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1、高等数学精品课程向量代数部分电子教案第 1 页 共 29 页第六章空间解析几何教学目的：理解空间直角坐标系的概念。难点：卦限的划分及点的坐标特点，空间点与数组的对应关系重点：空间直角坐标系；距离公式6.1 空间直角坐标系一、直线上的坐标系有向线段1.直线上的坐标系中学代数和解析几何课程里， 曾经介绍过数轴和直线上坐标系的概念。在直线上，任意选定一个原点，一个正向（正向有两种可能的情形），和一个单位长度，该直线就叫做数轴。原点 O 把直线分为两个有向半线， 从 O 出发，沿正向的半线叫做正半轴，沿相反方向的半线叫做负半轴。直线上任意一点P可以用这样一个实数x 表示：1)当 P和 O 重合(P=O
2、)时，x=0 2)0POOP当而在正半轴上时 ,x=3)0POOP当而在负半轴上时 ,x=-在这里， OP 表示线段 OP 的长；在一切情况下， |x|=0OP。直线上的点和实数之间建立了一种“ 一一对应关系 ” ， 即不但直线上每一点P 之间确定唯一的一个实数x,而且倒转过来一个实数x 显然也确定直线上唯一的一点P，因此，直线称为数轴。在这里，OP 表示线段 OP 的长；在一切情况下， |x|= 0OP,直线上的点和实数之间建立了一种“一一对应关系”，即不但直线上每一点P 之间确定唯一的一个实数x,而且倒转过来一个实数x 显然也确定直线上唯一的一点 P，因此，直线称为数轴。由上可知，对应于数
3、轴上一点P 的实数 x 也叫做 P 点的坐标，这个事实我们用P(x)表示这样，数轴也可以称为坐标轴，用O x 表示。换句话说，在直线上，一个原点，一个正向，一个单位长就确定了它上面的一个坐标系。2. 有向线段坐标轴 O x 是有向线段，它上面的线段也可以是有向线段：若P1, P2为 O x 上任o 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学精品课程向量代数部分电子教案第 2 页 共 29 页意两点，我们用21
4、PP表示由 P1到 P2的有向线段（用 AB 表示有向线段，以便和下一节的向量记号一致，因为有向向段本质上是向量）； P1是它的始点， P2是为它的终点。此外我们用P1 P2代表有向线段在坐标轴 O x 的代数长。其定义如下：1）若 P1,=P2，令021PP（0 表示零线段），则021PP2）若21PP与 O x 方向相同，则2121PPPP3）若21PP与 O x 方向相反，则2121PPPP由定义易验证等式：12211221,PPPPPPPP（1）若 P1,P2,P3为 Ox 轴上任意三点，则有向线段21PP的终点总是有向线段32PP的始点，因此无论这三点在Ox 轴上的顺序始何，很自然地
5、令31PP为它们的和)1()2(0, 0)2(,31133221133221313221313221即时当或，PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP根据数轴 Ox 上一点的坐标的定义和有向线段代数长的定义，若 P 点坐标是 X，则它就是有向线段xOPOP:的代数长(3) 定理Ox 轴上有向线段21PP的代数长等于终点坐标减去始点坐标，即1221xxPP（4）证明根据（ 3） ，有2211,xOPxOP(5) 根据（ 2）又有2121OPOPPP(6) 根据（ 1） ， （5）有22111,xOPxOPOP代入（ 6）得（ 4）的证明。由上述定理，可以看出有向线段的长是|2121x
6、xPP二 、空间直角坐标系1. 直角坐标系的建立过空间定点O作三条互相垂直的以O为原点的数轴：Ox轴 （横轴） 、 Oy轴(纵名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学精品课程向量代数部分电子教案第 3 页 共 29 页x横轴y纵轴z竖轴定点o图 6-1 轴),Oz 轴( 竖轴)，统称为坐标轴它们的顺序按下述右手规则确定：以右手握住 z轴，让右手的四个手指从x轴正向以2/角度转向y轴正向时，大姆指的指向就是z 轴
7、的正向这样就构成了一个空间直角坐标系，如图61 所示点O称为坐标原点 ( 或原点 ) ，每两条坐标轴确定一个平面， 称为坐标平面由 x轴与y轴确定的平面称为xOy平面，类似地有yOz平面和zOx平面0 xyz0 xyz0 xzy0 xyz名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学精品课程向量代数部分电子教案第 4 页 共 29 页为统一起见 , 我们用右手法则确定其正向. 三个坐标平面将整个空间分成八个部分，每一
