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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第 17 章:二次根式 第一课时 : 二次根式的概念与性质 学问点 1:二次根式的定义 : （1） 形如 a a0 的式子叫做二次根式；（2）a a0 表示非负数 a 的算术平方根（3） 二次根式的要求 根指数为 2 被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等,但必需是非负数 类型一：二次根式的识别例 1：已知式子2 ; 2 x1 ; 3 ; 10 ; 34 ; a1,0；其中肯定是二次根式的是；学问点 2:二次根式中字母的取值范畴：（1） 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于（2） 二次根式无意义的条件：被开方数小于0 （3） 二次
2、根式做分母时 : 被开方数大于 0. 类型一：求字母的取值范畴 例 1：x 取何值时,以下各式有意义？1x5x1623xxx1212解：（1）由题意知x50解得x 5 且x6.x60（所以当x 5 且x6时x5x16有意义3x02）由题意知解得1 x 3 且 x 22x102x20所以当1 2 x 3 且 x 2 时3xxx12有意义21类型二：依据字母隐含的的取值范畴,求代数式的值（较难）例 2：如 、 为实数,且y2 x4x42 x1,求xy 的值2分析：要使x24 有意义,就x24 ,即 0x2 4,第 1 页要使4x2有意义,就4x20, 即x24,所以x24,又由于x20,所以x2,
3、y14801 班数学课堂讲义名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解: 由题意知 :x24 且42 x0x24,又xx20,1x2y14y293442学问点 3：二次根式的性质：（1）双重非负性： 被开方数为非负数,即 a0；二次根式的值为非负数,即 a 0（2）两个性质：性质 1：（a）2 = a（a0）语言表达：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；或表达为：一个非负数先开平方再平方等于这个数本身；性质 2：2 aaaaa0a0语言表达：一个数先平方再开平方等于这个数的肯定值；证明：性质1：设x22a就xa或xa
4、=aa220x2性质2把xa代入式得（a）2=a把xa代入式得（-a）2：设axx0,两边平方得：2aaa由性质1得：ax2x0所以xaa0所以a2aaa0aa0类型一：简洁的运算与化简 例 1：运算与化简122 3 ;2823122（4）（x23221221解 :122 3 =223243=12.28 2 8288或 828（31221221或12（4）（x2 3 =x3x3x03xx0类型二：在实数范畴内因式分解例 2：在实数范畴内因式分解；名师归纳总结 1 a232216 b211a3a3;11第 2 页第 2 页,共 14 页解：1 a23=2 a 32216 b114 2 1124b
5、114 b801 班数学课堂讲义- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 注：性质 1 的逆用：aa2a0类型三 : 利用非负数定理进行的较复杂的运算例 3: 已知实数 x、y、z 满意2xy2yzz2z10,4求 x+y+z 的值；解：原式化为：2xy2yzz120y12yz1z012 =02由于2xy0,2yz ,z120 且2x22xy0x114所以2yz0解得y1 4所以xyz442z10z1220. 注：非负数定理: 几个非负数和为0,就这几个非负数均为类型四 : 根字母的取值范畴、字母隐含的的取值范畴、图象或三角形三边关系等及公式2 aaaa0进行
6、较复杂的化简5 ba2a a0例 4：化简x2x22x26x92x3解:2x3x0,x20,x30原式=xx2x3xx23x3x注：x3 =x33xb例 5：化简：4x24x1 2x32分析：42 x4x1=（2 x2 12 x1要脱掉肯定值符号必需知道2x1 是大于 ,仍是小于0.解：由2 x3 知 2x3 所以2x ,从而2 x10又4x24x1=（2 x2 12x1 =2x1原式=2x12x32 x12 x32例 6：实数 a,b 在数轴上数轴上位置如下列图,化简aa 0 b 名师归纳总结 解：由图象可知：a0,b0且abab0,ba0a2 ac2cab2第 3 页,共 14 页原式=a
7、bbaab baabba例 7：如 a、b、c 为 ABC的三边长,化简abc2b801 班数学课堂讲义第 3 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：a、b、c是ABC的三边abc,acb,cbacbaabab0cabc0,abc0,原式=abcaccbbcaabcab3c类型五 : 复杂问题的分析方法之一: 从特别到一般例 8：已知 m、n 是两个连续的自然数（ mn）, 且 q=mn, 设pqnqm ,就 是奇数仍是偶数？分析：对于复杂问题我们可从特例入手,查找解题的方向；如取 m=2,就n=3,p= 2 3 3 2 3 2 3 22 23 2
8、52 2解 : 由题意知：n=m+1, 就 q+n=nn-1+n=n , q m m m 1 m m2 2所以 P n m n m n m由于 m、n 为连续的自然数,所以 m、 n中必定有一奇一偶；所以 n m 必定为奇数,所以 p 总是为奇数2 a a0注：对于性质 2：a a 肯定要分两步走,这样防止出错；a a02 2学问点 4： a 与 a 的不同点与联系2 2不同点：从运算次序来看 : a 先开方后平方 a 先平方后开方注： a 2表示一个正数 a 的算术平方根的平方,而 a2 表示一个实数 a 的平方的算术平方根；从取值范畴来看： a : 2a0 a 2: a 可以是正数、 、负
9、数；从运算结果看：（a ）2 = a（a 0）a 2a a a0a a0联系：当被开方数都是非负数,即 时 a 2a 2a 当 时 a 2无意义,而 a 2a a801 班数学课堂讲义 第 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次课时：二次根式的运算学问点 5：二次根式的性质3（二次根式的乘法法就）：abab a0 ,b0 ；语言表达：二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变；注：（ 1）公式逆向运用可得：ababa,0b0 语言表达：积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积；（2）千万留意公式中a b
10、必需满意 0, b ,否就易出错证明：左边=（ab2a2b2a b右边得证注：证明时性质2 的逆用：a2 aa0=42334=22 23 最终的结果必需是最简的；如：181333或113=399333333类型一：公式成立的条件例 1：等式x1x12 x1 成立的条件是什么？10,x10分析 :x1x1x21x1x1x解：由题意知：x x1 0解得： 故成立的条件是：x110例 2运算：（-9-25.小南的解是： （ -9-25=925 3 515小颖的解是： （ -9-25=9259253515请你判定正误,并说明理由；解：小颖的解题过程正确,小南的解题过程是错误的；小南没有考虑到公式aba
11、b 的成立条件：a0,b . 即9、25 都是没有意义的；类型二：二次根式比较大小名师归纳总结 例 3：比较2 3 和33 212180第 5 页,共 14 页解：2 344 312方法二：作差比较法3 2929218（2 3） 3 22 33 22 33 22 33 2801 班数学课堂讲义第 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4：比较1114 与12+ 13的大小解： 11142 12132252 154252 156134 不是直接作差比较,而2 1541560 11142 122 13 ,111412例 5：比较ab 与 2ab a0
12、,b0解：ab 2aba22abb2 ab 20ab2ab（当且仅当ab 时,取 “=” ）注： 比较大小最常用的方法是作差比较法,其次是作商比较法；例是先平方再作差比较；类型三：二次根式的简洁运算与化简名师归纳总结 例 6：运算1132;26 8 3 2;3 15620a218472第 6 页,共 14 页2解： 1 原式 =132=164（ ）原式 =6 -38223原式1562018009002302例 7化简：1 24 a3 18 a;24a6 bc5 b3 c5 a12 3解： 1 原式24a18a324 18a a34636 a4（ ）原式 24a6bc82 25b3 c5a255
13、. 类型四：挖掘字母的隐含条件进行较复杂的二次根式化简例 8. （1）已知 xy0, 所以a0 1a原式2 a2 1a413 aaa5a0原式 2 b2 2 b42 a b注：只能把正数由根号外移入根号内,负数中负号的肯定要写在根号外；类型六：二次根式的估算（主要采纳放缩法）例 11. 运算 32 1 2 5 的结果估量在 7 至 8 之间 填整数 2分析：原式 32 1 2 5 16 10 4 10 9 10 1623 10 4 4 3 4 10 4 4 7 4 10 8例 12. 求 n 2n n为正整数）的整数部分；2 2 2 2 2 2解：n n n n 2 n 1 n n n n 2
14、 n 1n n 2n n 1 n 2n 的整数部分为 n类型七：利用乘法公式进行复杂的二次根式化简；名师归纳总结 例 13.已知a52,b52,求a22 b7 的值第 7 页,共 14 页801 班数学课堂讲义第 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解:a2b2a2 b 2 ab422 5418原式 18 7 25 5注: 或 a 2 b 2 a b 2 2 ab 2 5 2 2 5 4 18或 a 2 b 2 5 4 4 5 5 4 4 5 18例 14. 如 x 2 1, y 2 1, 求 x 2xy y 2的值；2解：x y（2 1 2 1
15、2, xy（2 1 2 1 2 1 1原式 x y 2 3 xy 2 2 3 1 7注：方法二 : 原式 x y 2 xy 2 2 2 1 8 1 7练课课练 P8 第 5 题：已知 x 1 7 5, y 1 7 5, 求 x 2xy y 2的值 . 答案：112 2 22课课练 P9 达标 3：已知 x 2 1, 求 x 2 x 1 的值； 答案：2学问点 6：二次根式的性质 4（二次根式的除法法就）：a a a , ）b b语言表达：二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变；注：（1）公式逆向运用可得：aa a , ）bb语言表达：商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
16、；（2）千万留意公式中a b 必需满意 0,b0,否就易出错证明：左边a2a2a右边bb2b得证注：证明时性质2 的逆用：aa2a07 3 最终的结果必需是最简二次根式：见学问点类型一：公式成立的条件801 班数学课堂讲义 第 8 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 已知9x9x,且 为偶数,求1x x23 x4 的值x6x62 x1解：要使9x9x成立,必需9x0解得：6x9.x60x6x6又由于 为偶数,所以x8从而x10原式1x 2x4x1x1x4x1x18 1 849 126 3类型二：二次根式的简洁运
17、算与化简例2. 运算1323613274183421a31 23327349943解： 1 原式=131=131=131（ ）原式=64=64=8 3494979943原式=12133 3121341321333（4原式= 1844= 1844=32=162=423333b4例3. 化简bab1a0,b031322x0225xaaba24解:1 原式 =2532x24 24 2x0a0,b05x5x2原式=b1111ababa ab ab3 a baabaab22 a b3原式bbba0aa2aba0a421a3 ,a0原式9a2a3aa3 aa4422类型三：二次根式大小的比较801 班数学
18、课堂讲义 第 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例4.如a5,b5,c5,用 “” 把 、 、 连接起来.777解：又a525 49,b2525c257,c557749b494925257a494949学问点 7：最简二次根式与分母有理化1. 最简二次根式应满意的条件为：1 被开方数的因数是整数,因式是整式 且二次根式不做分母2 被开方数中不得含有开得尽方的因数或者因式；如834 2422 2=333=313313993332.二次根式的分母有理化：分母有理化因式 1 分母为单项式：a 或m aam an b
19、（ ）分母为多项式：m an b注：利用公式a2a a0 和公式 ab ab a2b2来去掉根号 .类型一：最简的二次根式的识别例 1. 以下二次根式中,是最简的二次根式的有nm1468 x70a29x3x22x242 mn2分析 :x3x2x2x1）xx1xx1由于隐含了x1这个条件nmm3n33 mn3m3n33mn0mnm2n22 m n2mnnmn03 mmn类型二：已知最简二次根式,求字母取值；例 2.如3xy2和3 5x2y2都是最简二次根式,求x、 的值 ；x211解得x1y解：由题意知3 x2y2y2类型三：简洁的分母有理化；例 3.定义a baba,试求3*5第 10 页b8
20、01 班数学课堂讲义名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：3*535315315156155555注：二次根式前面的系数要写成假分数的形式,不能写成带分数；如此题中615中的系数6 515不能写成11；另外33515；55555练课课练 P6 中考 2化简:2（124312答案：3 3362例 4. 如x21,求x1的值 . x解：1111 21122121x221222 1原式 21212 2练课课练 P7达标 2：运算32757答案：2练课课练 P9达标 4：如a23,b213,就 与 的关系是 a ba=b
21、类型四：nn1 与nn1 互为倒数的应用：运算与比较大小；证明：nn1 nn1n2n12nn11nn1 与nn1 互为倒数 .注：由证明可知：n1n1nn1n1n1nn1例 5. 运算：11312413 202212022 20222解：原式213243202220222022120221 20221202222 1202212022注： 裂项相消法是解决带省号问题的常用方法；名师归纳总结 常用的裂项技巧：11k1 1 k nn1k211nkn第 11 页,共 14 页n nnknk练课课练 P9课堂 3：化简：11312202212022413 2801 班数学课堂讲义第 11 页- - -
22、 - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练课课练 P12第 8 题：猜想并证明：n1n 与nn1的大小；学问点 8：同类二次根式的概念及二次根式的加减与混合运算；1同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后,如被开方数相同,就称它们为同类二次根式；（即：先化简最简二次根式；再判定被开放数相同）2. 二次根式相加减： 先把每个二次根式化成最简二次根式,再把同类二次根式分别进行合并；解答二次根式加减问题的三步曲：即“ 先化简再判定最终合并” ；3二次根式的混合运算次序：与整式运算的次序类似,先做乘方、开方,再做乘除,最终做加 减,有括号的先算括号里面的；在二次根式的运算
23、中,整式的运算律及乘法公式仍旧适用；类型一：同类二次根式的识别例1.以下二次根式中,与5 3 是同类二次根式的是（ D）310 3分析 :A.18B . 0.3C. 30D. 30033030300102182 323 20.31010010类型二：依据同类二次根式求字母的值；例 2如a b8 a 与最简二次根式a3 b 是同类二次根式,求a、 的值.a、b解: 由 ab a 是二次根式得ab2,又8 a2 2a又由同类二次根式得 2 aa3 b联立方程组,得aba23 b解得a322 aa12且此时a b a122 3,a3 b3 符合题意 . 故a3,b122练习：最简二次根式2b a4
24、a3 b 与2 ab8能否为同类二次根式？如能求出的值,如不能,请说明理由；答案：求出a1, b3,但此时2b a4 a3 b 与2 ab8 均为17 不是最简二次根式,22不合题意,舍去；故满意条件的a、b不存在；类型三：简洁的二次根式混合运算；例 3运算名师归纳总结 1 123121272 351221 2330112第 12 页,共 14 页284323 9 45（ ）4422200234801 班数学课堂讲义第 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：原式2 915 445解：原式1612211122321615 345 31622121
25、62例 4. 化简12ab523 2a b 3 3a3 a ba2 9 a b ab229x6x2x16x2 xxbb34x333解：原式5 ab2解：原式xb2b32x92 a b922ab2 2a bab2x3x2x3xbb类型四：利用因式分解约分简化运算名师归纳总结 例 5. 1a32 a babb2aaababb.第 13 页,共 14 页aaba解： 1 原式aaaabababababaabb2原式aaaababbaababbab1ab类型五：先分母有理化再用乘法公式进行复杂的二次根式化简例 6: 已知:x11,y11,求3x24xy2y2的值 . 22解：x112211212121221y112211212121221原式3 22 14 21 212 22 13212 242212 2192 2类型六：利用性质2 进行复杂的二次根式化简例 7：已知：a1,求12 a1a2a222a1的值；3aaa801 班数学课堂讲义第 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解 :a1a111033原式 a2 1 a2 1a1a1a1a1a11a1a a1a a1a a1a当a1 3时,原式a11113433. a33801 班数学课堂讲义第 14 页名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页