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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载不等式中恒成立问题的解法争论在不等式的综合题中,常常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范畴内全部值都成立的恒成立问题；恒成立问题的基本类型：类型 1：设fxax2fbxca0 fa0且0；0f0fb0（1）fx 0 在xR上恒成立（2）fx 0在xR上恒成立a0且0；类型 2：设fxax2bxca0 ,上恒成立（1）当a0时,x0在xb或bb2 a2 a或2a,f000f0fx 0 在x,上恒成立f0（2）当a0时,fx 0在x,上恒成立f0bbfx 0 在x,上恒成立2 a或2 a或2af0类型 3：fx 对一切xI
2、恒成立fxmin；对一切恒成立maxfx xIfx 类型 4：fxgx 对一切xI恒成立fx 的图象在gx 的图象的上方或fx mingxmaxxI恒成立问题的解题的基本思路是：依据已知条件将恒成立问题向基本类型转化,正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一、用一次函数的性质对于一次函数2fxkxb,xm ,n有：mfm 0xf m 0 , 0ffx0 恒成立x 0 恒成立f nfn 0例 1：如不等式x1m x21 对满意22的全部 m 都成立,求的范
3、畴；解析：我们可以用转变主元的方法,将m 视为主变元,即将元不等式化为：mx21 2x1 0,；令fm m x212x1,就2m2时,fm0恒成立,所以只需f2 00即22x211 2x11 00,所以 xf2 x22x的范畴是x127,123；c0a0,xR 有：二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数fxax2bx（1）fx0在xR上恒成立a0且0；（2）fx0在xR上恒成立a0且0例 2：如不等式m1 x2m1 x20的解集是 R,求 m 的范畴；解析：要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数 m,所以要争论 m-1 是否是 0；（1）当 m-1=0 时
4、,元不等式化为20 恒成立,满意题意；（2）m10时,只需m10128m10,所以,m,19 ；m三、利用函数的最值（或值域）（1）f x m 对任意 x 都成立 f x min m；（2）f x m 对任意 x 都成立 m f x max；简洁计作：“ 大的大于最大的,小的小于最小的”；由此看出,本类问题实质上是一类求函数的最值问题；名师归纳总结 例 3：在ABC 中,已知fB4sinBsin24B 2cos2B ,且|fBm|2第 2 页,共 6 页恒成立,求实数m 的范畴；BB,sinB1,0,解析：由,10fB 4sinBsin24Bcos 2B2sin22fBm2,即mfB2fB1
5、3, ,|fBm|2恒成立,mfB 2恒成立,m,13 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的,可以利用对应函数的图像法求解；例 5：已知a0 ,a,1fxx2ax,当x1,1 时,有fx12恒成立,求实数 a 的取值范畴；解析：由 f x x 2a x 12,得 x 2 12 a个 函 数 的 图 像 , 如 果 两 个 函 数 分 别 在x,在同始终角坐标系中做出两x=-1 和 x=1 处 相 交 , 就 由1 2 1 a及 1 2 1 a 1得 到 a 分 别 等 于 2 和 0.5 , 并 作
6、 出 函 数2 2y 2 及 xy 1 x的图像,所以,要想使函数 x 2 1a x 在区间 x 1 1, 中2 2恒 成 立 , 只 须 y 2 x在 区 间 x 1,1 对 应 的 图 像 在 y x 2 1 在 区 间2x 1,1 对 应 图 像 的 上 面 即 可 ； 当 a 1 时 , 只有 a 2 才 能 保 证 , 而1 10 a 1 时,只有 a 才可以,所以 a 1, ,1 2 ；2 2由此可以看出,对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图像来解；利用函数图像解题时,思路是从边界处（从相等处）开头形成的；名师归纳总结 练习题： 1、对任意实数x,不等式asinxbcosxc
7、0 a ,b ,cR恒成立第 3 页,共 6 页的充要条件是 _；ca2b22、设ylglg2x3x9xa在1,上有意义,求实数 a的取值范畴 .5,；793、当x13, 时,|Logax|1恒成立,就实数 a 的范畴是 _；0 ,1,3334、已知不等式：n11n12.n1n1Logaa12对一切大于 1123的自然数 n 恒成立,求实数a 的范畴；a ,1125- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载含参不等式恒成立问题的求解策略“ 函数与方程” 、“ 化归与转化” 、“ 数形结合” 、“ 分类争论”一、判别式法如所求问题可转化为二次不