8、部分叫做一个卦限 含有三个坐标轴正半轴的那个卦限叫做第卦限，其它第、第、第卦限，在xOy平面的上方，按逆时针方向确定第、卦限下面的空间部分分别称为第、卦限 ( 图 62)2. 空间点与数组的一一对应设M为空间任意一点，过点M分别作垂直于三坐标轴的平面，与坐标轴分别交于P、Q、R三点(图 63)设这三点在 x轴、y轴和 z 轴上的坐标分别为 x 、y和 z则点M唯一确定了一个三元有序数组),(zyx；反之，设给定一组三元有序数组),(zyx，在 x 轴、y轴和 z 轴上分别取点P、Q、R，使得yOQxOP,，zOR，然后过P、Q、R三点分别作垂直于x轴、y轴和 z 轴的平面，这三个平面相交于点M
9、，即由一个三元有序数组),(zyx唯一地确定了空间的一个点M于是，空间的点M和三元有序数组),(zyx之间建立了一一对应的关系，我们称这个三元有序数组为点M的坐标，记为),(zyxM，并依次称O x y z xyozxoy面yoz面zox面图 6-2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学精品课程向量代数部分电子教案第 5 页 共 29 页x、y和 z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标显然，原点O的坐标为)0,0
10、 ,0(；x轴、y轴和 z 轴上点的坐标分别为)0,0,(x、)0,0(y、),0 ,0(z；xOy平面、yOz平面和zOx平面上点的坐标分别为)0 ,(yx、),0(zy和),0,(zx3空间两点间的距离设),(1111zyxM、),(2222zyxM为空间任意两点，过点21MM 、各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面围成一个以21MM为对角线的长方体( 图 64) 由立体几何知，长方体的对角线的长度的平方等于它的三条棱的长度的平方和，即22221221NMPNPMMM221221221RRQQPP212212212zzyyxx由此得空间任意两点间的距离公式：21221221221
11、)()()(zzyyxxMMxyzo( ,0,0)P x(0, ,0)Qy(0,0,)Rz(,)Mxyz图 6-3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学精品课程向量代数部分电子教案第 6 页 共 29 页图 6-4 例 1 求点) 1, 1 ,2(M到y轴的距离解过点M作y轴的垂线，其垂足点P的坐标为)0, 1 ,0(，所以5)01()11()02(222MP 6.2 向量及其坐标表示法一、向量概念及加减法
12、1.向量概念向量在研究力学、物理学以及其他应用科学时常会遇到这样一类量它们既有大小又有方向例如力、力矩、位移、速度、加速度等这一类量叫做向量在数学上用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量有向线段的长度表示向量的大小有向线段的方向表示向量的方向.向量的符号以 A 为起点、 B 为终点的有向线段所表示的向量记作AB向量可用粗体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如a、r、v、F 或a、r、v、F自由向量由于一切向量的共性是它们都有大小和方向所以在数学上我们只研究与起点无关的向量并称这种向量为自由向量简称向量因此如果向量 a 和 b的大小相等且方向相同则说向量a 和 b 是相等的记为 a b
13、 相等的向量经过平移后可以完全重合向量的模向量的大小叫做向量的模向量 a、a、AB的模分别记为 |a|、|a 、|AB单位向量模等于 1 的向量叫做单位向量零向量模等于 0 的向量叫做零向量记作 0 或0零向量的起点与终点重合它的方向可以看作是任意的z Q1 P1 P2 x O y N S M1 M2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学精品课程向量代数部分电子教案第 7 页 共 29 页向量的平行两个非零
14、向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量a与 b 平行记作 a / b零向量认为是与任何向量都平行当两个平行向量的起点放在同一点时它们的终点和公共的起点在一条直线上因此两向量平行又称两向量共线类似还有共面的概念设有 k(k 3)个向量当把它们的起点放在同一点时如果 k 个终点和公共起点在一个平面上就称这 k 个向量共面2.向量的加减法向量的加法设有两个向量a 与 b平移向量使b 的起点与a 的终点重合此时从a的起点到 b的终点的向量c 称为向量 a 与 b的和记作 a+b 即 c a+b . 三角形法则上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则平行四边形法则当向量 a 与 b不
15、平行时平移向量使a 与 b的起点重合以 a、 b为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a 与 b的和 a b向量的加法的运算规律(1)交换律 a b b a(2)结合律 (a b) c a (b c)由于向量的加法符合交换律与结合律故 n 个向量 a1a2an(n3)相加可写成a1a2an并按向量相加的三角形法则可得 n 个向量相加的法则如下使前一向量的终点作为次一向量的起点相继作向量a1a2an再以第一向量的起点为起点最后一向量的终点为终点作一向量这个向量即为所求的和负向量设 a 为一向量与 a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量记为a向量的减法我们规定两个向量b 与 a
16、的差为b a b ( a)即把向量a 加到向量 b 上便得 b 与 a 的差 b a特别地当 b a 时有a a a ( a) 0显然任给向量AB 及点 O有bababababacABCABCbaDc名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学精品课程向量代数部分电子教案第 8 页 共 29 页AOOBOBOAAB因此若把向量 a 与 b移到同一起点O则从 a 的终点 A 向 b 的终点 B 所引向量 AB 便是向
17、量 b 与 a 的差 b a三角不等式由三角形两边之和大于第三边的原理有|a b| |a| |b|及|a b| |a| |b|其中等号在b 与 a 同向或反向时成立3向量与数的乘法向量与数的乘法的定义向量 a 与实数的乘积记作a规定a是一个向量它的模 | a| | |a|它的方向当0 时与 a 相同当 0, 其中 S 表示平面上以 a,b 为边的平行四边形的面积，于是由数量积定义，有(a b).c= | c|Scos而 (a b).cS.|c|cos其中 |c|cosh 正好是以a,b,c为边的平行六面体的高（底面在上），因此(a b).cS.h=v 当 a,b,c构成右手系时，20|c|co
18、s|c|cosh, (ab).c=V 当 a,b,c构成左手系时，2|c|cos|c|cosh, (a b).c=-V 证毕由此可知，有a b c abh 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学精品课程向量代数部分电子教案第 17 页 共 29 页推论三向量 a,b,c共面的充要条件是abc=0 2. 混合积的坐标表示法设任意三向量,333222zyxczyxbzyxa可知 a b=221122112211
19、,yxyxxzxzzyzy（ab）.c=322113221132211zyxyxyxzxzxzyzy即abc=333222111zyxzyxzyx例己知 三个不共面的向量1,0,1,2，-1 ，3 ，4 ，3，0，求它们所做的四面体的体积. 解由立体几何知识，四面体的体积应为平行六面体体积的61, 所以四面体体积为6103431210161 6.4 空间中的平面与直线一、空间中的平面及方程1平面的点法式方程法线向量如果一非零向量垂直于一平面这向量就叫做该平面的法线向量容易知道平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直唯一确定平面的条件当平面上一点 M0(x0y0z0)和它的一个法线向量n (A
20、B C)为已知时平面的位置就完全确定了平面方程的建立设 M (xyz)是平面上的任一点那么向量MM0必与平面的法线向量 n 垂直即它们的数量积等于零00MMn由于n (A B C),(0000zzyyxxMM所以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学精品课程向量代数部分电子教案第 18 页 共 29 页A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0这就是平面上任一点 M 的坐标 x y z所满足的方程反
21、过来如果 M (x y z)不在平面上那么向量MM0与法线向量n 不垂直从而00MMn即不在平面上的点 M 的坐标 x y z不满足此方程由此可知方程A(x x0) B(y y0) C(zz0) 0 就是平面的方程而平面就是平面方程的图形由于方程 A(x x0) B(y y0) C(zz0) 0是由平面上的一点 M0(x0y0z0)及它的一个法线向量 n (A B C)确定的所以此方程叫做平面的点法式方程例 1 求过点 (23 0)且以 n (12 3)为法线向量的平面的方程解 根据平面的点法式方程得所求平面的方程为(x 2) 2(y 3) 3z 0即x 2y 3z 8 0例 2 求过三点M1
22、(21 4)、M2( 1 32)和 M3(0 2 3)的平面的方程解 我们可以用3121MMMM作为平面的法线向量n因为)6, 4, 3(21MM) 1,3,2(31MM所以kjikjin9141326433121MMMM根据平面的点法式方程得所求平面的方程为14(x 2) 9(y 1) (z 4) 0即14x 9y z 15 02.平面的一般方程由于平面的点法式方程是x y z的一次方程而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定所以任一平面都可以用三元一次方程来表示反过来设有三元一次方程Ax By Cz D0我们任取满足该方程的一组数x0y0z0即Ax0By0Cz0D 0把上述两等式
23、相减得A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0这正是通过点M0(x0y0z0)且以 n (A B C)为法线向量的平面方程由于方程Ax By Cz D0与方程A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0 同解所以任一三元一次方程Ax By Cz D 0 的图形总是一个平面方程 Ax By Cz D 0 称为平面的一般方程其中 x y z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标即n (A B C)例如方程 3x 4y z 9 0 表示一个平面n (34 1)是这平面的一个法线向量讨论考察下列特殊的平面方程指出法线向量与坐标面、坐标轴的关系平面通过的特殊点或线名师资料总结 - -
24、 -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学精品课程向量代数部分电子教案第 19 页 共 29 页P P d P0P0Ax By Cz 0By Cz D 0Ax Cz D 0Ax By D 0Cz D 0Ax D 0By D 0提示D 0 平面过原点n (0 B C)法线向量垂直于x 轴平面平行于x 轴n (A 0 C)法线向量垂直于y 轴平面平行于y 轴n (A B 0)法线向量垂直于z 轴平面平行于z 轴n (0 0 C)法线向
25、量垂直于x 轴和 y 轴平面平行于xOy 平面n (A 0 0)法线向量垂直于y 轴和 z 轴平面平行于yOz 平面n (0 B 0)法线向量垂直于x 轴和 z 轴平面平行于zOx 平面例 3 求通过 x 轴和点 (431)的平面的方程解 平面通过x 轴一方面表明它的法线向量垂直于x 轴即 A 0另一方面表明它必通过原点即 D 0因此可设这平面的方程为By Cz 0又因为这平面通过点(431)所以有3B C 0或C3B将其代入所设方程并除以B (B 0)便得所求的平面方程为y 3z 03平面的截距式方程例 4 设一平面与x、y、 z轴的交点依次为P(a 0 0)、Q(0 b 0)、R(0 0
26、c)三点求这平面的方程 (其中 a 0 b 0 c 0)解 设所求平面的方程为Ax By Cz D0因为点 P(a 0 0)、Q(0 b 0)、R(0 0 c)都在这平面上所以点 P、Q、R 的坐标都满足所设方程即有, 0, 0,0DcCDbBDaA由此得aDAbDBcDC将其代入所设方程得0DzcDybDxaD即1czbyax上述方程叫做平面的截距式方程而 a、b、c 依次叫做平面在x、y、z 轴上的截距4. 点到平面的距离己知平面：Ax+By+Cz+D=0, 000111(,),(,), ,xyzx y znA B C011 00设P为平面外一点 P为平面上任意一点 , 则由射影定理可知P
27、P在法向量上的射影的绝对值即为 P到 的距离 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学精品课程向量代数部分电子教案第 20 页 共 29 页1111| |(,)Ax+By+Cz+D=0ndPxyz1010即P P射影P P而满足因此，1010101 0222010101222000|.|.| .|()()() | /| /nnnnPPnPPn PPdPPnnnA xxB yyC zzABCAxByCzDAB
28、C射影射影射影上式称为点P0到平面的距离公式5. 两平面的夹角两平面的夹角两平面的法线向量的夹角(通常指锐角 )称为两平面的夹角设平面1和2的法线向量分别为n1(A1B1C1)和 n2(A2B2C2)那么平面1和2的夹角应是),(21nn和),(),(2121nnnn两者中的锐角因此| ),cos(|cos21nn按两向量夹角余弦的坐标表示式平面1和2的夹角可由22222221212121212121| ),cos(|cosCBACBACCBBAAnn来确定从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论平面1和2垂直相当于A1 A2 B1B2 C1C20平面 1和 2平行或重合相当于2121
29、21CCBBAA例 5 求两平面x y 2z 6 0 和 2x y z 5 0 的夹角解 n1(A1B1C1) (11 2)n2(A2B2C2) (2 1 1)222222212121212121|cosCBACBACCBBAA211122) 1(1| 121) 1(21 |222222所以所求夹角为3例 6 一平面通过两点M1(1 1 1)和 M2(0 11)且垂直于平面x y z 0求它的方程解 方法一已知从点 M1到点 M2的向量为 n1( 102)平面 x y z 0 的法线向量为n2(1 1 1)设所求平面的法线向量为n (A B C)因为点 M1(1 1 1)和 M2(0 11)在
30、所求平面上所以 n n1即 A 2C 0 A2C又因为所求平面垂直于平面x y z 0所以 n n1即 A B C 0 B C于是由点法式方程所求平面为2C(x 1) C(y 1) C(z 1) 0 即 2x y z 0方法二从点 M1到点 M2的向量为 n1( 1 02)平面 x y z 0 的法线向量为n2(1 1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学精品课程向量代数部分电子教案第 21 页 共 29
31、页1)设所求平面的法线向量n 可取为 n1 n2因为kjikjinnn211120121所以所求平面方程为2(x 1) (y 1) (z 1) 0即2x y z 0例 7 设 P0(x0y0z0)是平面 Ax By Cz D 0 外一点求 P0到这平面的距离解 设 en是平面上的单位法线向量在平面上任取一点P1(x1y1z1)则 P0到这平面的距离为|01nPPde222101010| )()()(|CBAzzCyyBxxA222111000| )(|CBACzByAxCzByAx222000|CBADCzByAx提示),(1222CBACBAne),(10101001zzyyxxPP例 8
32、求点 (2 1 1)到平面x y z 1 0 的距离解222000|CBADCzByAxd222) 1(11| 11)1(1121 |333二、空间直线及其方程1.由直线上一点与直线l 的方向所决定的直线方程方向向量如果一个非零向量平行于一条已知直线这个向量就叫做这条直线的方向向量容易知道直线上任一向量都平行于该直线的方向向量确定直线的条件当直线 L 上一点 M 0(x0y0 x0)和它的一方向向量s(m n p)为已知时直线 L 的位置就完全确定了直线方程的确定已知直线 L 通过点 M0(x0y0 x0)且直线的方向向量为s(m n p)求直线 L 的方程设 M (x y z)在直线 L 上
33、的任一点那么(x x0y y0z z0)/s从而有pzznyymxx000这就是直线L 的方程叫做直线的对称式方程或点向式方程注当 m n p 中有一个为零例如 m 0而 n p 0 时这方程组应理解为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学精品课程向量代数部分电子教案第 22 页 共 29 页pzznyyxx000当 m n p 中有两个为零例如 m n 0而 p 0 时这方程组应理解为0000yyxx直线
34、的任一方向向量s的坐标 m、n、p 叫做这直线的一组方向数而向量 s的方向余弦叫做该直线的方向余弦由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程设tpzznyymxx000得方程组ptzzntyymtxx000此方程组就是直线的参数方程例 1 用对称式方程及参数方程表示直线4321zyxzyx解 先求直线上的一点取 x 1有232zyzy解此方程组得 y2 z 0即(12 0)就是直线上的一点再求这直线的方向向量s 以平面 x y z1 和 2x y 3z 4 的法线向量的向量积作为直线的方向向量s : s (i j k) (2i j 3k)312111kji4i j 3k因此所给直线的对称式方程为
35、31241zyx令tzyx31241得所给直线的参数方程为tztytx3241提示当 x 1 时有232zyzy此方程组的解为y2 z 0kjikjikjikjis34312111)32()(令tzyx31241有 x 1 4t y2 t z3t2空间直线的一般方程空间直线 L 可以看作是两个平面1和2的交线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学精品课程向量代数部分电子教案第 23 页 共 29 页如果两个
36、相交平面1和2的方程分别为A1x B1y C1z D10和 A2x B2y C2z D20 那么直线 L 上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程即应满足方程组0022221111DzCyBxADzCyBxA(1) 反过来如果点 M 不在直线L 上那么它不可能同时在平面1和2上所以它的坐标不满足方程组 (1)因此直线 L 可以用方程组 (1)来表示方程组 (1)叫做空间直线的一般方程设直线L 是平面1与平面2的交线平面的方程分别为A1x B1y C1z D10 和A2x B2y C2z D20 那么点 M 在直线 L 上当且仅当它同时在这两个平面上当且仅当它的坐标同时满足这两个平面方程即满足
37、方程组0022221111DzCyBxADzCyBxA因此直线 L 可以用上述方程组来表示上述方程组叫做空间直线的一般方程通过空间一直线L 的平面有无限多个只要在这无限多个平面中任意选取两个把它们的方程联立起来所得的方程组就表示空间直线L3. 两直线的夹角两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角 )叫做两直线的夹角设直线 L1和 L2的方向向量分别为s1(m1n1p1)和 s2(m2n2p2)那么 L1和 L2的夹角就是),(21ss和),(),(2121ssss两者中的锐角因此| ),cos(|cos21ss根据两向量的夹角的余弦公式直线 L1和 L2的夹角可由| ),cos(|cos21ss2
38、22222212121212121|pnmpnmppnnmm来确定从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论设有两直线L1111111pzznyymxxL2222222pzznyymxx则L 1L 2m1m2n1n2p1p20L1 L2212121ppnnmm例 2 求直线 L1:13411zyx和 L2:1222zyx的夹角解 两直线的方向向量分别为s1 (14 1)和 s2 (221)设两直线的夹角为则2221)1()2(21)4(1| )1(1)2()4(21 |cos222222所以44. 直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角名
39、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学精品课程向量代数部分电子教案第 24 页 共 29 页当直线与平面垂直时规定直线与平面的夹角为2设直线的方向向量s (m n p)平面的法线向量为n (AB C)直线与平面的夹角为那么| ),(2|ns因此| ),cos(|sinns按两向量夹角余弦的坐标表示式有222222|sinpnmCBACpBnAm因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行所以直线
40、与平面垂直相当于pCnBmA因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直所以直线与平面平行或直线在平面上相当于Am Bn Cp 0设直线 L 的方向向量为 (m n p)平面的法线向量为 (A B C)则LpCnBmAL/ / Am Bn Cp 0例 3 求过点 (12 4)且与平面 2x 3y z 4 0 垂直的直线的方程解 平面的法线向量(231)可以作为所求直线的方向向量由此可得所求直线的方程为143221zyx5. 杂例例 4 求与两平面x 4z 3 和 2x y 5z 1 的交线平行且过点( 3 2 5)的直线的方程解 平面 x 4z 3 和 2x y 5
41、z 1 的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s因为)34(512401)52()4(kjikjikjikis所以所求直线的方程为153243zyx例 5 求直线241312zyx与平面 2x y z 6 0 的交点解 所给直线的参数方程为x 2 ty 3 tz 4 2t代入平面方程中得2(2 t) (3 t) (4 2t) 6 0解上列方程得 t1 将 t1 代入直线的参数方程得所求交点的坐标为x 1y 2z 2例 6 求过点 (2 1 3)且与直线12131zyx垂直相交的直线的方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -
42、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学精品课程向量代数部分电子教案第 25 页 共 29 页解 过点 (2 1 3)与直线12131zyx垂直的平面为3(x 2) 2(y 1) (z 3) 0即 3x 2y z 5直线12131zyx与平面 3x 2y z 5的交点坐标为)73,713,72(以点 (2 1 3)为起点以点)73,713,72(为终点的向量为)4, 1, 2(76)373, 1713,272(所求直线的方程为431122zyx例 6 求过点 (2 1 2)且与直线241312zyx垂直相交的直线的
43、方程解 过已知点与已知直线相垂直的平面的方程为(x 2) (y 1) 2(z 2) 0 即 x y 2z 7此平面与已知直线的交点为(1 2 2)所求直线的方向向量为s (1 2 2) (2 1 2) ( 1 1 0)所求直线的方程为021112zyx即021112zyx提示求平面 x y 2z 7 与直线241312zyx的交点直线的参数方程为x 2 t y 3 t z 4 2t代入平面方程得(2 t) (3 t) 2(4 2t) 7解得 t1代入直线的参数方程得x 1 y 2 z 2平面束设直线 L 的一般方程为0022221111DzCyBxADzCyBxA其中系数 A1、B1、 C1与
44、 A2、B2、C2不成比例考虑三元一次方程A1x B1y C1z D1(A2x B2 y C2z D2) 0即(A1A2)x (B1B2)y (C1C1)z D1D20其中为任意常数因为系数 A1、B1、C1与 A2、B2、C2不成比例所以对于任何一个值上述方程的系数不全为零从而它表示一个平面对于不同的值所对应的平面也不同而且这些平面都通过直线L也就是说这个方程表示通过直线L 的一族平面另一方面任何通过直线 L 的平面也一定包含在上述通过L 的平面族中通过定直线的所有平面的全体称为平面束方程 A1x B1y C1z D1(A2x B2y C2z D2) 0 就是通过直线L 的平面束方程例 7
45、求直线0101zyxzyx在平面 x y z 0 上的投影直线的方程解 设过直线0101zyxzyx的平面束的方程为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学精品课程向量代数部分电子教案第 26 页 共 29 页y z x M(x,y,z) 图 6-6 图 6-5 (x y z 1)(x y z 1) 0即(1)x (1)y ( 1)z ( 1) 0其中为待定的常数这平面与平面x y z 0 垂直的条件是(1)
46、 1 (1) 1 ( 1) 1 0即1将1 代入平面束方程得投影平面的方程为2y 2z 2 0即y z 1 0所以投影直线的方程为001zyxzy 6.5 曲面与空间曲线曲面方程的概念与在平面解析几何中建立平面曲线与二元方程0),(yxF的对应关系一样，在空间直角坐标系中可以建立空间曲面与三元方程0),(zyxF之间的对应关系在空间解析几何中， 任何曲面都可看作是空间点的几何轨迹因此，曲面上的所有点都具有共同的性质， 这些点的坐标必须满足一定的条件在这样的意义下，如果曲面S与三元方程0),(zyxF (1) 有下述关系：(i) 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1) ；(ii)不在曲面S上的点的
47、坐标都不满足方程(1) ，那么，方程 (1) 就称为曲面S的方程，而曲面S就称为方程 (1) 的图形 ( 图 65)例 1求球心在点),(0000zyxM，半径为R的球面方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学精品课程向量代数部分电子教案第 27 页 共 29 页y z x 图 6-8 解设),(zyxM是球面上任一点 (图 66) ，则有RMM0，由两点间距离公式得Rzzyyxx202020)()()(
48、两边平方，得2202020)()()(Rzzyyxx(2) 这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程所以，方程 (2) 就是以点),(0000zyxM为球心、R为半径的球面方程特 别 ， 若 球 心 在 原 点 ， 那 么0000zyx， 此 时 球 面 方 程 为2222Rzyx柱面动直线 L 沿给定曲线C平行移动所形成的曲面称为柱面 曲线C称为柱面的准线，动直线 L 称为柱面的母线如果母线是平行于 z 轴的直线，准线C是xOy平面上的曲线0),(yxF，则此柱面的方程就是0),(yxF(3) 这是因为，对柱面上任一点),(zyxM， 过点M作直线平行于 z
49、轴，这直线就是过点M的母线，直线上任何点的yx、坐标都相等，只有z 坐标不同，它与xOy平面的交点)0 ,(yxN必在准线C，点N的yx、坐标满足方程0),(yxF，故点),(zyxM的坐标满足方程0),(yxF； 反之满足0),(yxF的点),(zyxM一定在过点)0,(yxN且平行于 z 轴的母线上，即在柱面上同样，仅含zy、的方程0),(zyF表示母线平行于 x轴的柱面；仅含xz、 的方程0),(xzF表示母线平行于y轴的柱面例如，方程222ayx表示一个圆柱面，它的准线是xOy平面上的圆222ayx，母线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
50、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 29 页 - - - - - - - - - 高等数学精品课程向量代数部分电子教案第 28 页 共 29 页x z 平行于 z轴同理，方程12222byax，12222byax和)0(22ppxy分别表示母线平行于 z轴的椭圆柱面 ( 图 68)，双曲柱面 (图 69)和抛物柱面 ( 图 610)图 6-9 图 6-10 旋转曲面平面曲线 C绕同一平面上的定直线L 旋转一周所成的曲面称为旋转曲面， 定直线 L 称为旋转曲面的轴设在yOz平面上有一已知曲线C：0),(zyF， 将这条曲线绕 z轴旋转一周，