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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载一元二次方程与几何综合一、教学目标学问目标： 运用根的判别式及韦达定懂得决与一元二次方程的根有关的几何问题,强化旋转中的基本图形和有关圆的综合题的处理方法才能目标： 能娴熟地将方程的根与几何图形中的条件联系起来,通过方程的性质和几何图形的性质实行转化情感目标： 增强学习的信心,培育科学探究的意识二、教学重点 建立一元二次方程的两根的与几何图形之间的联系三、教学难点 含参一元二次方程的处理四、课时支配23 课时（ 2 小时左右）五、教学过程 1.先简洁回忆上节课一元二次方程综合题的基本方法,并
2、回忆韦达定理的基本内容和含参数的一元二次方 程的处理方法2. 例题讲解：【例 1】（ 20222022 江岸九上起点 25）（试题难度： A）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -参考答案：（1）a2精品资料欢迎下载； m=1（2） 5000b35分析：（1） ABD 的三边分别为 2 a、b、a,且 BAD=45 ,故过 B 点做 BFAD 于 F,在 BFD2中使用勾股定理可以得到 a、b 之间的
3、关系式,因式分解之后得到两个结果,依据条件 ab 可以排除一个结果；由韦达定理可以得到 a、 b 与 m 之间的两个关系式,再加上求出的结果,一共三个方程,可以把 m 的值求出来,得到两个解 m=1 和 m=-3,分别算出 a、b 之后发觉当 m=-3 时 a、b 为负值,又 a、b 是线段长不行能为负,故排除此解,所以 m=1（2） a、b、c 长度都未知,只知道 BE 的长,直接去求五边形各部分面积确定行不通考虑到ABC 和ADE 是两个共底角顶点的等腰直角三角形,尝试使用全等将五边形 ABCDE 拼接成为一个与 BE 相关的三角形故取 CD 中点 F,延长 EF 至 G,使 FG=EF,
4、连接 BG、CG,就 EDF GCF, BAEBFG,所以五边形 ABCDE 的面积就等于EBG 的面积,而EBG 又是一个腰长为 100 的等腰直角三角形,问题解决另法：过 E 点做 AB 的垂线,交 BA 延长线于 F,过 D 做 DG AC 于 G,设 EF=x,AF=y,证明 AEFDAG ,且相像比为2 ,在 BEF 中使用勾股定理用a、b、x、y 把 BE 表示出来,再把五边形ABCDE 的面积表示出来,然后做整体代换,也可以求出结果,此法较复杂点评： 此题（ 1）的两问都有两个结果,算出答案之后留意结合题目条件验证,排除掉与几何条件不符的结果；第（2）问考查了两个等腰直角三角形共
5、底角顶点的基本图形【例 2】（ 20222022 黄陂区九上期中参考答案：（1）PA=9；（2） 1024 改编）（试题难度： A）分析：（ 1）这是一个八年级常考的图形,结论是PA=PB+PC,又由韦达定理得到PB+PC=9,问题解决给细心整理归纳 精选学习资料 第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载出两种证明： 延长 PC 至 D,使 CD=BP,证明 ABP ACD ；延长 BP 至 E,使 PE=PC,
6、证明 BCE ACP（2）依据韦达定理不能求出 p、q,所以先处理其次个式子,去掉确定值之后可以将其因式分解,得到 p=6或 q=3,将两种情形都代入到韦达定理中验算,可以排除掉 q=3 的结果,故 p=6,q=8要使 PA+PB+PC最小,可以将BPC 绕点 B 顺时针旋转 60 至 BED ,就 PA+PB+PC 转化为 PA+PE+ED,就当 PA、PE、ED 共线时有最小值,即最小值为AD,由于 AB=6,BD=BC=8, ABD=90 ,故 AD=10点评： 此题第（ 1）问考查八年级常考的图形以及韦达定理；第（2）问是一元二次方程与几何最值问题的结合阶段性小结： 例 1 例 2 告
7、知我们,在做此类题目的时候,经常会得到多解,得到的结果肯定要结合题目条件一一验证【例 3】（ 2022武汉元调 25）（试题难度： B）参考答案：（1）略；（2）2 ；（3）0m1 或-2 m -1 分析：（1）由于 AC+CE=AE,所以只需证明CE=3 BC 即可,由于BC CE,所以连接BE,只需证明E=30 ,由于 E 是 O 的圆周角,所以E 是 O 的一半,问题得证；（2）取 AB中点 F,连接 AF、BF,就显现了一个八年级常考的图形,过F 分别向 AC、BC 做垂线,垂足分别为 G、H,就 AFG BFH,故 AC+BC=2AG,又由于 AGAF,故 AC+BC 2AF= 2
8、（3）这个关于 x 的方程可以因式分解,可以得到 x1 =b 和 x2 = 3 a b,所以需要考虑两种情形：b 的范围即 AC 的范畴,即 0 到 1 之间；3 a b 的范畴可以考虑 AE,当 C 在运动过程中,AE 最短为 AB,最长为 O 直径,这一点很简洁出错,故 m 的取值范畴有两个细心整理归纳 精选学习资料 第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载点评： 此题第（ 2）问将八年级的基本图形隐匿在圆中
9、,同时加入了最值问题；第（3）问是韦达定理与几何最值的结合,【例 4】（ 20222022 六中周练 25）（试题难度：A）参考答案：（1） a+3b=10； m=3 （2） a=2,b=23； MN 最大值623,最小值623分析：（ 1）过 D 点分别向 x 轴、 y 轴做垂线,垂足分别为 E、F,就 DEB DFA,然后可以得到 a、b间的关系；由韦达定理可以得到关于 a、b、m 的两个关系式,加上中的关系式,可以把 m 求出来,得到两个结果,留意其中一个结果不符合题意要舍掉；23 n n（2）用因式分解法可以得到这个方程的两根,由于 A 在 y 轴负半轴上, 所以 a=-2,b=,将
10、a、2b 代入 1 a 3 b 5 中,可以求出 n、b,留意舍掉不符合题意的一根；在 Q 中, MN 所对的圆周角2为肯定值 60 ,所以 Q 半径越大, MN 越大, Q 半径越小, MN 越小 Q 点为 CO1 与 O1 的交点时,QC 最小, Q 点为 CO1延长线与 O1的交点时, QC 最大,然后可以求出 MN 的长点评： 此题是韦达定理与几何最值问题的结合细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -
11、- -阶段性小结：精品资料欢迎下载2 例 3 例 4 都涉及到了因式分解,娴熟把握含参一元二次方程的做法是这一类题的基础,例对代数式变形的基本功有肯定的要求【归纳小结】本节课你们学到了什么学问？对一元二次方程与几何综合题有什么新的熟悉？这类题的易错点是什么？【家庭作业】1（2022 2022 二中、七一九上期中16 改编）（试题难度： B）参考答案：（1）433；（2）33；（3） CD 最小值为 2； 2 2分析：（1）把四边形ABCD 的面积用 a、b 表示出来,然后结合韦达定理稍加变形即可；（2）与（ 1）方法一样；（3）分别过 CD 向 AB 做垂线, 可以把 CD 用 a、b 表示出
12、来, 然后用代数方法求其最值；当 CD 最小时,即 a=b,此时PCD 是一个等边三角形,明显可以得到 R=2r,或者把 R 和 r 都运算出来也可以点评： 此题主要是用代数运算解决几何问题,设置（1）（2）两问给第（ 3）问降低了难度细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料A）欢迎下载2（2022 2022 六中九上期中 25）（试题难度：参考答案：（1）A（2 ,0）；（ 2）2 ；（3）S
13、4t2t4t2,0t24分析：（1）把半径求出来用勾股定理运算,或者直接用直角三角形射影定理运算；（2）第一由韦达定理可以得到N 点坐标,发觉N 是 AB中点,连接FN、GN,就成为了八年级常考的一个图形,此题迎刃而解；（3）留意到 ACB=135 ,所以可以过 A 点做 BC 的垂线,垂足为 M,用勾股定理可以把 AM 和 CM 用 t表示出来,然后把ABC、 CDE 、四边形 ACBO1 都用 t 表示出来,就可以算出 S点评： 此题第（ 3）问考查了勾股定理、一元二次方程等学问点,运算量较大六、教学反思细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载B,中档题定级为注： 本讲义商定压轴题（含综合题,难题）定级为A,较综合性题（含易错题）定级为C,简洁题定级为D 第 7 页,共 7 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -