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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 圆的对称性 教学目标 一 教学学问点 1圆的轴对称性2垂径定理及其逆定理3运用垂径定理及其逆定理进行有关的运算和证明 二 才能训练要求 1经受探究圆的对称性及相关性质的过程,进一步体会和懂得争论几何图形的各种方 法2培育同学独立探究、相互合作沟通的精神 三 情感与价值观要求 通过学习垂径定理及其逆定理的证明,使同学领悟数学的严谨性和探究精神,培育学 生实事求是的科学态度和积极参加的主动精神垂径定理及其逆定理垂径定理及其逆定理的证明指导探究和自主探究相结合投影片两张：第一张：做一做 记作321A 其次张：想一想 记作321B 教学过程 创设问题情
2、境,引入新课 师 前面我们已探讨过轴对称图形,哪位同学能表达一下轴对称图形的定义？ 生 假如一个图形沿着某一条直线折叠后,直线两旁的部分能够相互重合,那么这个 图形叫轴对称图形,这条直线叫对称轴 师 我们是用什么方法争论了轴对称图形？ 生 折叠 师 今日我们连续用前面的方法来争论圆的对称性讲授新课 师 同学们想一想：圆是轴对称图形吗？假如是,它的对称轴是什么？你能找到多少名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 条对称轴？ 生 圆是轴对称图形,过圆心的直线是它的对称轴,有很多条对称轴 师 是吗？你是用什么方法解决上述问题的？
3、大家相互争论一下 生 我们可以利用折叠的方法,解决上述问题把一个圆对折以后,圆的两半部分重合,折痕是一条过圆心的直线,由于过圆心可以作很多条直线,这样便可知圆有很多条对称轴 师 很好老师板书：圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线下面我们来熟识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念1圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧 arc chord 2弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦 3直径：经过圆心的弦叫直径 diameter如下图,以 A、B为端点的弧记作 .AB ,读作“ 圆弧 AB” 或“ 弧 AB” ；线段 AB是 O的 一条弦,弧 CD是 O的一条直径留意：1弧包括优弧 major
4、 arc 和劣弧 minor arc,大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧如上图中,以 A、D 为端点的弧有两条：优弧 ACD记作.ACD ,劣弧 ABD 记作.AD 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫半圆弧,简称半 圆半圆是弧,但弧不肯定是半圆；半圆既不是劣弧,也不是优弧2直径是弦,但弦不肯定是直径下面我们一起来做一做：出示投影片321A 按下面的步骤做一做：1在一张纸上任意画一个O,沿圆周将圆剪下,把这个圆对折,使圆的两半部分重名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 合2得到一条折痕 CD3
5、在 O上任取一点 A,过点 A 作 CD折痕的垂线,得到新的折痕,其中,点 M是两条折痕的交点,即垂足4将纸打开,新的折痕与圆交于另一点 B,如上图 师 老师和大家一起动手 老师表达步骤,师生共同操作 师 通过第一步,我们可以得到什么？ 生齐声 可以知道：圆是轴对称图形,过圆心的直线是它的对称轴 师 很好在上述的操作过程中,你发觉了哪些相等的线段和相等的弧？ 生 我发觉了, AMBM,. ACBC ,. ADBD . 师 为什么呢？ 生 由于折痕 AM与 BM相互重合, A 点与 B点重合 师 仍可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？ 师生共析 如下图示,连接 OA、OB得
6、到等腰OAB,即 OAOB因 CDAB,故 OAM与 OBM都是 Rt ,又 OM为公共边,所以两个直角三角形全等,就 AMBM又 O关于直径 CD对称,所以 A 点和 B 点关于 CD对称, 当圆沿着直径CD对折时, 点 A 与点 B 重合,与重合,与重合因此AMBM,=,= 师 在上述操作过程中,你会得出什么结论？名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 生 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧 师 同学们总结得很好这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质垂径定理在这里留意；条件中的“ 弦” 可以是直径
7、结论中的“ 平分弧” 指平分弦所对的劣弧、优弦下面,我们一起看一下定理的证明： 老师边板书,边表达 如上图,连结 OA、OB,就 OAOB在 Rt OAM和 Rt OBM中,OAOB,OMOM,Rt OAMRt OBMAMBM点 A 和点 B 关于 CD对称 O关于直径 CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A 与点 B 重合,与重合,与重合=,= 师 为了运用的便利,不易显现错误,易于记忆,可将原定理表达为：一条直线如满 足： 1 过圆心； 2 垂直于弦,那么可推出：平分弦,平分弦所对的优弧,平分弦所 对的劣弧即垂径定理的条件有两项,结论有三项用符号语言可表述为：如图 37,在 O中,CD 是
