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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 20XX 年全国中学数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,挑选题和填空题只设7 分和 0 分两档；其次试各题,请根据本评分标准规定的评分档次给分.假如考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,赐予相应的分数 . 第一试（一、挑选题（此题满分42 分,每道题7 分）就33 a12a26 a121. 设a71,）D. 4 7C. 4 710. 12. A.24. B. 25. 【答】 A. 由a71,得a282 762 a,故a22a6.所以ABD3 a312 a
2、26 a123 a a22 6 a26 a126a212a1266 1224. 2 在 ABC中,最大角A 是最小角 C 的两倍,且AB 7, AC 8,就BC （）A. 7 2 . B. 10. C. 105 . D. 7 3 . 【答】 C. 延长 CA 至 D,使 AD AB ,就D =ABD =1CAB =C,所以2 CBD DAB ,所以BD AB=CD,故BD2AB CD7 87 105,所BD以 BD105 . 又由于CD ,所以BCBD105. C3 用 x表 示 不 大 于 x 的 最 大 整 数 , 就 方 程2 x2x30 的 解 的 个 数 为（）A.1. B. 2.
3、C. 3. D. 4. 【答】 C. 名师归纳总结 1由 方 程 得x232x , 而 x , 所 以x232x , 即x22x30, 解 得第 1 页,共 10 页x3,从而 x 只可能取值1,0,1,2,3 . 当 1时,2 x1,解得x1；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 0时,x23,没有符合条件的解；当 1时,x25,没有符合条件的解；第 1 页（共 8 页）当 2时,x27,解得x7；20XX 年全国中学数学联合竞赛试题参考答案及评分标准三当 3时,x29,解得x3. 为因此,原方程共有3 个解 . 4设正方形 ABCD 的中心为点O,
4、在以五个点A、B、C、D、O 为顶点所构成的全部角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率（）A.3 14. B. 3 7. C. 1 2. D. 4 7. 【答】 B. 不妨设正方形的面积为1.简单知道,以五个点A 、B、C、D、O 为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形,它们可以分为两类：（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形 ABCD 的四个顶点之一,这样的三角形有 4个,它们的面积都为 1；2（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形 ABCD 的中心 O,这样的三角形也有 4 个,1它们的面积都为 . 4所以以五个点 A、B、C、D、O 为顶点可以构成 448 个三角形,从中任意取出两个,
5、共有 28 种取法 . 名师归纳总结 要使取出的两个三角形的面积相等,就只能都取自第（1）类或都取自第（2）类,不AED同的取法有12 种. 因此,所求的概率为123. 2875如图,在矩形ABCD 中, AB 3,BC 2,以 BC 为直径在矩形内作半圆,自点A作半圆的切线AE,就siCBE（）A.6. B. 2 3. C. 1 3. D. 10. 310【答】D. 设 BC 的中点为 O,连接 OE、CE. 由于 ABBC,A EOE,所以 A、B、O、E 四点共圆,故BAE COE. 又 AB AE,OC=OE,所以AB E OCE,因此CE BE=OC1,即 BE3CE . AB3BC
6、O第 2 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又 CE BE,所以BC =2 BE +CE2=10 CE ,故 sinCBECE BC=10. 10（6 设 n 是 大 于1909 的 正 整 数 , 使 得n1909为 完 全 平 方 数 的 n 的 个 数 是2022n）C. 5. D. 6. A.3. B. 4. 【答】 B. 100 a设 2022na , 就n1909100a1 001 a, 它 为 完 全 平 方 数 , 不 妨 设 为2022na1m2（其中 m为正整数）,就100m21. a验证易知,只有当m1,2,3,7
7、时,上式才可能成立.对应的 a 值分别为 50,20,10,2. 因此,使得n1909为完全平方数的n共有 4 个,分别为1959,1989,1999,2007. 2022n20XX 年全国中学数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 2 页（共 8 页）二、填空题（此题满分28 分,每道题7 分）21已知 t 是实数,如 a b是关于 x 的一元二次方程 x 2 x t 1 0 的两个非负实根,就 a 21 b 21 的最小值是 _. 【答】3 .由于 a b 是关于 x 的一元二次方程 x 22 x t 1 0 的两个非负实根,所以2 2 4 t 1 0,ab t 1 0, 解得 1 t 2
8、. a b 2,2 2 2 2 2 2 2 a 1 b 1 ab a b 1 ab a b 2 ab 12 2 t 1 4 2 t 1 1 t 4,当 t 1 时, a 21 b 21 取得最小值 3 . 2 设 D 是 ABC 的边 AB 上的一点,作 DE/BC 交 AC 于点 E,作 DF/AC 交 BC 于点 F,已知ADE 、 DBF 的面积分别为 m和 n ,就四边形 DECF 的面积为 _. 【答 】 2 mn . 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - A设 ABC 的面积为 S , 就由于ADE ABC
9、 ,所以ADSADE. DFECABS又由于BDF BAC ,所以BDSBDF. BABS两 式 相 加 得SADESBDFADBD1, 即mn1, 解 得SSABABSSSmn2. 所以四边形DECF 的面积为mn2mn2mn . 3假如实数a b 满意条件a2b21,|12 ab| 2a1b 2a ,就 a 2b_. 【答】1. 由于a2b21,所以1a1,1b1.由|12 ab| 2 a1b22 a 可得|12 ab|b2a22 a1 1a2a22 a12a22a ,从而2a22 a0,解得1a0. 从而 12 ab0,因此12ab2a22 a ,即1b2 a221b2,整理得2 b2b
10、30,解得b1（另一根b3舍去） . 2把b1代入1b22 a 运算可得a0,所以ab1. 20XX 年全国中学数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 3 页（共 8 页）4已知a b 是正整数,且满意21515是整数,就这样的有序数对 , a b 共有ab_对. 名师归纳总结 【答】7. 15k（ k 为正整数）,就15k2115k15 a,故15为有理数 . 第 4 页,共 10 页设15 ab2b4aa令15 a2 q,其中p q 均为正整数且 , .从而2 aq152 p ,所以q2 |15,故p2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - q1,所以15
11、1. ap同理可得p151（其中 m为正整数）,就1 p1k. 4,4或（ 3,6）bmm2又m1,1,所以k112,所以k1,2,3,4. 2pm（1）k1时,有1 p11,即 p2m24,易求得 , p m m2或（ 6,3）. （2）k2时,同理可求得 , p m 2,2. （3）k3时,同理可求得或（ 1,2）. , p m 2,1（4）k4时,同理可求得. , p m1,1因此,这样的有序数对 , a b 共有 7 对,分别为（ 240,240）,（135,540）,（ 540,135）,（60,60）,（60,15）,（15,60）,（15,15）. 其次试（A）一（此题满分 20
12、 分）已知二次函数 y x 2bx c c 0 的图象与 x 轴的交点分别为 A 、B,与y轴的交点为 C.设 ABC 的外接圆的圆心为点 P. （1）证明： P 与 y 轴的另一个交点为定点 . （2）假如 AB 恰好为 P 的直径且 SABC2,求 b 和 c 的值 . 解（1）易求得点 C 的坐标为 0, c ,设 A ,0x 1,B x 2 ,0,就 x 1 x 2 b , 1 x x 2 c . 设 P 与 y 轴的另一个交点为D,由于 AB 、CD 是 P 的两条相交弦, 它们的交点为点OA OB x x 2 cO,所以 OA OB OC OD,就 OD 1 . OC c c由于
13、c 0,所以点 C 在 y 轴的负半轴上,从而点 D 在 y 轴的正半轴上,所以点 D 为定 点,它 的 坐 标 为0,1. 10 分名师归纳总结 20XX 年全国中学数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 4 页（共 8 页）第 5 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）由于 ABCD,假如 AB 恰好为 P 的直径,就 C、D 关于点 O 对称,所以点 C 的坐标为 0, 1,即c1. 15 分b又ABx 1x 2x 1x 224x x 2,b24cb24,所以得SABC1AB OC1b24 12 22解2 3. 20 分二（此题满
14、分25 分） 设 CD 是直角三角形ABC 的斜边 AD 上的高,1I 、2I 分别是BADC 、 BDC的内心, AC3,BC4,求1I2I . 解作1I EAB 于 E,2I FAB 于 F. F在直角三角形ABC 中, AC 3,BC4,AB =2 AC +BC25 . AEDI1I2C又 CD AB ,由射影定理可得A D =AC29,故BD = ABAD16,5AB5 CD =AC2AD212. 5 5 分由于1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径,所以1I E 1 2ADCDAC3. 5 10 分连接 D1I 、D2I ,就 D1I 、D2I 分别是 ADC 和 BDC 的平
15、分线,所以1I DC 1I DA2I DC2I DB 45 ,故1I D2I 90 ,所以1I D2I D,3DI1sinI E153 2. ADIsin 455 15 分名师归纳总结 同理,可求得I F4,第 6 页,共 10 页5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - D I24 2. 20 分5所以1I2I25 分D I2D I22 . 12三（此题满分25 分） 已知a b c 为正数,满意如下两个条件：abc32bcacababc1bccaab48,证明：以a,b,c 为三边长可构成一个直角三角形. 证法 1将两式相乘,得bcacababcabcb
16、ccaab即bc2ba220XX 年全国中学数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 5 页（共 8 页）ca2b2ab2c28, 10 分bcc2caaba24ca 2b24ab2c20,即bccaab即bc 2ba2ca2b2aab2c20, 15 分bccaab即ca bcacab cababcabc 0,bccaab即bca a bcb cbab c ac 0,abc即bca2aba2b2c20,即bca2 cab2 0,abcabc即bca cabcab0, 20abc分名师归纳总结 c所 以bca0或cab0或cab可0, 即 b一a个c或 c角ab 或第 7 页,共 10 页a,三b
17、a . ,以b ,c为边长构成直三角因此- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 形. 25 分证法 2结合式,由式可得322a322b322c1,b22 c1abcbccaab4变形,得10242a24 10 分b22 c10242 abbcca ,又由式得abc 21024,即a2代入式,得1024210242abbcca1 4abc ,即abc16abbcca4096. 15分 a16 b16c16abc16 abbcca256abc 1634096256321630 , 20 分所以a16或b16或c16. HB结合式可得bac 或 cab 或 cba
18、 . 因此,以a,b,c为三边长可构成一个直角三角形. 25 分其次试（B）一（此题满分20 分）题目和解答与（A）卷第一题相同. A二 （此题满分25 分） 已知 ABC 中, ACB 90 ,AB 边上的高线CH 与 ABC 的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P、Q 两点 .PM 、QN 的中点分别为 E、F.求证： EF AB. ABNCBN . NFQP解由于 BN 是 ABC 的平分线,所以M又由于 CHAB ,所以ECQNBQH90ABN90CBNCNB ,C20XX 年全国中学数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 6 页（共 8 页）因此 CQNC . 10 分又 F 是 Q
19、N 的中点,所以CFQN ,所以CFB90CHB ,因此 C、F、H、B四点共圆 . 15 分名师归纳总结 上. 又FBH =FBC, 所 以FC FH , 故 点F在CH的 中 垂 线第 8 页,共 10 页 20 分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 同理可证,点 E 在 CH 的中垂线上 . 因此 EFCH. AB. 又ABCH,所以EF. 25 分三（此题满分25 分）题目和解答与（A）卷第三题相同.其次试（C）一（此题满分20 分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二（此题满分25 分）题目和解答与（B）卷其次题相同.三（此题满分25 分） 已知
20、a b c 为正数,满意如下两个条件：abc32bcacababc1bccaab48是否存在以a,b,c 为三边长的三角形？假如存在,求出三角形的最大内角解法 1将两式相乘,得bcacababcabc,bccaab即bc2ba2c2a2b2ab2c28,c2 10 分bccaab即c2a4ca 2b24ab20,bccaab即bc 2ba2ca2b2aab2c20, 15 分bccaab即ca bcacab cababcabc 0,bccaab即bca a bcb cbab c ac 0,abc即bca2aba2b2c20,即bca2 cab2 0,abcabc即bca cabcab0, 20
21、 分abcc所 以bca0或cab0或cab0, 即 bac或 cab 或ba . 20XX 年全国中学数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 7 页（共 8 页）名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 因此,以a,b,c 为三边长可构成一个直角三角形,它的最大内角为90 . 25 分解法 2结合式,由式可得322a322b322c1,bccaab4变形,得10242a2b22 c1 4abc 10 分又由式得abc 21024,即a2b2c 210242 abbcca ,代入式,得1024210242abbcca1 4abc ,即abc16abbcca4096. bcca 15 分abc16 ab256abc 163 a16 b16c164096256321630 , 20 分所以a16或b,16或c16. 90 . 结合式可得bac 或 cab 或 cba . 因此,以a,bc 为三边长可构成一个直角三角形,它的最大内角为 25 分名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页