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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载如何列二元一次方程组解应用题众所周知, 列方程解应用题既是学习方程的一个重点,又是学习方程的一个难点,而列方程组解应用题更是分析问题和解决问题的才能的详细表达,又中考中的常见题型,那么如何才能正确地列出方程组呢？详细地说,列方程组与列一元一次方程基本相像,即基本步骤是：审、设、列、解、答 .常见题型有以下几种情形：和、差、倍、分问题,即两数和 =较大的数 +较小的数,较大的数 =较小的数 倍数 增（或减）数；行程类问题,即路程 =速度 时间；工程问题,即工作量=工作效率 工作时间；浓度问题,即溶质质量溶液质量 浓度； 安排问题
2、, 即调配前后总量不变,调配后双方有新的倍比关系；等积问题,即变形前后的质量（或体积）不变；数字问题,即有如个位上数字为 a,十位上的数字为b,百位上的数字为 c,就这三位数可表示为 100c+10b+a,等等；经济问题,即利息本金 利率 期数；本息和本金+利息本金 +本金 利率 期数；税后利息本金 利率 期数 （商品的利润 商品进价1利息税率） ；商品的利润商品的售价商品的进价；商品的利润率100.等等 . 下面以列二元一次方程组解 一、古代数学问题2006 年中考应用题为例说明如下：例 1（河北省）九章算术是我国东汉初年编订的一部数学经典著作 .在它的“ 方程”一章里,一次方程组是由算筹布
3、置而成的.九章算术中的算筹图是竖排的,为看图便利,我们把它改为横排,如图 1,图 2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 x, y 的系数与相应的常数项 .把图 1 所示的算筹图用我们现在所熟识的方程组形式表述出来,就是3 x 2 y 19,类似地,图 2 所示的算筹图我们可以表述为（）A x 4 y 23.A. 2 x y 11,B.2 x y 11,C.3 x 2 y 19,D.2 x y 6,4 x 3 y 27 4 x 3 y 22 x 4 y 23 4 x 3 y 27图 1 图 2 3 x 2 y 19,分析 抓住由图 1 所列出来的方程是 认真分析系数 3、2、19 对应
4、的图 1x 4 y 23.中的第一行和系数 1、4、23 对应的图 2 中的其次行的意义即可解答问题 . 解 由图 1 所列出方程的意义,可知在图 2 中第一行表示的数分别为 2、1、11,其次2 x y 11,行表示的数分别为 4、3、27.于是可以列出方程组 故应选 A. 4 x 3 y 27.说明 求解此题肯定要在图 1 的基础上弄清晰每一个图案所表示的详细数,才能精确地解答问题 . 二、学校同学就餐问题名师归纳总结 例 2（济南市） 某高校共有5 个大餐厅和2 个小餐厅, 经过测试： 同时开放 1 个大餐厅、第 1 页,共 4 页2 个小餐厅,可供1680 名同学就餐；同时开放2 个大
5、餐厅、 1 个小餐厅,可供2280 名同学- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载就餐 . （1）求 1 个大餐厅、 1 个小餐厅分别可供多少名同学就餐；（2）如 7 个大餐厅同时开放,能否供全校的 5300 名同学就餐？请说明理由 . 分析（ 1）认真分析题意,题目中供应了两个等量关系,即一是开放 1 个大餐厅、 2 个小餐厅,可供 1680 名同学就餐； 二是开放 2 个大餐厅、 1 个小餐厅, 可供 2280 名同学就餐 .这样如设 1 个大餐厅可供 x 名同学就餐, 1 个小餐厅可供 y 名同学就餐,就可以列出二元一次方程组求解了
6、.（2）有了第（ 1）小问,只要算一下 5 个大餐厅和 2 个小餐厅共容纳的人数,再与 5300 比较即可 . 得解（ 1）设 1 个大餐厅可供x 名同学就餐, 1 个小餐厅可供y 名同学就餐,就依据题意,x2y1680,2xy2280.解这个方程组,得x960,y360.答1 个大餐厅可供960 名同学就餐, 1 个小餐厅可供360 名同学就餐 . （2）由于960 5+360 255205300,所以假如同时开放7 个餐厅,能够供全校的5300 名同学就餐 . 说明 此题中的两个等量关系是比较明显的,只是在处理第 （2）小问时要借助于第 （ 1）小问的结果,通过适当的运算,才能加以判定 .
