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1、学习必备欢迎下载4.2.1 圆的对称性设计理念数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动. 数学教学重在引导学生走向自主学习和探求知识之路，重在引导学生积极参与教学过程. 重视学生的主体作用，倡导“自主、 合作、 探究”的学习方式，让学生经历学习的探索过程，真正成为学习的主人. 教学内容义务教育课程标准实验教科书数学（鲁教版）九年级（下）第四章“圆”第二节“圆的对称性”第一课时.教材分析圆有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性. 同时圆的对称性在日常生活
2、和生产中有着广泛的应用，因此这一节的内容在整章中具有举足轻重的意义. “圆的对称性”第一课时的主要内容是垂径定理及其推论，它反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据. 所以本节知识与方法的学习积累直接影响着后续学习. 教学目标1. 知识与技能理解圆的轴对称性和相关概念（弦、弧）及性质；掌握垂径定理及其推论，能运用它们进行有关的作图、计算和证明2. 过程与方法经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步理解研究几何图形的各种方法（折叠、 平移、推理证明） ，用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法
3、，积累学习经验，进一步发展学生自主学习、合作学习的能力3. 情感、态度与价值观通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，在探究垂径定理及其推论的过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系. 教学重点垂径定理及其推论的探索教学难点垂径定理及其推论的证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载教学方法自主探究和合作探究相结合教学过程一、创设情境，感知数学【问题1】 通过上节课圆的学习，进一步认识了圆的意义. 这是一张圆形纸片, 你有什么办法找出它的圆心呢？学情预设学生
4、凭借经验易想到用折叠的方法，如图，交点O就是圆心 . 【问题 2】 你怎么验证点O就是圆心呢？学情预设学生根据圆的概念能想到在圆上找一些点，测量它们与点O的距离 . 但需要找几个点，一个、两个、三个？还是更多？会有不同的见解. 【问题 3】 在折叠的过程中，你从中知道圆具有什么性质? 【问题 4】 圆的对称轴有几条？与学过的轴对称图形有什么不同？学情预设学生可能只会找到1 条、 2 条、 3 条让学生自己得出结论：无数条，对称轴是任意一条过圆心的直线. 师出示课题 . 【问题 5】 这是一个硬币，你又有办法找出这个圆形硬币的圆心吗？学情预设有的学生会想到利用刚才的方法；有的学生会纳闷：不能折叠
5、怎么办？为了有更多的方法确定圆心，我们来深入探究圆的有关概念与性质. 知识链接圆上有两点到点O的距离相等，只能说明点O在该线段的垂直平分线上，不足以说明圆心 . 三个点还是更多，则是后面“确定圆的条件”探究问题. 应用圆的不同性质来确定圆心的方法有许多. 设计意图 问题是数学的心脏，兴趣是最好的老师. 设计一连串的问题情境引发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习圆的意义，又体验了圆的对称性及应用. 二、师生互动，体验探究1. 自主探究：学生阅读课本，学习圆的相关概念：弦、弧. （1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？（2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？（3）什么是半圆？它与弧
6、如何区别？（4）请你写出图中的优弧和劣弧，并思考如何才能不重复不遗漏？学情预设学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，如：弦是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧，如同大于零的数是正数，小于零的数是负数，但零既不是正数，也A B D C O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载不是负数一样. 问题 4，学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律. 设计意图让学生带着问题读书，有效地提高他们自主
7、探究的针对性，激发思考与交流，从而真正掌握它们的本质与异同，学会辨证统一、分类讨论地解决问题.2. 合作探究：弦与弧之间的联系-学习垂径定理及推论.活动一 ：探究垂径定理刚才折出的两条直径是怎样的位置关系？（相交）垂直是相交的特殊情况，从垂直的图中能得出哪些等量关系？(AB=CD、OA=OB=OC=OD、AC=BC=AD=BD) 若把AB向上平移到任意位置，成了不是直径的弦，折叠后猜想：还有与刚才类似的结论吗？有哪些方法证明你的猜想正确与否？思考： 上述探索过程利用了圆的什么性质？还运用了哪些知识？若只证明AM=BM，还有什么方法？把上述发现归纳成文字语言和几何语言. 垂径定理：垂直于弦的直径
8、平分这条弦，并且平分弦所对的弧如图，在 O中，即 CD是直径AM=BM， AD=BD，CDAB于MAC=BC. 学情预设问题 2，多数学生会用画图、折叠、测量的方法猜想出结论，而用推理证明的方法验证是本节的难点，让学生动手折叠、思考交流后，师板演示范证明. 设计意图用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，在平移中体会知识的发生与发展过程，在折叠中领会定理的证明思路，突出重点、突破难点，培养学生的概括、总结的语言表达能力.活动二 ：探究垂径定理的推论议一议 ：【问题 1】把垂径定理中条件“垂直于弦”与结论“平分于弦”互换，即：，结论是否还成立？如果成立，请你说明理由；不成立，请举反例.
9、【问题 2】你还能找出其它类似的结论吗？并判断是真命题还是假命题？C D A B O A B D C O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载【引例】已知：如图O中，直径CD弦AB，垂足为点M， 若半径R=5，OM=3，求AB、CM的长； 若半径R=5，AB=8，求OM、CM的长； 由两题的启发，你还能编出其它什么问题？学情预设问题 1，大多数学生会模仿定理画图、折叠、推理后认为是成立的， 可能有个别学生会持反对意见，引起一番有意义的讨论，师可以适时地引导. 当AB与CD是 O的直径时，互相平分，但不一
10、定垂直！只有当弦AB不是直径时，结论才会成立. 问题 2，有、学生写不完整或重复，要引导找规律：由“直径、垂直于弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧”，其中两个作条件推出另三个结论，才能不重复不遗漏. 设计意图对教材知识进行适当的变式和拓展，让学生能举一反三，发散学生的思维，让不同层次的学生得到不同的发展，并体验数学的严谨性和探究的乐趣，感受合作交流的重要性.师生共同归纳：垂径定理的推论：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （ 2）弦的垂直平分线会经过圆心，并且平分弦所对的弧. 【问题 3】现在你有办法找出圆形硬币的圆心吗？学情预设作圆中两条弦的垂直平分线，交点就是圆
11、心. 设计意图首尾呼应，学以致用.三、应用新知，探寻规律【例 1】 ： （7 页例题） 如右图所示， 一条公路的转弯处是一段圆弧( 即图中弧CD，点O是弧CD的圆心 )，其中CD=600m，E为弧CD上一点，且OECD，垂足为F，EF=90 m求这段弯路的半径(书本例题，可归为引例中哪种类型？) 设计意图让学生在实践中悟出垂径定理应用：在四个量半径R、弦AB的长、弦心距OM长、弓形高CM的长中，任已知两个量可以求出另两个量 . 一题多变，多题归一，探寻规律，构造直角三角形后通过勾股定理求解，从题海中解脱出来，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系. 练习 1: 在半径为50 的圆 O中
12、，有长50 的弦 AB，计算：点O与 AB的距离；AOB的度数。【例 2】 如图，已知在O中，弦 AB的长为 8 厘米，圆心 O到 AB的距离为3 厘米，求 O的半径。O A E B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载若 OA=10cm,OE=6cm, 求弦 AB的长。若圆心到弦的距离用d 表示，半径用r 表示，弦长用a 表示，这三者之间有怎样的关系？即右上图中的OE叫弦心距 . 习题：1、如图， P为 O的弦 BA延长线上一点，PAAB2， PO 5，求 O的半径。2、如图，圆O的弦 AB8 ，DC
13、 2 ，直径CEAB于 D，求半径OC的长。3、在圆 O中，直径CE AB于 D ，OD=4 ，弦 AC= ，求圆 O的半径。例 3 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C ，D 两点。求证： ACBD 。证明：过O作 OE AB，垂足为E，则 AEBE，CE DE 。AECE BEDE。所以， ACBD 思考题：已知： AB是 O直径， CD是弦， AECD ，BFCD 2222adr10A O B E C D F B A P O O O A B C D E O O A B C D E E A D B O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
14、结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载求证： ECDF 四、课堂小结，分享收获这节课在内容方面你学习了哪些知识？在方法方面你学会了什么？你还有什么疑惑、发现、体会与感悟与我们交流？想进一步探究的问题是什么？设计意图用问题形式引导学生回顾总结学习过程，使知识系统化，提炼其中蕴含的数学思想方法，学会自我评价、自我反思，取长补短、资源共享.五、课后作业，加深理解完成课后的随堂练习和习题4.2 ，其中试一试为选做题；类比迁移今天的学习方法尝试探究圆的中心对称性. 设计说明1. 分析学情，拟定思路圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，学生在学习对称性时已有所
15、有解 . 但“圆”的学习，学生由学习直线型到曲线型，对圆的性质进行全面深入的探究，要求进一步巩固和提高推理论证方法，熟练地用综合法证明命题，熟悉探索法的推理过程，在认识和思维上是一大飞跃. 充分利用以前学习中积累的折叠、对称、平移、旋转、推理证明等经验展开探究，是突破本章学习的重要途径. 2. 整合教法，体现主体课堂设计符合学科特点和学生实际，创设“找圆心”情境新颖、有趣、自然，注重垂径定理及推论的发生、发展和应用过程的教学，关注学生自主学习、合作学习和探究学习方式的指导，体现学生的主体地位，突出数学的运动变化、分类等思维与方法，开放教学过程，创设了和谐融洽学习氛围. 3. 创新教材，突显特色
16、本节课大胆地对教材进行创新、变式，以连贯顺畅的问题情境和问题串形式步步深入，层层推进学生思考，有效激活学生思维. 课堂设计体现了创创设情境激兴趣，探探索新知有合作，导引导探究重方法，思归纳反思促提高，学生在动口、动手、动脑活动中真正理解知识，获得了数学活动的经验，提升了能力. 4. 优化情境，贯穿教学找“圆心”这个问题情境具有可操作性、开放性、探究性，它的方法多种多样，依据的定理（垂径、圆周角、切线）不同，方法也不同，它不仅可以是本节课的问题情境，而且可以作为贯穿圆一章学习或复习的问题情境. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页