEM 时,ADBE,ADNDBE DBEBEMDBDE ,易得BE2AD 得BE8； （2 分）（2 分）当ADBBME 时,ADBE,ADBDBE DBEBME 又BEDMEB ,BEDMEBDEBE,即BE2EM DE ,得2 x12 2x4222x42BEEM2解得x 12,x 210（舍去）即线段 BE 的长为 2 综上所述,所求线段BE 的长为 8 或 22022 年上海市中学毕业统一学业考试25（此题满分14 分,第（ 1）小题满分4 分,第（ 2）小题满分5 分,第（ 3）小题满分5分）已知ABC90,AB2,BC3,ADBC,P 为线段 BD 上的动点,点Q 在射线 第 15 页,共 20 页 AB 上,且满意PQAD（如图 8 所示）PCAB之间的距离（1）当AD2,且点 Q 与点 B 重合时（如图9 所示）,求线段 PC 的长；（2）在图 8 中,联结 AP 当AD3,且点 Q 在线段 AB 上时,设点 B、Q2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -为 x ,SAPQy,其中SAPQ表示APQ的面积,