7、 三、情形对话问题例 3（娄底市）小英和小强相约一起去某超市购买他们看中的随身听和书包你能依据他们的对话内容（如图 3）,求出他们看中的随身听和书包单价各是多少元吗？我知道随身听的单价 比书包的单价的 4 倍 少 8 元. 图 3 分析 依据对话知道两个等量关系,一是随身听和书包的单价之和是 452 元,二是随身听的单价比书包的单价的 4 倍少 8 元,这样如设书包的单价为 x 元,随身听的单价为 y 元,就可以依据题意列出一元一次方程组求解 . 解 设他们看中的书包的单价为 x 元,随身听的单价为 y 元 .就依据题意,得x y 452, x 92,解得y 4 x 8. y 360.答 他们
8、看中的随身听和书包单价各是 360 元和 92 元. 四、奥运“ 福娃” 和徽章例 4（海南省）某商场正在热销2022 年北京奥运会吉利物“ 福娃” 玩具和徽章两种奥名师归纳总结 运商品,依据如图4 供应的信息,求一盒“ 福娃” 玩具和一枚徽章的价格各是多少元？第 2 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 共计 145 元学习必备欢迎下载共计 280 元图 4 分析通过观看分析图2 所供应的信息可以知道两个等量关系：一是1 盒“ 福娃” 和2枚徽章共计价格是145 元,二是 2 盒“ 福娃” 和 3 枚徽章共计价格是280 元,这样依据题意即
9、可列出二元一次方程组求解.解设一盒“ 福娃” 玩具和一枚徽章的价格分别为x 元和 y 元. 就依据题意,得xx2y145,23y280.解这个方程组,得x125y10.答一盒“ 福娃” 玩具和一枚徽章的价格分别为125 元和 10 元. 说明原来情形对话型的应用题已经让同学们感爱好了,加之又给予时代气息的奥运“ 福娃” 和徽章,这样可以大大激发和提高同学们的解题才能. 五、表格信息例 5（乐山市）经营户小熊在蔬菜批发市场上明白到以下信息内容：他共用蔬菜品种红辣椒黄瓜西红柿茄子.批发价 元 / 公斤 4 1.2 1.6 1.1 零售价 元 / 公斤 5 1.4 2.0 1.3 116 元钱从市场
10、上批发了红辣椒和西红柿共44 公斤到菜市场去卖,当天卖完请你运算出小熊能赚多少钱？分析 要求小熊用 116 元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共 44 公斤到菜市场去卖能赚多少钱, 就得先求出红辣椒和西红柿各批多少公斤,由表中供应的信息红辣椒和西红柿的价格分别是 4 元/公斤和 1.6 元/公斤, 而红辣椒和西红柿共 44 公斤, 这样即可依据题意即可列出二元一次方程组求解 . 解 设小熊在市场上批发了红辣椒 x 公斤,西红柿 y 公斤 . x y 44就依据题意,得4 x 1.6 y 116解这个方程组,得 x19,y 25.252+19 511629（元） . 答 他卖完这些西红柿和红辣椒能
11、赚 29 元. 说明 当一个问题直接求解有困难时,不妨换一种思维,间接求解 .此题中通过先分别求出红辣椒和西红柿的重量即可使问题获解 . 六、开放型问题名师归纳总结 例 6（吉林省）如图5,在 3 3 的方格内,填写了一些代数式和数. x,y 的值；第 3 页,共 4 页（1）在图（ 1）中各行、各列及对角线上三个数之和都相等,请你求出- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）把满意（ 1）的其它 6 个数填入图（ 2）中的方格内 . 2x3 2 3 2 y3 3 4y（1）（2）图 5 分析 依题意可知图（1）中有两个等式：2x+3+
12、22+3+y,2x+3+2 2x+y+4y.由此可以列出二元一次方程组求解 . 2 x 3 4 y 3,x 1,解（ 1）由已知条件可得：解得y 4 y 5y 12 3 2 （2）由（ 1）可得如图 6 所示的表 . 5 1 3 0 1 4 图 6 说明 此题列方程组时有不同的列法,具有肯定开放性,虽然所列的方程组可能不同,但结果仍旧是一的 . 练习题：1,（益阳市）八年级三班在召开期末总结表彰会前,班主任支配班长李小波去商店买奖品,下面是李小波与售货员的对话：李小波：阿姨,您好！售货员：同学,你好,想买点什么？李小波：我只有100 元,请帮我支配买10 支钢笔和 15 本笔记本 . .售货员
13、：好,每支钢笔比每本笔记本贵2 元,退你 5 元,请清点好,再见依据这段对话,你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？2,（湘西自治州）在社会主义新农村建设中,某村积极响应党的号召,大力发动农户扩大烟叶和蔬菜的种植面积,取得了较好的经济效益今年该村烟叶和蔬菜的种植面积比去年增加了 800 亩,其中烟叶种植面积增加了 20%,蔬菜种植面积增加了 30%,从而使该村的烟叶和蔬菜种植面积共达到了4200 亩问该村去年种植烟叶和蔬菜的面积各是多少亩？参考答案：1,设该村去年种植烟叶和蔬菜面积各为 x 亩, y 亩,依据题意有：x y 4200 800 x 2200解得 答：该村去年种植烟叶和蔬菜的面积各是 2200 亩,20% g x 30% g y 800 y 12001200 亩. 名师归纳总结 2,设钢笔每支为x 元,笔记本每本y 元,据题意得xxy21005解方程组得x5第 4 页,共 4 页1015yy3答：钢笔每支5 元,笔记本每本3 元. - - - - - - -