8、等式,就可考虑应用判别式法解题；一般地,对于二次函数 f x ax 2bx c a ,0 x R , 有a 01）f x 0 对 x R 恒成立 ; 0a 02）f x 0 对 x R 恒成立 .0例 1已知函数 y lg x 2 a 1 x a 2 的定义域为 R,求实数 a 的取值范畴；解：由题设可将问题转化为不等式 x 2 a 1 x a 2 0 对 x R 恒成立,即有 a 1 24 a 20 解得 a 1 或 a 1；3所以实数 a 的取值范畴为 , 1 1 , ；3如二次不等式中 x 的取值范畴有限制,就可利用根的分布解决问题；2例 2设 f x x 2 mx 2,当 x 1 ,
9、时,f x m 恒成立,求实数 m 的取值范畴；解：设Fxx22mx20m,就当x,1时,Fx 0恒成立当4m1 m20 即2m1时,Fx0明显成立；y x 当0时,如图,Fx恒成立的充要条件为：0F10解得3m2；3 1,；-O x 2 m211 综上可得实数 m 的取值范畴为二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有：名师归纳总结 1）fxa恒成立afxmin第 4 页,共 6 页2）fxa恒成立afxmax- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2例 4函数 f x x 2 x a , x ,1 ,如
10、对任意 x ,1 ,f x 0 恒成x立,求实数 a 的取值范畴；解：如对任意 x ,1 ,f x 0 恒成立,2即对 x ,1 ,f x x 2 x a 0 恒成立,x考虑到不等式的分母 x ,1 ,只需 x 2 2 x a 0 在 x ,1 时恒成立而得而抛物线 g x x 2 2 x a 在 x 1 , 的最小值 g m i n x g 1 3 a 0 得a 3注：此题仍可将 f x 变形为 f x x a 2,争论其单调性从而求出 f x 最x小值；三、分别变量法如所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分别于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范畴；这种方法本质也仍
11、是求最值,但它思路更清楚,操作性更强；一般地有：1）fx gaa为参数）恒成立ga fxmax2）fx gaa为参数）恒成立maxga fx实际上,上题就可利用此法解决；略 解 ：x22xa0在x1 ,时 恒 成 立 , 只 要ax22x在x,1时恒成立； 而易求得二次函数hxx22x在,1上的最大值为3,所以a3；x ax4xx2 x例 5已知函数f,0 4 时f x 0恒成立,求实数 a 的取值范畴；解： 将问题转化为a4xx2上 为 减 函 数 , 故对x04,恒成立；x令gx4xxx2,就agxmin由gx 4xx241可 知gx在,04xxgxming40,0；a0 即 a 的取值范
12、畴为注：分别参数后,方向明确,思路清楚能使问题顺当得到解决；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时,如能适时的把主元变量和参数变量进行“ 换位” 摸索,往往会使问题降次、简化；例 6对任意a1,1,不等式x2a4x42a0恒成立,求 x 的取值范畴；解 ： 令fax2ax24x4, 就 原 问 题 转 化 为faf0恒 成 立（a1,1 ）；,不合题意；x0的当x2时,可得fa0当x2时,应有f1 00解之得x1 或x3；f1故 x 的取值范畴为1, ,3；
13、注：一般地,一次函数fxkxbk0在,上恒有充要条件为f0；f0五、数形结合法数学家华罗庚曾说过： “ 数缺形时少直观,形缺数时难入微”,这充分说明白数形结合思想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用；我们知道,函数图像和不等式有着亲密的联系：1）f x g x 函数 f x 图像恒在函数 g x 图像上方；2）f x g x 函数 f x 图像恒在函数 g x 图像下上方；例 6、如不等式 3 x 2log a x 0 在 x 0, 1 内恒成立,求实数 a 的取值范畴；3解：由题意知：3 x 2log a x 在 x 0, 1 内恒成立,3在同一坐标系内,分别作出函数 y 3 x 和 2y log a x观看两函数图像,当 x 0, 1 时,如 a 1 函3数 y log a x 的图像明显在函数 y 3 x 图像 2的下方,所以不成立；名师归纳总结 当 0a1时,由图可知,ylog ax 的图像a11a11a1第 6 页,共 6 页必需过点1 1 ,3 3或在这个点的上方,就,log332727- - - - - - -