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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载不等式恒成立问题适用学科 高中数学 适用年级 高中三年级适用区域 通用 课时时长（分钟）60 学问点 函数性质法；主参换位法；分别参数法；数形结合法；消元转化法教学目标 把握解决恒成立问题常用以下几种方法：函数性质法；主参换位法；分别参数法；数形结合法；消元转化法；教学重点运用函数、导数解决恒成立问题 第 1 页,共 26 页 教学难点推理才能和精确的运算才能的培育细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师
2、归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载教学过程一、课堂导入 纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查,主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题,要求学 生有较强的推理才能和精确的运算才能,才能顺当解答从实际教学来看,这部分学问才能要求高、难度大,是同学掌 握最为薄弱,看到就头疼的题目分析缘由,除了这类题目的入手的确不易之外,主要是同学没有形成解题的模式和套 路,以至于遇到类似的题目便产生恐惧心理本节课我们将就高中阶段显现这类问题加以类型的总结和方法的探讨细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - -
3、 - - - - 第 2 页,共 26 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载二、复习预习新课标下的高考越来越留意对同学的综合素养的考察,恒成立问题便是一个考察同学综合素养的很好途径,它常以函数、方程、不等式和数列等学问点为载体,渗透着换元、化归、分类争论、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的敏捷性、制造性等方面起到了积极的作用近几年的数学高考中频频显现恒成立问题,其形式逐步多样化,但都与函数、导数学问密不行分细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - -
4、- - - - 第 3 页,共 26 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载三、学问讲解考点 1 函数性质法有以下几种基本类型：类型 1：设f x ax2bxc a0.fx0 在xR上恒成立fa0且0 第 4 页,共 26 页 0 在xR上恒成立a0且0；（2）（1）fx b类型 2：设f x ax2bxc a0.bb,或0（1）当a0时,fx0 在x,上恒成立2 a2 a或2 a0.f 0 fx 0 在x,上恒成立f 0,0,f0.（2）当a0时,fx 0 在x,上恒成立ff0.细心整理
5、归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载,0恒成立f x 的下界大于 0）； 0bbbfx 0 在x,上恒成立2 a或2 a或2af00f0.注：f x 0恒成立f x min0（注：如f x 的最小值不存在, 就f x 恒成立f x max0（注：如f x 的最大值不存在,就f x 0恒成立f x 的上界小于 0）细心整理归纳 精选学习资料 第 5 页,共 26 页 - - - - - - - - - - - - -
6、 - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -考点 2 分别参数法 极端化原就学习必备欢迎下载如所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分别于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范畴利用分别参数法来确定不等式fx ,0（xD,为实参数）恒成立中参数的取值范畴的基本步骤：fx ）恒成立的形式；（1）将参数与变量分别,即化为gfx （或 g（2）求 fx 在 xD 上的最大（或最小）值；的取值范畴（3）解不等式gf x max或gfxmin ,得适用题型：（1）参数与变量能分别； （2）函数的最
7、值易求出细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 26 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -考点 3 主参换位 反客为主法学习必备欢迎下载某些含参不等式恒成立问题,在分别参数会遇到争论的麻烦或者即使能简单分别出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主 ”,即把习惯上的主元变与参数变量的“位置 ”交换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可防止不必要的分类争论或使问题降次、简化,起到“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”的特
8、别制胜的成效细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 26 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载考点 4 数形结合 直观求解法如所给不等式进行合理的变形化为f g x （或f x g x ）后,能特别简单地画出不等号两边函数的图像,就可以通过画图直接判定得出结果特别对于挑选题、填空题这种方法更显便利、快捷细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 26 页 - - -
9、 - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载考点 5 不等式能成立问题的处理方法如在区间 D 上存在实数 x使不等式 fxk 成立,就等价于在区间D 上fxmaxk ；xk 第 9 页,共 26 页 如在区间 D 上存在实数 x使不等式 fxk 成立,就等价于在区间D 上的fxmink 留意不等式能成立问题（即不等式有解问题）与恒成立问题的区分从集合观点看,含参不等式ffxk在区间 D 上恒成立Dx fxkfxmaxkDx fxkfxmink ,而含参不等式fxkfxk 在区间 D 上能成立至少存在一个实数x
10、 使不等式 fxkfxk 成立Dx fxkfxminkDx fxkfxmaxk 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载四、例题精析考点一函数性质法mx24mx40对任意实数 x 恒成立就 m 取值范畴是（）例 1 （2022 蚌埠二中考试）已知不等式, 10, 第 10 页,共 26 页 A1,0B1,0CD1,0细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - -
11、 - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【规范解答】 由不等式2 mx4 mx40学习必备欢迎下载m0或16 mm00对任意实数 x恒成立,知216 m由此能求出 m 的取值范畴,解得1m0 第 11 页,共 26 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -考点二分别参数法 极端化原就学习必备欢迎下载例 2 已知函数fxxlnx,当x 2x 10时,
12、给出以下几个结论：x 1fx2; 第 12 页,共 26 页 x 1x 2fx 1fx20；fx 1x 2fx2x 1；x 2fx 1当ln1x1 时,x 1fx 1x2fx 22 x2fx 1. 其中正确选项（将全部你认为正确的序号填在横线上） 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载【规范解答 】答案：试题分析：由于 f x x ln x,所以 f x ln x 1,可知（ 0,1）递减,（1,+）递增,
13、故e e错误；令 g x f x -x x ln x x,所以 g ln x,可知 g x 在（ 0,1）上递减,（1,+）上递增,故错；令h x f x h x x ln x x2 x ln x 1,所以 h（x）在（0,+）上递增,所以 f x 1 f x 2 x 2 f x 1 x 1 f x 2 ,x x x x 1 x 2故 正 确 ； 当 ln 1x 1 时 , 可 知 x 2 x 1 1, 又 因 为 f （ x ） 在 （1, + ） 递 增 ,设e e xf x 2 xf x 1 x f x 1 1 f x xf 2 f x 1 2 ln x x 2 x 1 ln x 1 0
14、,又由于 f（x）在（1e,+）递增,所以 x x 时,1 f x f x 1 即 x ln x x 1 ln x ,所以 1 x x 时,1 0,故 x 为增函数, 所以 x 2 x 1 ,所以 x 2 x f x 2 2 2 x f x 2 1 x f x 1 1 x 1 0,故正确 .细心整理归纳 精选学习资料 第 13 页,共 26 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备2欢迎下载 第 14 页,共 26 页 考点三主参换位 反客为
15、主法恒成立,求 c的取值范畴例 3 已知函数fxx31x2bxc2（1）如fx在,上是增函数,求 b 的取值范畴；（2）如fx在x1 处取得极值,且x,12时,fxc细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载在该区间恒成立 ”求解；f x0【规范解答 】解题思路：（1）利用 “如函数fx在某区间上单调递增,就f x0（2）先依据fx在x1处取得极值求得 b 值,再将恒成立问题转化为求fxmaxc2,解关于 c 的
16、不等式即可 . 规律总结：如函数fx在某区间上单调递增, 就f x0在该区间恒成立；“如函数fx在某区间上单调递减, 就1 3 1 212 2 6 3在该区间恒成立；求函数最值的步骤：2a2求导函数；求极值；比较极值与端点值,得出最值. 试题解析 :（1）f =3x2-x+ba2 ora32因fx 在,上是增函数,就f x,即 3x2xb0,bx3x 2 在,恒成立设 gxx3x 2,当 x 1 时,gxmax1,b1 . 6 12 12（2）由题意,知 f 0,即 31b0,b 2. x1,2时, fx c 2恒成立,只需 fx 在1,2上的最大值小于 c 2 即可细心整理归纳 精选学习资料
17、 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 26 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -因 f 3x 2x2,学习必备欢迎下载令 f 0,得 x1,或 x2 3. c,f22c,f13 2c,f2 322 27c,f11 2fx maxf22c,2cc 2,解得 c2,或 c1,所以 c 的取值范畴为 , 12, .细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页,共 26 页 - - - - - - - - - 名师归
18、纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -考点四数形结合ex1 ax2aR. 学习必备欢迎下载 第 17 页,共 26 页 例 4 设函数fx x1当a1时,求函数fx的单调区间 ; 22如当x0时f x 0,求 a 的取值范畴 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载【规范解答 】试题分析：（1）由 a 1 得到 f x x e x1 1x 2,求其导数 f x e
19、 x1 xe xx e x1 x 1 ,解不等式2 2f x 0 得 到 函 数 的 增 区 间 , 解 不 等 式 f x 0 得 到 函 数 的 减 区 间 ; （ 2 ） 法 一 : 由 当 x 0 时 f x 0 得 : x 2 x x xf x x e 1 ax x e 1 ax 0 等价于 : e 1 ax 0 在 x 0 时恒成立 ,令 g x e 1 ax ,留意到 g 0 0 ,所以只需 g x 0 在 x 0 , 上恒成立刻可 , 故有 e xa 0 在 0 , 上恒成立 , 就 a e x, x 0 , 所以有 a 1 . 法二 :将e x1 ax 0 在 x 0 时 恒
20、 成 立 等 价 转 化 为 : e xax ,1 x 0 , 恒 成 立 函 数 y e x, x 0 , 的 图 象 恒 在 函 数y ax 1 x 0 , 图象的上方 ,由图象可求得 a 的取值范畴 . 试题解析：（1）当 a 1 时,f x x e x1 1x 2,2 2 x x xf x e 1 xe x e 1 x 1 当 x , 1 时,f x 0；当 x ,1 0 时,f x 0 时,当 x 0 , 时,f x 0,增区间 , 1 , ,0 ,减区间 1 0, 细心整理归纳 精选学习资料 第 18 页,共 26 页 - - - - - - - - - - - - - - - -
21、 - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2）由当x0时fx 0得: fx x ex1学习必备欢迎下载ax2x ex1ax 0等价于 : ex1ax0在x0时恒成立 ,等价转化yex, x为:exax1 x,0恒成立函数0,的图象恒在函数yax1 x0 ,图象的上方 ,如图 :,由于直线yax1 x0 ,恒过定点,而exx0e01,所以函数yex, x0 ,图象在点（0,1）处的切线方程为：yx1,故知：a1,即 a 的取值范畴为,1. 第 19 页,共 26 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - -
22、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载五、课堂运用【基础】1、定义在 0, 上的单调递减函数f x ,如fx 的导函数存在且满意fxx,就以下不等式成立的是（xf）fxA 3f22f3B 3f44 3f x0 , 又 fxx, fxg1,即f3 f2,即 3f21,取 x=0,结合函数 x+sinx 的连续性可知 A 错误,对于 B取 x=2,可知 B 错误,对于 D 取 x=1,可知 D 错误,对于 C,令 fx=x-ln1+x, 就fx111x1xx0
23、,fx 在0,上单调递增, fxf0=0, 即 xln1+x 成立细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页,共 26 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载【巩固】1.如函数fx x32 ax1在0 ,2 上单调递减,就实数 a 的取值范畴为（）上单调递减,就在0 ,2 上fx0A.a3B.a3C.a3D.0 a3,02 3 x22 axx3 x2 a ,由于函数 fx 在【规范解答 】答案：A 试题分析：fx即 3x2 a0恒成
24、立,等价于a3x在0 ,2 上恒成立,所以a3223；故 A 正确； 第 22 页,共 26 页 2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载fp1f q11恒成立,就实数 a 的取2.已知函数f x alnx1x 在区间 0,1内任取两个实数 p,q,且 p q,不等式1,2pq值范畴为（）A 15,B ,15C 12,30D 12,15,等价于函数f x alnx1x 在【规范解答 】答案： A 试题分析：由
25、已知得,fp1f q11,且p1,q1p1q1区间 1,2 上任意两点连线的割线斜率大于1,等价于函数在区间1,2 的切线斜率大于1 恒成立 第 23 页,共 26 页 f xa12x,即xa12x1恒成立,变形为a2x23x1,由于2x23x115,故a15细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载【拔高】1.函数fxax33 x1 对于x1,1总有 fx0 成立,就 a = 1x1时,有ax33x100a3
26、x31恒【规范解答 】答案：4 试题分析： 由于x1,1总有 fx0 成立,所以当0x成立,令gx3x31313x2x3,gx 6x33 x43x42x1 知当0x1时g x,当x1时xx2x322g x0, 当1x1时g x0； 所 以 在0x1时gxmaxg4知a4； 当1x0时 , 有22ax33x10a3x31恒成立,由上知gx46x33x443x42x1 在1x0上恒大于 0,所以gx在-1,x0）上是增函数,故在 -1,0）上gx ming 1,所以有a,又留意到当x=0 时,不论 a 为何值不等式fx0总成立；综上可知a=4. 第 24 页,共 26 页 细心整理归纳 精选学习资
27、料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2.已知函数 fx 的导数 f 学习必备欢迎下载a 的取值范畴是 _xax1xa,如 fx 在 xa 处取得极大值,就【规范解答 】答案： 1,0 解析：如 a0,就 f 0,函数 fx 不存在极值；如 a 1,就 f x1 20,函数 fx 不存在极值；如 a0,当 x1,a时,f 0,当 xa,时,f 0,所以函数 fx 在 xa 处取得微小值；如 1a0,当 x1,a时,f x0,当 xa,时,f x0,
28、所以函数 fx 在 xa 处取得极大值；如 a 1,当 x,a时,f x0,当 xa, 1时, f 0,所以函数 fx 在 xa 处取得微小值,所以 a1,0细心整理归纳 精选学习资料 第 25 页,共 26 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载课程小结1.解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：函数性质法；主参换位法；分别参数法；数形结合法；消元转化法2.近几年数学高考中恒成立问题的题型及解法,值得一提的是,各种类型各种方法并不是完全孤立的,虽然方法表现的不同,但其实质却都与求函数的最值是等价的,这也正表达了数学中的“统一美 ” 第 26 页,共 26 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -