《2022年复变函数与积分变换第六章课后的习题答案-.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年复变函数与积分变换第六章课后的习题答案-.docx（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载习题六1. 求映射w1下,以下曲线的像. i= +ivz1 2 xy2ax a0,为实数 解：w1x1iyx2xy2x2yy2zux2xy2x1, axau1 a. 所以w1将x2y2ax 映成直线z2 ykx k 为实数 kxy2解：w1x2xy2x2yy2izux2xy2vx2yy2x2vku故w1将 ykx 映成直线 vku . z2. 以下区域在指定的映射下映成什么？名师归纳总结 （ 1） Imz0,w1iz ；1为半径的圆 第 1 页,共 7 页解：w1i xi xyi + uxy vxy.uv2y0.所以 ImwR
2、e w . 故w1iz 将 Im 0,映成 ImwRe w . 2 Re z0. 0Imz0, 0 y0. Imw0. 如 w=u+i v, 就yu2uv2,xu2vv2由于 0y0, 0Imz0,Im w0, w11 以（1 2,0 ）为圆心、222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载3. 求 w=z 2 在 z=i 处的伸缩率和旋转角,问 w=z 2 将经过点 z=i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w平面上哪一个方向？并作图. 旋转角 arg w = 2. . 如图解：由于 w =2z, 所以 w i= 2i , |w |=2
3、, 于是 , 经过点 i 且平行实轴正向的向量映成w平面上过点 -1 ,且方向垂直向上的向量所示 . 4. 一个解析函数,所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转角的不变性？映射w=z2 在z 平面上每一点都具有这个性质吗？答：一个解析函数所构成的映射在导数不为零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射2 w=z在 z=0 处导数为零,所以在z=0 处不具备这个性质. 5. 求将区域 0x0. 解： 1 Re z=0 是虚轴,即z=i y 代入得 . wiy11i 21y2i12y2iy11y21y2y写成参数方程为u1y2,v12y2, y1y2y消去 y 得,像曲线方程为单位圆, 即i 2ei
4、2eu 2+v2=1. 2 |z|=2. 是一圆围,令zi 2e ,02. 代入得1u53u54sin024cos4cos消去得,像曲线方程为一阿波罗斯圆. 即 u52v24 2 33 3 当 Imz0 时,即w1zImw10, w1w1令 w=u+i v 得Imw1Im u1iv u2vv20. w1 u1iv12即 v0, 故 Im z0 的像为 Imw0. 9. 求出一个将右半平面Rez0 映射成单位圆 | w|0. 故表示wiezz在单位圆内处的旋转角 argw. 111. 求将上半平面Imz0, 映射成 | w|0, 映为单位圆 | w|1 的一般分式线性映射为w=kz zIm1 由
5、 f i=0得=i ,又由 argfi0, 即f i ez2i2, ifi1ei0,得,所以222wizi. zi2 由 f 1=1, 得 k=1 1；由 f i= 1, 得 k=i联立解得55iw3 +5z2i. 52i312. 求将 | z|1 映射成 | w|1 的分式线性变换1 f 2=0, f -1=1. 2, 2 f 1 2=0, argf23 f a= a, argf . w=f z ,并满意条件：解：将单位圆 | z|1 映成单位圆 | w|1 的分式线性映射,为名师归纳总结 wie1zz , |1. . 第 4 页,共 7 页1 由 f 1 2=0 ,知1 2. 又由 f -
6、1=1 ,知i e11 21 2i e 11i e11故w1z1 22z1 2. 1z 2z- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 由 f 1 2=0 ,知1,又w精品资料4z欢迎下载i e5 22z 2f 12 e i 4 arg f 12 ,3 2于是 w e i 1 z2 z 12 i 22 zz 1 . 3 先求 = z ,使 z=a 0 , arg , 且| z|1 映成 | |1. 就可知 = = e i z a1 a z再求 w=g ,使 =0 w=a, arg g 0 0 , 且| |1 映成 | w|1. 先求其反函数 = w , 它使
7、 |w|1 映为 | |1, w=a 映为 =0,且arg arg1/ g 0 0 , 就= = w a . 1 a w因此,所求 w由等式给出 . w a= e i z a . 1 a w 1 a z13. 求将顶点在 0,1,i 的三角形式的内部映射为顶点依次为 0,2,1+i 的三角形的内部的分式线性映射 . 解：直接用交比不变性公式即可求得名师归纳总结 w01 1i0=z0i i04| w|10 且使 f 5=-4的分式线性映射. 第 5 页,共 7 页w2i2z21ww2.11ii2=zz1.ii1wi14zi. z114. 求出将圆环域2| z|2 映为 | w|10. 又 w=f
8、 z将 | z|=5 映为 | w|=4 ,将 z=2 映为 w=-10 ,所以将 | z|4 ,由此确认,此函数合乎要求. x12y21映射到 w平面上的什么曲线？15. 映射w2 z 将 z 平面上的曲线24解：略 . 16. 映射 w=e z将以下区域映为什么图形 . 1 直线网 Rez= C1,Im z= C2; 2 带形区域Im ,02; 3 半带形区域Re 0,0Im ,02. 解：（1） 令 z=x+i y, Re z=C1, 名师归纳总结 z=C1+i yw= eC 1i ey, Im z= C2, 就第 6 页,共 7 页z=x+i C2w= exi eC 2故w= e z将
9、直线 Rez 映成圆周e C ；直线 Im z= C2映为射线C . （2） 令 z=x+i y,y, 就w= ezex iyexi ye ,y故w= e z将带形区域Im 映为argw的张角为的角形区域 . （3） 令 z=x+i y,x0, 0y0,0Im z1, 0arg w 02. 17. 求将单位圆的外部| z|1 保形映射为全平面除去线段-1Re w1 映为 | w1|1, 再用分式线性映射. zw 2iw 11将| w1|0, 然后用幂函数w 3w22映为有割痕为正w 11实轴的全平面,最终用分式线性映射ww 31将区域映为有割痕-1,1的全平面 . w 31- - - - -
10、- -精选学习资料 - - - - - - - - - 故ww 312 w 21iw 1121精品资料11z欢迎下载1 z121 z. w 111 z112 w 21iw 11211 z1212w 3w 111 z118. 求出将割去负实轴 Re 0 ,Im z=0 的带形区域 Im 映射为半带2 2形区域 Im w ,Re w0 的映射 . 解：用 w 1 e z将区域映为有割痕 0,1 的右半平面 Rew10；再用 w 2 ln w 1 1 将半平面w 1 1映为有割痕 -,-1 的单位圆外域；又用 w 3 i w 将区域映为去上半单位圆内部的上半平面；再用 w 4 ln w 将区域映为半
11、带形 0Im w40 ；最终用 w 2 w 4 i 映为所求区域,故wlnz e1. Im w0 的映射 . z e119. 求将 Im z1 去掉单位圆 | z|1 保形映射为上半平面解：略 . 20. 映射wcosz 将半带形区域0Rez0 保形映射为平面上的什么区域. 解：由于wcosz1eizeiz2可以分解为名师归纳总结 w1=i z ,w 2ew 1,w 31w 21第 7 页,共 7 页2w 2由于wcosz 在所给区域单叶解析,所以（1） w1=i z 将半带域旋转,映为 0Im w1 ,Re w10. 2（2）w 2ew 1将区域映为单位圆的上半圆内部| w2|0. （3）w1w 21将区域映为下半平面Imw0. 2w 2- - - - - - -