8、直径MAMBM,即图中,点 O是的圆心 ,. AD. BD,CDAB 于AC. BC下面,我们通过求解例1,来熟识垂径定理： 例 1 如下图所示,一条大路的转弯处是一段圆弧其中 CD600m, E 为.CD 上一点,且OECD,垂足为 F,EF90m,求这段弯路的半径名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 师生共析 要求弯路的半径,连结OC,只要求出 OC的长便可以了由于已知OECD,所以 CF1 2CD300cm,OFOEEF,此时就得到了一个Rt CFO,哪位同学能口述一下如何求解？ 生 连结 OC,设弯路的半径为 R
9、 m,就OF R 90m, OECD,CF1 2CD1 2 600300m 据勾股定理,得OC 2CF 2OF 2,2即 R 2300 2 R90解这个方程,得 R545这段弯路的半径为 545m 师 在上述解题过程中使用了列方程的方法,用代数方法解决几何问题,这种思想应在今后的解题过程中留意运用随堂练习： P921略下面我们来想一想 出示投影片321B 如下图示, AB是 O的弦 不是直径 ,作一条平分AB的直径 CD,交 AB于点 M 师 上图是轴对称图形吗？假如是,其对称轴是什么？ 生 它是轴对称图形,其对称轴是直径 CD所在的直线 师 很好你是用什么方法验证上述结论的？大家相互沟通争论
10、一下,你仍有什么发 现？名师归纳总结 生 通过折叠的方法,与刚才垂径定理的探究方法类似,在一张纸上画一个O,作一第 5 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 条不是直径的弦AB,将圆对折, 使点 A 与点 B 重合,便得到一条折痕CD与弦 AB交于点 MCD就是 O的对称轴,A点、B点关于直径CD对称由轴对称可知, ABCD,=,= 师 大家想想仍有别的方法吗？相互争论一下 生 如上图连接 OA、OB便可得到一个等腰OAB,即 OAOB,又 AMMB,即 M点为 等腰OAB底边上的中线由等腰三角形三线合一的性质可知 CDAB,又 CD是 O的
11、对称轴,当圆沿 CD对折时,点 A与点 B 重合,与 重合,与 重合 师 在上述的探讨中,你会得出什么结论？ 生 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧 师 为什么上述条件要强调“ 弦不是直径” ？ 生 由于圆的任意两条直径相互平分,但是它们不肯定是相互垂直的 师 我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理 师 同学们,你能写出它的证明过程吗？ 生 如上图,连结 OA、OB,就 OAOBOAB中, AMMB,在等腰CDAB等腰三角形的三线合一 O关于直径 CD对称当圆沿着直径CD对折时,点A 与点 B 重合,与重合,与重合=,= 师 接下来,做随堂练习：P922假如圆的两条弦相互平行
12、,那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？答：相等名师归纳总结 理由：如下图示, 过圆心 O作垂直于弦的直径EF,由垂径定理设=,=,第 6 页,共 8 页用等量减等量差相等,得=,即=,故结论成立- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 符合条件的图形有三种情形：1 圆心在平行弦外,2 在其中一条线弦上,3 在平行弦内,但理由相同课时小结 1本节课我们探究了圆的对称性2利用圆的轴对称性争论了垂径定理及其逆定理3垂径定理和勾股定理相结合,构造直角三角形,可解决运算弦长、半径、弦心距等 问题课后作业 一 课本 P93,习题 32,1、2 二 1 预习内容： P949
13、7 2预习提纲：1 圆是中心对称图形2 圆心角、弧、弦之间相等关系定理活动与探究1银川市某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员预备更换一段新管道如下列图,污水水面宽度为 60cm,水面至管道顶部距离为 10cm,问修理人员应预备内径多大的管道？ 过程 让同学在探究过程中,进一步把实际问题转化为数学问题,把握通过作帮助线 构造垂径定理基本结构图,进而进展同学的思维 结果 名师归纳总结 如下图示,连结OA,过 O作 OEAB,垂足为 E,交圆于 F,就 AE1 2AB30cm令2第 7 页,共 8 页O 的半径为R,就 OAR, OEOFEFR10在 Rt AEO中, OA 2AE 2OE 2,即 R 230 R102解得 R50cm修理人员应预备内径为100cm的管道- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 板书设计 32 1 圆的对称性 一、圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直径二、与圆有关的概念：1圆弧 2弦 3直径 留意：弧包括优弧、劣弧、半圆三、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧例 1：略四、垂径定理逆定理：平分弦 留意；弦不是直径五、课堂练习 六、课时小结七、课后作业 不是直径 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页