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1、. . 二面角的求法一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。例 1（全国卷理）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，2AD2DCSD，点 M 在侧棱SC上，ABM=60（I）证明： M 在侧棱SC的中点（II ）求二面角SAMB的大小。练习 1 （山东）如图，已知四棱锥P-ABCD ， 底面 ABCD 为菱形，P A平面 ABCD，60ABC,E，F 分别是 BC, PC 的中点 .（）证明： AEPD;
2、 （）若 H 为 PD 上的动点， EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为62，求二面角EAFC 的余弦值 . 二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。例 2( 山东卷理 ) 如图， 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD 为等腰梯形， AB/CD ，AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1、F 分别是棱 AD、AA1、AB 的中点。(1)证明：直线EE1/平面 FCC1；(2)求二面角 B-FC1-C 的余弦值。练习 2（天津） 如图，在
3、四棱锥ABCDP中，底面ABCD是矩形已知60,22,2,2, 3PABPDPAADAB（）证明AD平面PAB； （）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（）求二面角ABDP的大小三补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例 3（湖南） 如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形， BCD60， E 是CD 的中点， PA底面 ABCD，PA2. （）证明：平面PBE平面 PAB; （）求平面P AD
4、和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小. 练习 3 已知斜三棱柱ABCA1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成600的角，侧面BCC1B1底面ABC。（1）求证： AC1BC；（2）求平面 AB1C1与平面ABC 所成的二面角（锐角）的大小。A B C E D P EABCFEABCDD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - . . 四、射影面积法（cossSq=射影）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半
5、平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos斜射SS）求出二面角的大小。例 4 （北京理） 如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的大小；练习 4： 如图 5，E 为正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 CC1的中点，求平面AB1E 和底面 A1B1C1D1所成锐角的余弦值. 五、 向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例
6、4： （天津卷理） 如图，在五面体ABCDEF 中， FA 平面 ABCD, AD/BC/FE ，ABAD ，M 为 EC 的中点， AF=AB=BC=FE=12AD(I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小； (II) 证明平面 AMD平面 CDE；求二面角 A-CD-E 的余弦值。练习 5、 （湖北） 如图，在直三棱柱111ABCA B C中，平面ABC侧面11A ABB. （）求证：ABBC；（）若直线AC与平面1A BC所成的角为,二面角1ABCA的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明. A C B P ADBCE D B C A 图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载
7、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - . . 二面角大小的求法的归类分析一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例 1 在四棱锥 P-ABCD 中， ABCD 是正方形， PA平面 ABCD ，PA=AB=a，求二面角B-PC-D 的大小。二、三垂线法： 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例 2 在四棱锥P-ABCD 中， ABC
8、D 是平行四边形， PA平面 ABCD ，PA=AB=a ， ABC=30 ，求二面角P-BC-A 的大小。三、 垂面法： 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例 3 在四棱锥 P-ABCD 中， ABCD是正方形， PA 平面ABCD ，PA=AB=a ，求 B-PC-D的大小。四、射影面积法（cossSq=射影）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos斜射SS）求出二面角的大小，其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例 4
9、在四棱锥 P-ABCD 中， ABCD 为正方形， PA平面 ABCD ，PAAB a，求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。五、补棱法 :对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。例 5、在四棱锥 P-ABCD 中， ABCD 为正方形， PA平面 ABCD ，PAAB a，求平面PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。（补形化为定义法）pABCDLHj ABCDPHj ABCDPHlABCDP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整
10、理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - . . 六、向量法： 向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例 6、 （湖北） 如图，在直三棱柱111ABCA B C中，平面ABC侧面11A ABB. （）求证：ABBC；（）若直线AC与平面1A BC所成的角为,二面角1ABCA的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明. 由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下：
11、二面角大小的求法答案定义法：本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1 中从二面角SAM B 中半平面ABM 上的一已知点（B）向棱AM 作垂线，得垂足（F） ；在另一半平面ASM 内过该垂足（ F）作棱 AM 的垂线（如GF ） ，这两条垂线（ BF、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例 1 （2009 全国卷理） 证（I）略 解（II ） ：利用二面角的定义。 在等边三角形ABM中过点B作BFAM交AM于点F，则点F为 AM 的中点，过F 点在平面 ASM 内作GFAM，GF 交 AS 于 G，连结 AC，
12、 ADC ADS ， AS-AC ，且 M是SC的中点， AM SC ， GFAM ， GF AS ，又F为 AM 的中点， GF是 AMS 的中位线，点G是 AS的中点。则GFB即为所求二面角 . 2SM，则22GF，又6ACSA，2AM, 2ABAM，060ABMABM是等边 三角形，3BF, 在GAB中，26AG，2AB，090GAB，211423BG366232222113212cos222FBGFBGFBGFBFG,二面角SAMB的大小为)36arccos(练习 1（2008 山东）分析 ：第 1 题容易发现，可通过证AEAD后推出 AE平面 APD ，使命题获证，而第2 题，则首先
13、必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S，和两边 SE 与 SC，进而计算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值为515）二、三垂线法本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例 2）过二面角 B-FC1-C 中半平面BFC上的一已知点B 作另一半平面FC1C 的垂线，得垂足O；再过该垂足O 作棱 FC1的垂线，得垂足P，F G 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - -
14、- - - - - - - . . 连结起点与终点得斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB、垂线 BO、射影 OP） 。再解直角三角形求二面角的度数。例 2(2009 山东卷理 )证（1）略解（ 2）因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB的中点 ,所以 BF=BC=CF,BCF 为正三角形 ,取 CF 的中点 O,则 OBCF,又因为直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,CC1平面 ABCD, 所以 CC1BO, 所以 OB平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OPC1F,垂足为 P, 连接 BP,则 OPB 为二面角B-FC1-C 的一个平面角 , 在B
15、CF 为正三角形中 ,3OB,在 RtCC1F 中, OPFCC1F,11OPOFCCC F22122222OP,在 RtOPF中,22114322BPOPOB,272cos7142OPOPBBP,所以二面角B-FC1-C 的余弦值为77. 练习 2（2008 天津）分析 ：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD平面 PAB后，容易发现平面PAB 平面ABCD ，点 P 就是二面角P-BD-A 的半平面上的一个点，于是可过点P作棱 BD的垂线，再作平面ABCD 的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。（答案：二面角ABDP的大小为439arctan）三补
16、棱法例 3（2008 湖南） 分析：本题的平面P AD 和平面 PBE 没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长 AD、BE 相交于点F，连结 PF.）再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（）证略解 : （）延长AD、BE 相交于点 F，连结 PF. 过点 A 作 AHPB 于 H，由（）知 ,平面 PBE平面 P AB,所以 AH平面 PBE. 在 RtABF 中，因为 BAF60，所以， AF=2AB=2=AP. 在等腰 RtPAF 中，取 PF 的中点 G，连接 AG. 则 AGPF.连结 HG，由三垂线定理的逆定理得，PFHG.所以 AGH 是平面 PAD
17、和平面 PBE 所成二面角的平面角（锐角）. 在等 腰Rt PAF中 ，22.2AGPA在Rt PAB中，2222 5.55AP ABAP ABAHPBAPAB所以，在 RtAHG 中，2 5105sin.52AHAGHAG故平面 PAD和平面 PBE所成二面角（锐角）的大小是10arcsin.5练习 3 提示：本题需要补棱，可过A 点作 CB 的平行线L（答案：所成的二面角为45O）四、射影面积法（cossSq=射影）例 4 （2008 北京理）分析：本题要求二面角BAPC 的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP 与平面 ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出S 原与 S
18、射于是得到下面解法。解： （）证略（）ACBC，APBP，APCBPC又PCAC，PCBC又90ACB，即ACBC，且ACPCC，BC平面PAC取AP中点E连结BECE，ABBP，BEAPEC是BE在平面PAC内的射影，CEAP ACE 是 ABE 在 平 面ACP内 的 射 影 ， 于 是 可 求 得 ：2222CBACAPBPAB，622AEABBE，2ECAE则1222121CEAESSACE射，3622121EBAESSABE原, EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1OPA B C E D P F G H A C B B1C1A1L A C B E P 名师资料总结
19、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - . . 设二面角BAPC的大小为，则3331cos原射SS二面角BAPC的大小为33arccos练习 4：分析平面 AB1E 与底面 A1B1C1D1交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形AB1E 在平面 A1B1C1D1上的射影是三角形A1B1C1，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。 （答案：所求二面角的余弦
20、值为cos=32）. 五、 向量法例 4： （2009 天津卷理） 现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，以点A为坐标原点。设，1AB依题意得， 001B，011C， 020D，110E，100F.21121M，（I），解：101BF，110DE.2122100DEBFDEBFDEcos，于是BF所以异面直线BF与DE所成的角的大小为060. （II）证明：，由21121AM，101CE0AMCE020AD，可得，.AMDCEAADAM.ADCEAMCE. 0ADCE平面，故又，因此，.CDEAMDCDECE平面，所以平面平面而（III ）. 0D0)(CDEEuCEuzyxu，
21、则，的法向量为解：设平面.111(1.00），可得令，于是uxzyzx又由题设，平面ACD的一个法向量为).100(，v练习 5、 （2008 湖北） 分析：由已知条件可知：平面ABB1 A1平面 BC C1 B1平面 ABC于是很容易想到以B 点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。（答案：22arcsincaa，且2222,acab acac）总之，上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两种是两种不同的解题技巧，考生可选择使用。1.、AB=AD=aPAABPAADPBPDABAD
22、a，PBPDBCDCPBDPDCPCPC, 过 B 作 BHPC 于 H，连结 DHDH PC故 BHD 为二面角 B-PC-D 的平面角因 PB=2a,BC=a,PC=3a,12PB BC=SPBC=12PC BH 则 BH=3a=DH 又 BD=2a, 在BHD 中由余弦定理，得：cosBHD 2222226623312266233aaaBHDHBDBH BDaa, 又 0 BHD 则 BHD=23，二面角 B-PC-D 的大小是23。2 解： （三垂线法） 如图PA 平面 BD ，过 A作 AH BC 于 H，连结 PH ，则 PH BC 又 AH BC ，故PHA 是二面角 P-BC-
23、A 的平面角，在 RtABH中，AH=ABsin ABC=aSin30 =2a, 在 RtPHA中，tanPHA=PA/AH=22aa，则 PHA=arctan2.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - . . PQMNBODAB3 解（垂面法） 如图PA 平面 BD BD AC BD BC过 BD作平面 BDH PC 于 HPC DH 、 BHBHD为二面角 B-PC-D的平面角，因 PB=2a,BC=a,PC=3a,
24、 12PB BC=S PBC=12PC BH, 则BH=3a=DH ， 又 BD=2a在BHD中由余弦定理，得： cosBHD 2222226623312266233aaaBHDHBDBH BDaa又 0BHD 则BHD=23，二面角 B-PC-D的大小是23。4 解（面积法） 如图ADPAADABADPBAAPAABA于, 同时，BC 平面BPA于 B ， 故PBA是PCD在平面 PBA上的射影 , 设平面 PBA与平面 PDC所成二面角大小为，则 cos=22PBAPCDsS=455 解（补形化为定义法）如图将四棱锥 P-ABCD 补形得正方体ABCD-PQMN ，则 PQPA、 PD， 于是 APD 是两面所成二面角的平面角。在 RtPAD 中， PA=AD ， 则 APD=45 。即平面 BAP 与平面 PDC 所成二面角的大小为45j ABCDPHlABCDP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -