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1、1 离散数学集合论部分综合练习本课程综合练习共分3 次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习， 这 3 次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次是集合论部分的综合练习。一、单项选择题1若集合 A=a，b，B= a，b， a，b ，则（）AA B，且 A BBA B，但 A BCA B，但 A B DA B，且 A B2若集合 A2，a， a ，4，则下列表述正确的是 ( )Aa， a AB a AC2ADA3若集合 A a， a，1，2 ，则下列表述正确的是 ( )A a，aAB2
2、AC aADA4若集合 A=a，b， 1，2 ，B= 1，2，则（）AB A，且 B ABB A，但 B ACB A，但 B ADB A，且 B A5设集合 A = 1, a ，则 P(A) = ( )A1, a B,1, a C,1, a, 1, a D1, a, 1, a 6若集合 A 的元素个数为 10，则其幂集的元素个数为（）A1024 B10 C100 D1 7集合 A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8上的关系 R=|x+y=10 且 x, yA ，则 R的性质为（）A自反的B对称的C传递且对称的D反自反且传递的8设集合 A = 1，2，3，4，5，6 上的二元关系 R
3、=a , ba , bA , 且a +b = 8，则 R 具有的性质为（）A自反的B对称的C对称和传递的D反自反和传递的9如果 R1和 R2是 A 上的自反关系，则 R1R2，R1R2，R1- R2中自反关系有（）个A0 B2 C1 D3 10设集合 A=1 , 2 , 3 , 4上的二元关系R = 1 , 1，2 , 2 ，2 , 3 ，4 , 4，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2 S = 1 , 1 ，2
4、, 2，2 , 3，3 , 2 ，4 , 4，则 S是 R的（）闭包A自反B传递C对称D以上都不对11设集合 A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5上的偏序关系的哈斯图如图一所示，若A 的子集 B = 3 , 4 , 5 ，则元素 3为 B 的（）A下界B最大下界C最小上界D以上答案都不对12设 A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，R 是 A 上的整除关系， B=2, 4, 6 ，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为( )A8、2、8、2 B无、 2、无、2C6、2、6、2 D8、1、6、1 13设 A=a, b，B=1, 2 ，R1，R2，R3是 A 到 B 的二元
5、关系，且 R1=, ，R2=, , ，R3=, ，则（）不是从 A 到 B 的函数AR1和 R2BR2CR3DR1和 R3二、填空题1 设集合 A 有 n 个元素，那么 A 的幂集合 P(A)的元素个数为2 设集合 A a， b， 那么集合 A的幂集是应该填写： ,a,b, a, b 3设集合 A=0, 1, 2, 3，B=2, 3, 4, 5 ，R是 A 到 B 的二元关系，,BAyxByAxyxR且且则 R的有序对集合为4设集合 A=0, 1, 2 ，B=0, 2, 4, R 是 A 到 B 的二元关系，,BAyxByAxyxR且且则 R的关系矩阵 MR5设集合 A=a,b,c，A 上的二
6、元关系R=, ，S=, 则(R?S)1=6设集合 A=a,b,c，A 上的二元关系 R=, , , ，则二元关系 R具有的性质是7若 A=1,2 ，R=|x A, y A, x+y=10，则 R 的自反闭包为8设集合 A=1, 2 ，B=a, b ，那么集合 A 到 B 的双射函数是2 4 1 3 5 图一名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 3 9 设 A=a， b， c， B=1， 2， 作 f： AB， 则不同的
7、函数个数为三、判断说明题 （判断下列各题，并说明理由）1设 A、B、C 为任意的三个集合，如果AB=AC，判断结论 B=C 是否成立？并说明理由2如果 R1和 R2是 A 上的自反关系，判断结论：“ R-11、R1R2、R1R2是自反的”是否成立？并说明理由3 若偏序集 的哈斯图如图一所示，则集合 A 的最大元为 a，最小元不存在4若偏序集 的哈斯图如图二所示，则集合 A 的最大元为 a，最小元不存在5设 N、R 分别为自然数集与实数集，f：N R，f (x)=x+6，则 f 是单射四、计算题1设集合 A a, b, c ，B=b, d, e ，求（1）BA；（2）AB；（3）AB；（4）BA
8、2设 A= a, b, 1, 2 ，B= a, b, 1, 1 ，试计算（1）（A B）（2）（AB）（3）（AB） （AB）3设集合 A=1,2,1,2，B=1,2,1,2 ，试计算（1）（A B）；（2）（AB）；（3）AB4设 A=0，1，2，3，4 ，R=|x A，y A 且 x+y0，S=|x A，y A 且 x+y 3，试求 R，S，R?S，R-1，S-1，r(R)5 设 A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12， R 是 A 上的整除关系，B=2, 4, 6 （1）写出关系 R的表示式；（2）画出关系 R的哈斯图；（3）求出集合 B 的最大元
9、、最小元6设集合 A a, b, c, d 上的二元关系 R的关系图如图三所示（1）写出 R的表达式；（2）写出 R的关系矩阵；（3）求出 R27设集合 A=1，2，3，4，R=|x, y A；|x y|=1或 x y=0，试（1）写出 R的有序对表示；（2）画出 R的关系图；（3）说明 R满足自反性，不满足传递性五、证明题1试证明集合等式： A (BC)=(A B) (AC)2试证明集合等式A (BC)=(AB) (A C)图一图二adbc图三名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
10、 - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 4 3设 R 是集合 A 上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意a A，存在b A，使得 R，则 R是等价关系 4若非空集合 A 上的二元关系 R和 S是偏序关系，试证明：SR也是 A上的偏序关系参考解答一、单项选择题1A 2B 3C 4B 5C 6A 7B 8B 9B 10C 11C 12B 13B 二、填空题12n2,a,b, a, b 3， 40110000115, 6反自反的7, 8, ，, 98 三、判断说明题 （判断下列各题，并说明理由）1解： 错设 A=1, 2 ，B=1 ，C=2 ，则 AB=AC，但 B C2
11、解：成立因为 R1和 R2是 A 上的自反关系，即IAR1，IAR2。由逆关系定义和 IAR1，得 IA R1-1；由 IAR1，IAR2，得 IA R1R2，IA R1R2。所以， R1-1、R1R2、R1R2是自反的。3解：正确对于集合 A 的任意元素 x，均有 R（或 xRa），所以 a 是集合 A 中的最大元按照最小元的定义，在集合A 中不存在最小元4解：错误集合 A 的最大元不存在， a 是极大元名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - -
12、 - - - - - - 5 5解：正确设 x1，x2为自然数且 x1x2，则有 f(x1)= x1+6x2+6= f(x2)，故 f 为单射四、计算题1解：（1）B A= a, b, cb, d, e= b （2）AB=a, b, c b, d, e= a, b, c, d, e （3）AB=a, b, cb, d, e= a, c （4）BA= A BBA= a, b, c, d, e b = a, c, d, e 2解：（1）（A B）= a, b, 2 （2）（AB）= a, b, 1, 2, a, b, 1 （3）（AB） （AB）= a, b, 2, a, b, 1 3解：（1）A
13、 B =1,2 （2）AB =1,2 （3）A B= ， ， ， ， ， ， ，, 4解：R=, S=, R?S=，R-1=，S-1= S，r(R)=IA5解：（1）R=I, , , , , , , , , , , , , , , （2）关系 R的哈斯图如图四（3）集合 B 没有最大元，最小元是：2 6解： R, , , 1000000001000101RMR2 = , , , ?, , , =, , 7解： （1）R=, , （2）关系图如图五（3）因为 ,均属于 R，即 A 的每个元素构成的有序对均在R 中，故 R在A 上是自反的。因有与属于 R，但不属于 R，所以 R在 A 上不是传递的
14、。1 2 3 4 6 9 5 7 8 10 11 12 图四：关系R 的哈斯图1 2 3 4 图五名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 6 五、证明题1证明 ：设，若 xA (B C)，则 xA 或 xB C，即 xA 或 xB 且 xA 或 xC即 xAB 且 xAC ，即 xT=(AB) (A C)，所以 A (B C) (AB) (AC)反之，若 x(AB) (AC)，则 xA B 且 xA C，即 xA 或 x
15、B 且 xA 或 xC，即 xA 或 xBC，即 xA (BC)，所以(AB) (AC) A (BC)因此 A (BC)=(A B) (AC)2证明：设 S=A(BC)，T=(AB)(AC)， 若 xS，则 xA 且 xBC，即 xA 且 xB 或 xA 且 xC，也即 xAB 或 xAC ，即 xT，所以 S T反之，若 xT，则 xAB 或 xAC，即 xA 且 xB 或 xA 且 xC也即 xA 且 xBC，即 xS，所以 T S因此 T=S3设 R 是集合 A 上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意a A，存在b A，使得 R，则 R是等价关系 证明：已知 R 是对称关系和传递关系，
16、只需证明R是自反关系a A， b A，使得 R，因为 R 是对称的，故 R；又 R 是传递的，即当 R， R R；由元素 a 的任意性，知 R是自反的所以， R是等价关系4若非空集合 A 上的二元关系 R和 S是偏序关系，试证明：SR也是 A上的偏序关系证明：.SRxxSxxRxxAx,，所以SR有自反性；,Ayx因为 R，S是反对称的，yxxyyxSxySyxRxyRyxSxyRxySyxRyxSRxySRyx),(),(),(),(,所以， R S有反对称性Azyx,，因为 R，S是传递的，SRzySRyx,SzyRzySyxRyx,SzySyxRzyRyx,SRzxSzxRzx,所以，SR有传递性总之， R 是偏序关系名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -