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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载北师大版九年级下册数学期末试卷一挑选题（共 10 小题）1以下式子错误选项（）Acos40=sin50 Btan15 .tan75=1Csin 225+cos 225=1 Dsin60=2sin302一个公共房门前的台阶高出地面1.2 米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,就以下关系或说法正确选项（）A斜坡 AB 的坡度是 10B斜坡 AB 的坡度是 tan10BCAC=1.2tan10 米DAB=米）3已知,在Rt ABC 中, C=90 ,AB=,AC=1 ,那么 A 的正切 tanA 等于（AB2 CD4函
2、数 y=k（ x k）与 y=kx2,y=（k 0）,在同一坐标系上的图象正确选项（Ay=x BC2 2x+3 不动,将平面直角坐标系D5如抛物线xOy 先沿水平方向向右平移一个单位,再沿铅直方向向上平移三个单位,就原抛物线图象的解析式应变为（）Ay=（ x 2）2+3 By=（x 2）2+5 Cy=x2 1 Dy=x2+4 2 2ax+c 的图象经过点（1,0）,就方程 ax2 2ax+c=0 的解为（6如二次函数y=axAx1= 3,x2= 1 Bx1=1,x2=3 Cx1= 1,x2=3 Dx1= 3, x2=1 7如下列图, O 的半径为 13,弦 AB 的长度是 24,ONAB ,垂
3、足为 N,就 ON=（A5 B7 C9 D11 名师归纳总结 8如图,线段AB 是 O 的直径,弦CD AB , CAB=40 ,就 ABD 与 AOD 分别等第 1 页,共 28 页于（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载A40,80 B50,100 C50,80 D40, 1009已知 O 的半径 OD 垂直于弦 AB ,交 AB 于点 C,连接 AO 并延长交 O 于点 E,如 AB=8 ,CD=2 ,就 BCE 的面积为（）A12 B15 C16 D18 10二次函数 y=ax 2+bx+c（a 0）的图象如下列图,以下结论：
4、b； b2 4ac 0,其中正确的个数是（）A1 B2 C3 D4 二填空题（共 10 小题） b0； c 0； a+c11在 ABC 中, C=90,AB=13 , BC=5,就 sinA 的值是12在将 Rt ABC 中, A=90 , C： B=1 ：2,就 sinB=13已知 cos=,就 的值等于14已知抛物线 y=ax 2 3x+c（a 0）经过点（2,4）,就 4a+c 1=15如二次函数 y=2x 2 4x 1 的图象与 x 轴交于 A（x1,0）、B（x2,0）两点,就 +的值为16已知 M 、N 两点关于 y 轴对称,且点 M 在双曲线 上,点 N 在直线 y= x+3 上
5、,设点 M 坐标为（ a,b）,就 y= abx2+（a+b）x 的顶点坐标为17如 O 的直径为 2,OP=2,就点 P 与 O 的位置关系是：点 P 在 O18如图, O 的直径 CD=20cm ,AB 是 O 的弦, AB CD ,垂足为 M ,如 OM=6cm ,就 AB 的长为cmAC , AOB=120 ,就 CAB 的度数是19已知 AB 、BC 是 O 的两条弦, AB=名师归纳总结 20二次函数y=ax2+bx+c 的图象如下列图,且P=| 2a+b|+| 3b 2c| ,Q=| 2a b| | 3b+2c| ,第 2 页,共 28 页就 P, Q 的大小关系是三解答题（共1
6、0 小题）21运算：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 22如图,学习必备欢迎下载ABC 中, ACB=90 ,sinA=,BC=8,D 是 AB 中点,过点 B 作直线 CD 的垂线,垂足为点 E（1）求线段 CD 的长；（2）求 cosABE 的值23已知ABC ,以 AB 为直径的 O 分别交 AC 于 D,BC 于 E,连接 ED,如 ED=EC （1）求证： AB=AC ；（2）如 AB=4 , BC=2,求 CD 的长的中点,过点C 作直线 CDAE 于24如图, AB 为 O 的直径,点E 在 O 上, C 为D,连接 AC、 BC名师归纳
7、总结 （1）试判定直线CD 与 O 的位置关系,并说明理由；第 3 页,共 28 页（2）如 AD=2 , AC=,求 AB 的长- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载25如图, AB 是 O 的弦,点 C 为半径 OA 的中点,过点 连接 BD,且 DE=DB （1）判定 BD 与 O 的位置关系,并说明理由；（2）如 CD=15,BE=10 ,tanA=,求 O 的直径C 作 CDOA 交弦 AB 于点 E,26某片果园有果树 80 棵,现预备多种一些果树提高果园产量,但是假如多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会削减,单棵树的
8、产量随之降低如该果园每棵果树产果 y（千克）,增种果树 x（棵）,它们之间的函数关系如下列图（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情形下,增种果树多少棵时,果园可以收成果实 6750 千克？（3）当增种果树多少棵时,果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？名师归纳总结 27为了增强同学体质,学校勉励同学多参与体育锤炼,小胖同学立刻行动,每天环绕小区第 4 页,共 28 页进行晨跑锤炼该小区外围道路近似为如下列图四边形ABCD ,已知四边形ABED 是正方形, DCE=45 ,AB=100 米小胖同学某天绕该道路晨跑5 圈,时间约为20 分钟,求小胖同学该天晨跑的平均
9、速度约为多少米/分？（结果保留整数,1.41）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载28据调查, 超速行驶是引发交通事故的主要缘由之一,所以规定以下情境中的速度不得超过 15m/s,在一条笔直大路 BD 的上方 A 处有一探测仪, 如平面几何图, AD=24m ,D=90 ,第一次探测到一辆轿车从 B 点匀速向 D 点行驶,测得ABD=31 ,2 秒后到达 C 点,测得ACD=50 （tan310.6,tan501.2,结果精确到 1m）（1）求 B, C 的距离（2）通过运算,判定此轿车是否超速29如图,抛物线y=ax2+bx+c 的图
10、象与 x 轴交于 A（ 1.0）,B（3,0）两点,与y 轴交于点 C（0, 3）,顶点为 D（1）求此抛物线的解析式（2）求此抛物线顶点 D 的坐标和对称轴（3）探究对称轴上是否存在一点 存在,恳求出全部符合条件的P,使得以点 P、D、A 为顶点的三角形是等腰三角形？如 P 点的坐标,如不存在,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载30在平面直角坐标系中,抛物线 y= x 2 2x+3 与 x 轴交于 A ,B 两点（ A 在 B 的左侧）,与 y 轴交于点 C,顶点为 D（1）请直接写出
11、点A ,C,D 的坐标；CDE 的周长最小,求点E 的坐标；（2）如图（ 1）,在 x 轴上找一点E,使得（3）如图（ 2）,F 为直线 AC 上的动点,在抛物线上是否存在点 角三角形？如存在,求出点 P 的坐标,如不存在,请说明理由P,使得 AFP 为等腰直名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载北师大版九年级下册数学期末试卷参考答案与试题解析一挑选题（共 10 小题）1（ 2022.永州）以下式子错误选项（）Acos40=sin50 Btan15 .tan75=1 Csin 225+cos 225=
12、1 Dsin60=2sin30【分析】 依据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判定【解答】 解： A 、sin40=sin（90 50）=cos50,式子正确；B、tan15 .tan75=tan15 .cot15=1,式子正确；C、sin 225+cos 225=1 正确；D、sin60=,sin30=,就 sin60=2sin30错误应选 D【点评】 此题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系,的关系,懂得性质是关键以及同角之间的正切和余切之间2（ 2022.巴中）一个公共房门前的台阶高出地面 1.2 米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如下列图,就以下关系或说法正确选项（
13、）A斜坡 AB 的坡度是 10B斜坡 AB 的坡度是 tan10CAC=1.2tan10 米DAB=米【分析】 依据坡度是坡角的正切值,可得答案【解答】 解：斜坡 AB 的坡度是 tan10=,故 B 正确；应选： B【点评】 此题考查了坡度坡角,利用坡度是坡角的正切值是解题关键3（ 2022.钦州校级自主招生）已知,在Rt ABC 中, C=90 ,AB=,AC=1 ,那么A 的正切 tanA 等于（）AB2 CD【分析】 依据勾股定理求出BC,依据正切的定义运算即可名师归纳总结 【解答】 解： C=90, AB=, AC=1 ,第 7 页,共 28 页BC=2,就 tanA=2,- - -
14、 - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载应选： B【点评】 此题考查的是锐角三角函数的定义,把握锐角 的正切是解题的关键A 的对边 a 与邻边 b 的比叫做 A4（ 2022.赤峰）函数y=k （x k）与 y=kx2,y=（k 0）,在同一坐标系上的图象正确的D是（）CA B【分析】 将一次函数解析式绽开,可得出该函数图象与y 轴交于负半轴, 分析四个选项可知,只有 C 选项符合,由此即可得出结论【解答】 解：一次函数 y=k （x k）=kx k2,k 0, k20,一次函数与 y 轴的交点在 y 轴负半轴A、一次函数图象与 y 轴交点在 y 轴
15、正半轴, A 不正确；B、一次函数图象与 y 轴交点在 y 轴正半轴, B 不正确；C、一次函数图象与 y 轴交点在 y 轴负半轴, C 可以；D、一次函数图象与 y 轴交点在 y 轴正半轴, D 不正确应选 C【点评】 此题考查了一次函数的图象,解题的关键是分析一次函数图象与 y 轴的交点 此题属于基础题,难度不大,解决该题时,由一次函数与 y 轴的交点即可排除了 A、B、D 三个选项,因此只需分析一次函数图象即可得出结论5（ 2022.眉山）如抛物线 y=x 2 2x+3 不动,将平面直角坐标系 xOy 先沿水平方向向右平移一个单位,再沿铅直方向向上平移三个单位,就原抛物线图象的解析式应变
16、为（）Ay=（ x 2）2+3 By=（x 2）2+5 Cy=x2 1 Dy=x2+4 【分析】 思想判定出抛物线的平移规律,依据左加右减,上加下减的规律即可解决问题【解答】 解：将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移一个单位,再沿铅直方向向上平移三个单位,这个相当于把抛物线向左平移有关单位,再向下平移3 个单位,y= （x 1）2+2,y=（x 1+1）2+2 3=x2 1,原抛物线图象的解析式应变为故答案为 C【点评】 此题考查二次函数图象的平移,解题的关键是懂得坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的,记住左加右减,上加下减的规律,属于中考常考题型6（ 2022.宿迁）如二次函数 y=
17、ax 2 2ax+c 的图象经过点（1,0）,就方程 ax2 2ax+c=0的解为（）Ax1= 3,x2= 1 Bx1=1,x2=3 Cx1= 1,x2=3 Dx1= 3, x2=1 【分析】 直接利用抛物线与【解答】 解：二次函数x 轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案y=ax2 2ax+c 的图象经过点（1,0）,名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载方程 ax 2 2ax+c=0 肯定有一个解为：x= 1,抛物线的对称轴为：直线 x=1,二次函数 y=ax2 2ax+c 的图象与 x 轴的另
18、一个交点为： （3,0）,方程 ax 2 2ax+c=0 的解为： x1= 1,x2=3应选： C【点评】 此题主要考查了抛物线与x 轴的交点,正确应用二次函数对称性是解题关键7（ 2022.黄石）如下列图,O 的半径为 13,弦 AB 的长度是 24, ONAB ,垂足为 N,就 ON= （）A5 B7 C9 D11 【分析】 依据 O 的半径为 13,弦 AB 的长度是 24,ONAB ,可以求得 AN 的长,从而可以求得 ON 的长【解答】 解：由题意可得,OA=13 , ONA=90 ,AB=24 ,AN=12 ,ON=,应选 A 【点评】 此题考查垂径定理,解题的关键是明确垂径定理的
19、内容,利用垂径定懂得答问题8（ 2022.巴彦淖尔）如图,线段AB 是 O 的直径,弦CDAB , CAB=40 ,就 ABD与 AOD 分别等于（）A40,80 B50,100 C50,80 D40, 100【分析】 求出 AEC=90 ,依据三角形内角和定理求出C=50,依据圆周角定理即可求出ABD ,依据 OB=OD 得出 ABD= ODB=50 ,依据三角形外角性质求出即可【解答】 解： CD AB , AEC=90 , CAB=40 , C=50, ABD= C=50,OB=OD , ABD= ODB=50 , AOD= ABD +ODB=100 ,名师归纳总结 - - - - -
20、- -第 9 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载应选 B【点评】 此题考查了圆周角定理,垂径定理的应用,能熟记圆周角定理的内容是解此题的关键9（ 2022.丹阳市校级一模）已知O 的半径 OD 垂直于弦 AB ,交 AB 于点 C,连接 AO 并延长交 O 于点 E,如 AB=8 ,CD=2 ,就 BCE 的面积为（）A12 B15 C16 D18 【分析】 设 OC=x ,依据垂径定理可得出 AC=4 ,利用勾股定理可得出关于 x 的一元二次方程,解方程求出 x 的值, 进而得出 OC 的长度, 再依据三角形的中位线的性质以及三角形的面积公式
21、即可得出结论【解答】 解：依照题意画出图形,如下列图设 OC=x ,就 OA=OD=x +2,OD AB 于 C,在 Rt OAC 中, OC2+AC2=OA2,即 x2+42=（x+2）2,解得 x=3 ,即 OC=3 ,OC 为 ABE 的中位线,BE=2OC=6 AE 是 O 的直径, B=90,应选 A 【点评】 此题考查了垂径定理、三角形的中位线以及三角形的面积,解题的关键是求出 BE的长度此题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,依据勾股定理找出方程是关键10（2022.常德）二次函数 y=ax 2+bx+c（a 0）的图象如下列图,以下结论：0； a+cb； b 2 4ac0,
22、其中正确的个数是（） b0； cA1 B2 C3 D4 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【分析】 由二次函数的开口方向,对称轴 0x1,以及二次函数与 y 的交点在 x 轴的上方,与 x 轴有两个交点等条件来判定各结论的正误即可【解答】 解：二次函数的开口向下,与y 轴的交点在y 轴的正半轴,a0,c0,故 正确；01,b0,故 错误；当 x= 1 时, y=a b+c0,a+cb,故 正确；二次函数与 x 轴有两个交点, =b 2 4ac0,故 正确正确的有 3 个,应选： C【点评】 此题
23、主要考查了二次函数的图象与系数的关系,要娴熟把握, 解答此题的关键是要明确： 二次项系数 a 打算抛物线的开口方向和大小：当 a0 时,抛物线向上开口；当 a0 时,抛物线向下开口； 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同打算对称轴的位置：当 a与 b 同号时（即 ab0）,对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab 0）,对称轴在 y 轴右（ 简称：左同右异） 常数项 c 打算抛物线与 y 轴交点抛物线与 y 轴交于（ 0,c）二填空题（共 10 小题）11（2022.永春县模拟）在ABC 中, C=90,AB=13 ,BC=5,就 sinA 的值是【分析】 利用锐角三角函数的定
24、义求解,sinA 为 A 的对边比斜边,求出即可【解答】 解：在ABC 中, C=90,AB=13 ,BC=5 ,sinA= =故答案为【点评】 此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边12（2022.株洲模拟）在将Rt ABC 中, A=90 , C： B=1：2,就 sinB=【分析】 依据题意和三角形内角和定理求出【解答】 解： A=90 , C+B=90 ,又 C： B=1： 2, B=60,sinB=,B 的度数,依据正弦的定义解答即可名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 28 页精选学习资
25、料 - - - - - - - - - 故答案为：学习必备欢迎下载【点评】 此题考查的是锐角三角函数的定义、三角形内角和定理的应用,把握三角形内角和等于 180、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键13（2022.雅安校级模拟）已知cos=,就=的值等于0代【分析】先利用 tan=得到原式 =,然后把 cos=入运算即可【解答】 解： tan=,=,=cos=,=0故答案为 0【点评】 此题考查了同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos 2A=1 ；正余弦与正切之间的关系（积的关系） ：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比,即tanA=或sinA=tanA .cosA14（2022.
26、牡丹江） 已知抛物线 y=ax 2 3x+c（a 0）经过点（ 2,4）,就 4a+c 1=【分析】 将点（2,4）代入 y=ax2 3x+c（a 0）,即可求得 4a+c 的值,进一步求得 1 的值 34a+c【解答】 解：把点（2, 4）代入 y=ax2 3x+c,得4a+6+c=4,4a+c= 2,4a+c 1= 3,故答案为3【点评】 此题考查了二次函数图象上点的坐标特点,点在函数上,将点代入解析式即可名师归纳总结 15（2022.泸州）如二次函数y=2x2 4x 1 的图象与 x 轴交于 A（x1,0）、B（x2, 0）两第 12 页,共 28 页点,就+的值为 4- - - - -
27、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【分析】 设 y=0 ,就对应一元二次方程的解分别是点关系即可求出+的值【解答】 解：设 y=0 ,就 2x2 4x 1=0,A 和点 B 的横坐标,利用根与系数的一元二次方程的解分别是点A 和点 B 的横坐标,即x1, x2,x 轴的交点的横坐标x1+x2=2, x1,.x2=,把握二次函数与+= 4,故答案为：4【点评】 此题考查了二次函数与一元二次方程的关系,就是对应的一元二次方程的根是解题关键16（2022.邯郸校级自主招生）已知 M 、N 两点关于 y 轴对称,且点 M 在双曲线 上,点 N 在直线 y= x
28、+3 上,设点 M 坐标为（a,b）,就 y= abx 2+（a+b）x 的顶点坐标为（,）【分析】 依据反比例函数和一次函数的性质解题【解答】 解： M 、 N 两点关于 y 轴对称,M 坐标为（ a,b）,N 为（a, b）,分别代入相应的函数中得,b= ,a+3=b ,ab=,（a+b）2=（a b）2+4ab=11,a+b=,）y= x2x,顶点坐标为（=,=）,即（,故答案为：（,）【点评】 主要考查了函数的性质和求抛物线的顶点坐标、ab, a+b 的值,整体代入求出函数的解析式对称轴的方法 解题关键是先求出17（2022 秋.南京期中）如O 的直径为 2,OP=2,就点 P 与 O
29、 的位置关系是：点 P 在O 外【分析】 由条件可求得圆的半径为 1,由条件可知点 P 到圆心的距离大于半径,可判定点 P在圆外【解答】 解： O 的直径为 2, O 的半径为 1,OP=21,名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载点 P 在 O 外,故答案为：外【点评】 此题主要考查点与圆的位置关系,利用点到圆心的距离d 与半径 r 的大小关系判定点与圆的位置关系是解题的关键18（2022.绥化）如图, O 的直径 CD=20cm ,AB 是 O 的弦, AB CD ,垂足为 M ,如OM=6cm
30、 ,就 AB 的长为16cmAB=2AM ,已知 OA 、OM ,依据勾股定理求出AM【分析】 连接 OA ,依据垂径定理求出即可【解答】 解：连接 OA , O 的直径 CD=20cm ,OA=10cm ,在 Rt OAM 中,由勾股定理得：AM= =8cm,由垂径定理得：AB=2AM=16cm 故答案为： 16【点评】 此题考查了垂径定理和勾股定理的应用,关键是构造直角三角形19（2022.香坊区模拟）已知 AB 、BC 是 O 的两条弦, AB= AC , AOB=120 ,就CAB 的度数是 15或 75【分析】 如点 C 在优弧 AB 上,依据 AB= AC 设 AC=2x 、AB=
31、 x,作 OD AB 、作OEAC ,由 AOB=120 、OA=OB 得 OAD=30 ,在 Rt OAD 中可得 OA= x,在 Rt OAE 中由 cosOAE= 度数；可得 OAE 度数,继而依据 CAB= OAB +OAE 可得 CAB 当点 C 在劣弧 AB 上时, 与（1）同理可得 OAB=30 ,OAE=45 ,依据 CAB= OAE OAD 可得此时 CAB 的度数,即可得答案【解答】 解： 如图 1,如点 C 在优弧 AB 上,名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - AB=AC,学习必备欢迎下载设
32、AC=2x ,就 AB= x,过点 O 作 OD AB 于点 D,作 OEAC 于点 E,AD=AB=x,AE=AC=x , AOB=120 ,OA=OB , OAD=30 ,在 Rt OAD 中, OA=x,在 Rt OAE 中, cos OAE=, OAE=45 , CAB= OAB +OAE=75 ； 如图 2,当点 C 在劣弧 AB 上时,由 知, OAB=30 , OAE=45 , CAB= OAE OAD=15 ,故答案为： 15或 75【点评】 此题主要考查垂径定理及三角函数的应用,娴熟把握垂径定理是解题的关键名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 28 页精选
33、学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载20（2022.内江）二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如下列图,且 P=| 2a+b|+| 3b 2c| ,Q=| 2a b| | 3b+2c| ,就 P,Q 的大小关系是 PQ【分析】 由函数图象可以得出a0,b 0,c0,当 x=1 时, y=a+b+c0,x= 1 时, y=a b+c0,由对称轴得出 2a+b=0,通过确定肯定值中的数的符号后去掉肯定值再化简就可 以求出 P、Q 的值【解答】 解：抛物线的开口向下,a0,0,b0,2a b0,=1,b+2a=0,x= 1 时, y=a b+c0b b+c0,3b 2
34、c0,抛物线与 y 轴的正半轴相交,c0,3b+2c0,p=3b 2c,Q=b 2a 3b 2c= 2a 2b 2c,Q P= 2a 2b 2c 3b+2c= 2a 5b= 4b0 PQ,故答案为： PQ【点评】 此题考查了二次函数的图象与系数的关系,去肯定值,二次函数的性质熟记二次 函数的性质是解题的关键三解答题（共10 小题）负整数指数幂、 特别角的三角函数值及21（2022.金华校级模拟）运算：【分析】 先依据二次根式的化简、0 指数幂把原式化简,再依据实数混合运算的法就进行运算即可名师归纳总结 【解答】 解：原式 =2+2 4 1,第 16 页,共 28 页=2+2 2 1,- - -
35、 - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载=1故答案为： 1【点评】 此题考查实数的综合运算才能,是各地中考题中常见的运算题型解决此类题目的关键是熟记特别角的三角函数值,娴熟把握负整数指数幂、零指数幂及二次根式等考点的运 算22（2022.江西模拟）如图,ABC 中, ACB=90 ,sinA=,BC=8 ,D 是 AB 中点,过点 B 作直线 CD 的垂线,垂足为点 E（1）求线段 CD 的长；（2）求 cosABE 的值【分析】（1）在ABC 中依据正弦的定义得到sinA=,就可运算出AB=10 ,然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=A
36、B=5 ；S BDC=S（2）在 Rt ABC 中先利用勾股定理运算出AC=6 ,在依据三角形面积公式得到ADC,就 S BDC=S ABC,即CD .BE=.AC .BC,于是可运算出BE=,然后在 Rt BDE 中利用余弦的定义求解【解答】 解：（1）在 ABC 中, ACB=90 ,sinA=,而 BC=8,AB=10 ,D 是 AB 中点,CD= AB=5 ；（2）在 Rt ABC 中, AB=10 ,BC=8 ,AC= =6,D 是 AB 中点,BD=5 ,S BDC=S ADC,名师归纳总结 S BDC=SABC,即CD.BE=.AC .BC,第 17 页,共 28 页BE=,-
37、- - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在 Rt BDE 中, cos DBE=学习必备,欢迎下载=即 cosABE 的值为在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解【点评】 此题考查明白直角三角形：直角三角形也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式23（2022.宁夏）已知ABC ,以 AB 为直径的 O 分别交 AC 于 D,BC 于 E,连接 ED,如 ED=EC （1）求证： AB=AC ；（2）如 AB=4 , BC=2,求 CD 的长EDC= C,由圆外接四边形的性质得到EDC= 【分析】（1）由等腰三角形的性质得到B,由此推得 B=
38、 C,由等腰三角形的判定即可证得结论；（2）连接 AE,由 AB 为直径,可证得AEBC,由（ 1）知 AB=AC ,证明CDE CBA后即可求得CD 的长【解答】（1）证明： ED=EC , EDC= C, EDC= B, B=C,AB=AC ；（2）方法一：解：连接 AE ,AB 为直径,AE BC,由（ 1）知 AB=AC ,BE=CE=BC=, CDE CBA ,CE.CB=CD .CA,AC=AB=4 ,.2=4CD ,CD=方法二：解：连接 BD ,AB 为直径,名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习
39、必备 欢迎下载BD AC ,设 CD=a,由（ 1）知 AC=AB=4 ,就 AD=4 a,在 Rt ABD 中,由勾股定理可得：BD 2=AB 2 AD 2=4 2 （ 4 a） 2在 Rt CBD 中,由勾股定理可得：BD 2=BC 2 CD 2=（2）2 a 242 （ 4 a）2=（2）2 a2整理得： a=,即： CD=【点评】 此题考查了圆周角定理,等腰三角形的判定和性质,是解题的关键勾股定理,正确的作出帮助线24（2022.漳州）如图, AB 为 O 的直径,点E 在 O 上, C 为的中点,过点C 作直线 CDAE 于 D,连接 AC 、BC（1）试判定直线 CD 与 O 的位置关系,并说明理由；