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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载慧华训练五年级下册数学长方体与正方体学问点易错点汇总练习一、长方体和正方体的熟悉【学问点 1】要素 棱 面 顶点立体图形 数量 特点 数量 特点 数量 特点互 相 平 行长方体 12 的 棱 长 度 6 相对的面完全相 8 同相等 同一个顶点引出的垂 直 于 正 两 个 面 是 正 方 三条棱分别叫做长、方 形 面 的 形,其余四个面 宽、高特殊长方体 12 棱 长 度 相 6 是完全相同的长 8 等 方形所 有 的 棱全部面都是正方正方体 12 长 度 都 相 6 形且完全相同 8 等一个长方体至少可以有两个面是正方形,最多
2、可以有 6 各面是正方形,但不会存在 3 个、4个、 5 个面是正方形！练习：（1）判定并改正：有三个面是正方形的长方体肯定是正方体；（）有两个相对的面是正方形的长方体,另外四个面的面积是相等的；（）长方体和正方体最多可以看到 3 个面；（）长方体的 12 条棱中,长、宽、高各有 4 条；（）正方体不仅相对的面的面积相等,而且全部相邻的面的面积也都相等；（）一个长方体中最少有 4 条棱长度相等,最多有 8 条棱长度相等；（）（2）一个长方体最多有（）个面是正方形,最多有（）条棱长度相等；（3）一个长方体的底面是一个正方形,就它的 4 个侧面是（）形；（4）正方体不仅相对的面相等,而且全部相邻的
3、面（）,它的六个面都是相等的（）形；（5）把长方体放在桌面上,最多可以看到（）个面；最少可以看到（）个面；【学问点 2】棱长和公式：长方体棱长和 =（长 +宽+高）4 长+宽+高=棱长和 4 长方体棱长和 =下面周长2+高 4 长方体棱长和 =右面周长2+长 4 长方体棱长和 =前面周长2+宽 4 正方体棱长和 =棱长 12 棱长=棱长和 12 棱长和的变形：例如： 有一个礼盒需要用彩带捆扎,捆扎成效如图,打结部分需要 10 厘米彩带,一共需要多长的彩带？名师归纳总结 30 20cm 分析： 此题虽然并未直接提出求棱长和,但由于彩带的第 1 页,共 15 页捆扎是和棱相互平行的,因此,在解决问
4、题时首先确定每部分彩带与那条棱平行,从而间接去求20cm 棱长和；前面和后面的彩带长度 =高的长度； 左面和右面的彩带长度=高的长度；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载上面和下面的彩带长度 =长的长度；需要彩带的长度 =高 4+长 2+打结部分长度20 4+30 2+10=150cm 练习：（1）看图 2-7 并填空单位：厘米这是一个 体,正方体的棱长是 厘米,棱长之和是 厘米,每个面的面积是 平方厘米；（2）有一个长方体的鱼缸,长 50 厘米,宽 30 厘米,高 30 厘米,需要在用铝合金包裹玻璃连接处,需要（）米的铝合金；（3）一
5、个长方体的棱长总和是 80 厘米,其中长是 10 厘米,宽是 7 厘米,高是（ ）厘米；（4）把两个棱长 1 厘米的正方体拼成一个长方体,这个长方体的棱长总和是 （）厘米；（5）至少需要（）厘米长的铁丝,才能做一个底面周长是 18 厘米,高 3 厘米的长方体框架；（6）一个长方体长 12 厘米宽 8 厘米高 7 厘米,把它切成一个尽可能大的正方体,这个正方体的棱长是（）；（7）一个长方体的礼堂如图,过节时需要在四周装上成串的彩灯,每串彩灯长 2m,一共需要多少串彩灯？50m 6m 30m （8）一个长方体棱长和164cm ,已知长方体的底面周长为72cm , 长 方 体 的 高 是 多 少cm
6、？名师归纳总结 【学问点 3】折叠可以组合成正方体: 第 2 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载经过折叠可以组合成长方体：练习：以下三个图形中,能拼成正方体的是（）【学问点 4】长方体或正方体的切割组合对棱长的影响（1）切割名师归纳总结 - - - - - - -将长方体横向切割成两个长方体后,棱长将比原先一个长方体时增加4 条长和 4 条宽；（棱长增加的最长）将长方体竖向切割成两个长方体后,棱长将比原先一个长方体时增加4 条宽和 4 条高；（棱长增加的最短）将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后,棱长将比原先增加
7、4 条棱；（2）组合将两个完全相同的长方体沿上下面组合后,棱长比原先两个长方体时削减4 条长和 4 条宽；（棱长削减的最多）将两个完全相同的长方体沿前后面组合后,棱长比原先两个长方体时削减4 条长和 4 条高；将两个完全相同的长方体沿左右面组合后,棱长比原先两个长方体时削减4 条宽和 4 条高；（棱长削减的最少）将两个完全相同的正方体沿上下面组合后,棱长比原先两个正方体时削减8 条棱；一次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后,棱长比原先三个正方体时削减16条棱,四个组合削减 24 条棱,五个组合削减32 条 （公式： 8 （ N1）例如： 将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后,棱长和为
8、140 厘米,原先每个正方体的棱长和是多少？分析： 五个正方体棱长共有12 5=60 条；将五个完全相同正方体组合后棱长比原先削减32 条,仍剩 60-32=28 条；即这 28 条棱的长度和即为新长方体的棱长和,所以正方体一条棱的长度为： 140 28=5cm；所以一个正方体的棱长和为：5 12=60cm ；【学问点 5】小正方体拼大正方体的规律 由于正方体,每条棱的长度相等,所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应当是相等的,因此要拼出最小的正方体至少需要 2 2 2=2 3=8 个（也 就是说每条棱上放 2 个小正方体）,接着再往大了拼正方体, 就是每条棱上放 3 个
9、小正方体 即 3 3 3=3 3=27 个,依次类推接下来是 4 4 4=4 3=64 个； 5 5 5=5 3=125 个 从中我们可以发觉要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应当是一个数的立方；这就要求我们能够熟记一些数的立方：2 3=8 3 3=27 4 3=64 53=125 6 3=216 第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 73=343 83=512 学习必备欢迎下载103=1000 9 3=729 小正方体拼大长方体的规律规律同正方体,第一观看大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍,如,长方体长是小正方体棱长的 a 倍,宽是小正
10、方体棱长的 b 倍,高是小正方体棱长的 c 倍,就,大长方体就是由 a b c 个小正方体组成的；练习：（1）用棱长为 1 厘米的小正方体拼一个棱长为 6 厘米的大正方体需要 （）个小正方体；（2）用棱长为 3 厘米的小正方体拼棱长为 9 厘米的大正方体需要（）个小正方体；A、8 个 B、27 个 C、26 个 D、64 个（3）用棱长为 2 厘米的小正方体拼一个稍大一些的正方体至少需要（）个小正方体；A、4 个 B、8 个（4）以下有一些数量的棱长为（）A、27 个 B、4 个（5）一个长方体的长宽高分别是C、16 个 D、27 个1 厘米的小正方体,哪些数量可以拼成较大的正方体；C、1 个
11、 D、8 个 E、32 个 F、125 个18 、12、9,假如用棱长为 3 的小正方拼一个这样的长方体,一共需要（）块这样的小正方体；（6）用（）个棱长为 4cm 的小正方体可以拼出一个长为 16cm ,宽和高均为 8 的长方体；（7）一个长方体的盒子里面长 5 分米,宽 4 分米,深 3 分米,放棱长为 5 厘米的正方体小木块共可以放（）块；（8）两个棱长 1 厘米的正方体木块,拼成一个长方体,这具长方体表面积是（）平方厘米；二、长方体和正方体的表面积【学问点 1】长方体表面积 =（长 宽 +长 高 +宽 高）2 = （a b+a c+b c） 2 =（前面面积 +上面面积 +右面面积）2
12、 2 正方体表面积 =棱长 棱长6=a a 6=6a = 任意一个面的面积6 前面面积 =后面面积；左面面积 =右面面积；上面面积 =下面面积两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体,表面积不肯定相等！表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体,棱长和也不肯定相等！练习：）（1）一个正方体的棱长总和是48 分米,它的棱长是（）,表面积是（）；（2）一个长方体长 6 厘米,宽 4 厘米,高 3 厘米；这个长方体上下两个面的面积各是 （平方厘米,前后两个面的面积各是（）平方厘米,左右两个面的面积各是（平方厘米,表面积是（）平方厘米；（3）判定题：长方体的表面积肯定比正方体的表面积大； 假
13、如一个长方体能锯成四个完全一样的正方体,那么长方体前面的面积是底面积的 4 倍（）（4）把一个棱长为 6 米的正方体分成两个大小、外形相同的长方体,每个长方体的表面积是（）；（5）长方体的长是 6 厘米,宽是 4 厘米,高是 2 厘米,它的棱长总和是（厘米,六个面中最大的面积是（）平方厘米,表面积是（平方厘米；（6）用字母表示正方体（或长方体）的表面积（公式是（）；）；用字母表示长方体的体积名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载4 分米的棱（7）下面哪些问题跟长方体表面积有关；（） A：在一个长方体木箱
14、外面刷油漆,刷油漆的面积一共有多少平方分米？ B：做一个长方体的金鱼缸需要多少玻璃？C： 求一个长方形足球场需多少平方米的草皮？（8）一个长方体的长是5 分米,宽和高都是4 分米,在这个长方体中,长度为有（）条,面积是 20 平方分米的面有（）个；（9）一个长方体的金鱼缸,长是 8 分米,宽是 5 分米,高是 6 分米,不当心前面的玻璃被打坏了,修理时配上的玻璃的面积是（）；（10）一个正方体的底面积是 64 平方厘米,它的表面积是（）；【学问点 2】长方体表面求法的变形： 贴商标类型：只求四周面积；例如： 一个长方体包装盒,长宽高分别为 的面积是多少？8,4,5 ,需要在包装盒四周贴上商标,
15、需要商标纸游泳池类型：只求四周和底面；1dm的瓷砖,大例如： 一座游泳池,长宽高分别为10m,4m,1.5m,需要在池内贴上边长为约需要多少块瓷砖？ 抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积；例如： 一款抽纸盒,长宽高分别是 20cm,12cm,5cm,上面有长 14cm,宽 3cm的抽纸口,做这款抽纸盒需要多少硬纸片？ 占地面积问题：只求底面面积；例如： 一个长方体蓄水池,长 12m,宽 8m,深 3m,这个水池占地面积多少平方米？练习：（1）一盒饼干长 20 厘米,宽 15 厘米,高 30 厘米,现在要在它的四周贴上商标纸,假如 商标纸的接头处是 4 厘米,这张商标纸的面积是多少平方厘米？（2）
16、一种长方体硬纸盒,长 10 厘米,宽 6 厘米,高 5 厘米,有 2 平方米的硬纸板 210 张,可以做这样的硬纸盒多少个？（不计接口）（3）一个通风管的横截面是边长是 50 只, 需要多少平方米的铁皮 . 0.5 米的正方形 , 长 2.5 米. 假如用铁皮做这样的通风管（4）一个房间的长 6 米,宽 3.5 米,高 3 米,门窗面积是 8 平方米；现在要把这个房间的 四壁和顶面粉刷水泥,粉刷水泥的面积是多少平方米？假如每平方米需要水泥 4 千克,一 共要水泥多少千克？（5）在一节长 120 厘米,宽和高都是 12 节这样的通风管呢？（6）做一个正方体无盖纸盒,棱长是10 厘米的通风管,至少
17、需要铁皮多少平方厘米？做21 厘米,至少需要多少平方厘米的纸板？（7）一个抽屉,长 50 厘米,宽 30 厘米,高 10 厘米,做这样的 2 个抽屉,至少需要木板 多少平方厘米？名师归纳总结 （8）长方体的长为 12 厘米,高为 8 厘米,阴影部分的两个面的面积和是200 平方厘米,第 5 页,共 15 页这个长方体的表面积是多少平方厘米？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（9）一只鱼缸,棱长和为 280cm,其中,底面周长为 50cm,右面周长为 40cm,前面周长为50cm,这只鱼缸的占地面积是多少平方厘米？（10）一块长方形铁皮
18、长 60 厘米,宽 40 厘米,如 图, 从四个角上剪去边长是 10 厘米的正方形, 然后做成盒子, 这个盒子的表面积是多少平方厘米？【学问点 3】棱长变化对表面积、体积的影响：正方体正方体的棱长扩大 2 倍,其棱长和也扩大 2 倍,表面积扩大 4 倍,体积扩大 8 倍；正方体的棱长扩大 3 倍,其棱长和也扩大 3 倍,表面积扩大 9 倍,体积扩大 27 倍；正方体的棱长扩大 n 倍,其棱长和也扩大 n 倍,表面积扩大 n 2 倍,体积扩大 n 3 倍；长方体长方体的长宽高同时扩大 2 倍,其棱长和也扩大 2 倍,表面积扩大 4 倍,体积扩大 8 倍；长方体的长宽高同时扩大 3 倍,其棱长和也
19、扩大 3 倍,表面积扩大 9 倍,体积扩大 27 倍；长方体的长宽高同时扩大 n 倍,其棱长和也扩大 n 倍,表面积扩大 n 2 倍,体积扩大 n 3 倍；练习：（1）大正方体的棱长是小正方体的棱长的2 倍,那么大正方体的表面积是小正方体表面积的（）倍；（2）正方体的棱长缩小 5 倍,它的体积就缩小（）倍（3）一个长方体的长、宽、高都扩大 4 倍,它的表面积就（）；（4）正方体的棱长扩大 6 倍,表面积扩大（）倍；（5）一个正方体的棱长为 4 厘米扩大为 2 倍后,其棱长和为（）厘米,表面积为（）平方厘米比原先扩大了（）；（6）一个长方体长扩大 2 倍,高扩大 4 倍,体积扩大（）倍；（7）大
20、正方体的表面积是小正方体的 4 倍,那么大正方体的棱长是小正方体的（）；大正方体棱长之和是小正方体的（） A.2 倍 B.4 倍 C.6 倍 D.8 倍（8）把一个正方体切成大小相等的 8 个小正方体,8 个小正方体的表面积之和 （）；A.等于大正方体的表面积 B. 等于大正方体表面积的 2 倍 C. 等于大正方体表面积的 3 倍（9）一个表面积为 36 平方厘米的正方体木块,切成两个长方体,表面积增加了（）平方厘米；（10）一个正方体棱长缩小 2 倍,表面积缩小（）倍,体积缩小（）倍；（11）长方体的长、宽、高各缩小为原先的一半,它的体积会缩小为原先的（）倍；（12）长方体的长扩大为原先的
21、2 倍,宽不变,高缩小为原先的一半, 体积（）；【学问点 4】立体图形的切割：（切割会使表面积增加,因此存在表面积增加最多或最少的问题）长方体沿与原先长方体最大面平行的方向切割,其表面积比原先增加的最多；沿与原先长方体最小面平行的方向切割,其表面积比原先增加的最少；而且每切一刀增加两个完全相同的面,切两刀增加四个完全相同的面,依次类推；正方体名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 无论沿那个面平行的方向切,学习必备欢迎下载2a 2 不存在增加最都将增加两个正方形的面, 增加的面积均为多最少的问题；例如： 两盒磁带有三种不
22、同的包装方式,你说哪一种最省包装纸？要求最省包装纸,即表面积最小,也就是表面积比原先单独包装时削减的表面积最多,根据规律应当挑选第一种包装方式；练习：（1）把一个棱长为 6 米的正方体分成两个大小、外形相同的长方体,每个长方体的表面积是（）；（2）用两个长 4 厘米、宽 4 厘米、高 1 厘米的长方体拼成一个大长方体,这个长方体的表面积最大是（）平方厘米,最小是（）平方厘米；（3）把一根长 80 厘米,宽 5 厘米,高 3 厘米的长方体木料锯成长都是 40 厘米的两段,表面积比原先增加了（）平方厘米；（4）用两个长、宽、高分别是 3 厘米, 2 厘米, 1 厘米的长方体拼成一个大长方体,这个大
23、长方体的表面积最小是（）平方厘米；（5）棱长是 a 的两个立方体拼成长方体,长方体的表面积比正方体的表面积和削减（）；（6）一根长方体木料,长 1.5 米,宽和厚都是 2 分米,把它锯成 4 段,表面积最少增加（）平方分米（7）一个长 5 厘米,宽 4 厘米,高 3 厘米的长方体,截成两个外形,大小完全一样的长方体,表面积最多能增加多少平方厘米？（8）把一根长 2 米的方木（底面是正方形）锯成三段,表面积增加 5.76 平方分米,原先这根方木的底面积是多少平方分米？（9）一根 1.8m 长的木材,锯成三个完全相同的正方体后,表面积比原先增加多少平方厘米？（10）一个长方体长为 1.5 分米,宽
24、为 0.5 分米,高位 1 分米,锯三刀之后之后可以锯成 个完全相同的正方体,每个正方体的表面积是多少？这时表面积之和比原先增加多少？6从一个长方体中切出一个最大的正方体问题应当以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长,否就切出的将不是正方体；这样的正方体将是能切出的最大正方体,例如： 在一个长是 4 厘米,宽为 3 厘米,高为 2 厘米的长方体中切出一个最大的正方体,该正方体的棱长和是多少？剩余部分的表面积是多少？分析： 以最短的棱为正方体的棱长,即以高为 2cm 的棱为正方体的棱长,那么正方 体的棱长和为： 2 12=24cm；切去正方体后所剩部分的长为 4-2=2cm,宽为 3-2=1cm
25、,高仍为 2cm,因此所剩部分表 面积为：（2 1+2 2+1 2） 2=16cm 2；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载立体图形的组合（组合只会使表面积削减,因此存在削减最多或最少的问题）长方体 将原先长方体的最大面组合在一起,其表面积比原先削减的最多；将原先长方体的最小面组合在一起,其表面积比原先削减的最少；而且两个组合将削减两个完全相同的面,三个组合削减四个完全相同的面,依次类推；正方体 无论沿那个面组合, 都将削减两个正方形的面, 削减的面积均为2a 2不存在增加最多最少的问题；练习：（1
26、）把三个棱长是 1 厘米的正方体拼成一个长方体,这个长方体的表面积是（）,比原 来 3 个正方体表面积之和削减了（）；）；（2）把三个棱长是 2 分米的正方体拼成一个长方体,表面积是（）,体积是（3）用 27 个体积是 1 立方厘米的小正方体粘合成一个大正方体,粘合后的大正方体的表 面积是（）（4）把三个完全相等的正方体拼成一个长方体,这个长方体的表面积是 350 平方米；这个 正方形的表面积是多少平方米？（5）一个长方体的长 8 厘米,宽 6 厘米,高 5.5 厘米；将两个这样的长方体拼成一个大长 方体,表面积最大是多少？体积是多少？（6）一种长方体积木,长 3 厘米,宽 2.5 厘米,高
27、2 厘米；将两块这样的长方体拼成一个 新的长方体,表面积最小是多少？（7）用 3 个棱长 5 分米的正方体粘合成一个长方体,表面积削减多少平方分米？表面积是 多少平方厘米？（8）有三个大小相等的正方体,将他们拼成长方体,表面积削减 32 平方厘米；求所拼长 方体的表面积；（9）用两个同样的长、宽、高分别为 4 厘米、 3 厘米和 2 厘米的小长方体,拼成一个表面 积最大的长方体,这个大长方体的表面积是多少平方厘米？（10）用两个长 6 厘米,宽 3 厘米,高 1 厘米的长方体一起包装,至少需要包装纸多少？【学问点 5】小正方体拼成的大正方体表面涂漆问题大正方体长、宽、高上有几个小正方体,就将长
28、、宽、高上的正方体数相乘就是大正方体所含小正方体的总数；在顶点位置的小正方体露在外面的面有 3 个；在棱上（不包含顶点位置）的小正方体露在外面的面有 2 个；在面上（不包含棱上）的小正方体露在外面得面有 1 个；用总数 3 个面的 2 个面的 1 个面得 =没有露在外面的小正方体的个 数；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载在该正方体表面涂上漆,有三个面涂上漆的小正方体有 几个？有两个面图上漆的小正方体有几个？有一个面涂上漆的小正方体有几个？没有涂上漆的小正方体有几个？图中,长方体共有（）个小正方体
29、；其中两个面露在外面的小正方体共有（）个；没有露在外面的小正方体共有（）个；）、（）、（）图二中三个图中分别有（小正方体组成； 其次个长方体中有三个面在外面得正方体有（）个,两个面在外面的正方体有（）个,一个面在外面的有（）个,没有露在外面的小正方体（）；（学问点 6）小正方体拼成的大正方体在取走一部分后表面积的变化挖去的小正方体在 顶点位置 ,就大正方体的 表面积不变 ,由于原来在顶点位置小正方体露在外面的面为 3 个,挖去后露出来的面也是3 个,所以表面积不变；挖去的小正方体在 棱的位置 ,就大正方体的 表面积增加 ,由于原来在棱上的小正方体露在外面的面有 2 个,挖去后会露出 4 个面,
30、所以表面积会增大；挖去的小正方体 在面上 ,就大正方体的 表面积也会增加 ,由于原先在面上的小正方体只有 1 个面露在外面,挖去后会露出 5 个面,所以表面积会增大；练习：名师归纳总结 （1）图一是由棱长是2 厘米的小正方体拼成的立体图形,求这个立体图形的表面积；图一图二（2）图二用 12 个小正方体拼成的长方体中,如果拿掉带阴影部分的2 个小正方体,它的表面比原先（）；第 9 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【学问点 7】单位换算长度单位： mm、cm、 dm、m 相邻两个单位进率为 10 面积单位： mm 2、c
31、m 2、dm 2、m 相邻两个单位进率为 100 2 体积单位： mm 3、cm 3、dm 3、m 相邻两个单位进率为 1000 3 容积单位： ml、l 相邻两个单位进率为 1000 3 3 特殊的： 1ml=cm 1l=1dm 1 方=1m3不是同一类型的单位,数据不能比较大小,同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大；大单位化小单位乘以进率,小单位化大单位除以进率；进率 高级单位的数高级单位 低级单位低级单位的数 进率例如： 手指尖约占了 1 立方厘米的空间,即它的体积约为 1 立方厘米；一个粉笔盒的体积约为 1 dm3；建一游泳池,约要挖土 6000 方； 1.36 dm 3 =136
32、0 cm 3 4.573m 3 =4573 dm3一个烧杯约能装水 500ml； 520ml=0.52L 5.67L=5.67 dm 3 =5670cm3练习：13.2 立方分米 =（）立方厘米 500 立方分米 =（）立方米9 立方米 500 立方分米 =（）立方米 =（）立方分米3.6 升=（）毫升 =（）立方厘米1700 平方厘米 =（）平方分米 =（）平方米2.8 立方分米 = 立方厘米 0.8 升= 毫升720 立方分米 = 立方米 51000 毫升= 升32 立方厘米 = 立方分米 4.25 立方米 = 立方分米= 升2 一个水池能装水 400 立方米,这是指（）,占地 2 公顷指
33、的是（）；一块橡皮擦的体积约是 8 ；一本书的封面约是 2 ；运货集装箱的体积约是 40 ；一支钢笔长 18 ；一台录音机的体积约是 20 ；三、长方体和正方体的体积【学问点 1】容积与体积基本概念体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积；一个物体的容积一般都比它的体积小；当容器壁厚度忽视不计时体积=容积；否就体积 容积；（容器壁忽视不计）比如说,一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积；体积运算方法：长方体的体积 =长 宽 高 正方体的体积 =棱长 棱长 棱长长方体和正方体的体积=底面积 高 =右面面积 长 =前面面积 宽体积相等的两个长方体或者一个长方体与一个正方体,
34、表面积不肯定相等,棱长和也不肯定相等；体积相等的两个正方体,表面积肯定相等,棱长和也肯定相等；体积相等的情形下正方体的表面积比长方体的小；表面积相等的情形下正方体的体积比长方体的体积大；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载）练习：（1）表面积是 54 平方厘米的正方体,它的体积是（）立方厘米（2）一个长方体框架长8 厘米,宽 6 厘米,高 4 厘米,做这个框架共要（厘米铁丝, 是求长方体（）,在表面贴上塑料板, 共要（塑料板是求（）,在里面能盛（）升水是 求（）,这个盒子有（）立方米是求（）（3）长
35、方体的长是 6 厘米,宽是 4 厘米,高是 2 厘米,它的棱长总和是（）厘米,六个面中最大的面积是（）平方厘米,表面积是（）平方厘米,体积是（）立方厘米（4）一个正方体棱长 2 厘米,体积是（）立方厘米,假如这个正方体的棱长扩大 2倍,它的体积是（）立方厘米；（5）一个菜窖能容纳 6 立方米白菜,这个菜窖的（）是 6 立方米（6）长方体的长为 12 厘米,高为 8 厘米,阴影部分的两个面的面积和是 200 平方厘米,这个长方体的体积是多少立方厘米？（7）一个长方体的沙坑装满沙子,这个沙坑长 1400 千克,这个沙坑里共装沙子多少吨？3 米,宽 1.5 米,深 2 米,每立方米沙子重（8）一个长
36、方形的底面是一个周长为 16 分米的正方形,它的表面积是 96 平方分米,这个长方体的体积是多少？（9）用一根 12 分米长的铁丝围成一个最大的正方体框架,这个正方体的体积是（）立方分米；（10）一个长方体,其中三个面的面积分别是 这个长方体的体积是多少立方厘米？【学问点 2】体积大小的比较15 平方厘米, 20 平方厘米, 12 平方厘米,对于液体可以直接比较体积的大小,假如液体体积小于容器既可以装得下,假如大于容器体积就装不下；对于固体而言,在体积小于容器体积的前提下,仍需要比较物体的长宽高于容器的长宽高,只有物体的长宽高都小于或等于容器的长宽高时才可以将物体装入容器；例如： 有一个长为
37、8 分米,高位 5 分米,体积为 240 平方分米的硬纸盒,有一件陶瓷长为7.4 分米,高位 4 分米,宽为 6.5 分米,是否可以放入该容器？分析： 单纯运算容器和陶瓷的体积我们可以发觉：陶瓷体积 硬纸盒体积；但这并不意味着瓷器就可以装进盒子；我们仍需要观看陶瓷长宽高于容器长宽高的大小；通过运算硬纸盒的长 =8 分米 宽=240 （ 8 5）=6 分米 高=5分米陶瓷的长 =7.4 分米 宽=6.5 分米 高=4分米由此可以发觉陶瓷的宽比盒子的宽大,所以即使在体积小于盒子的前提下,仍旧是装不进去的；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - -
38、 - - - - - 学习必备 欢迎下载练习：（1）有一个长方形玻璃鱼缸长为 5 分米,宽为 3 分米,高为 3 分米里面装有 2.5 分米高的 水,现在需要将该该鱼缸内的水倒入一个棱长为 3.5 分米的正方体鱼缸中,请问是否可以 装得下这么多水？假如装得下正方体鱼缸内的水有多高？（2）有一个长方体的硬纸盒,长为11 分米,宽为 15 分米,高为 6 分米,现将一个长为12分米,宽为 10 分米,高为 5 分米长方体的礼品放入该盒子中,是否可以装的进去？【学问点 3】切割组合对体积的影响将一个长方体或正方体任意的切割,切开后各部分的体积之和都等于原先长方体的体积；将几个长方体或正方体随机的组合
39、,组合起来后的立体图形的体积都等于原先各部分的体积之和；也即切割和组合不会转变原先各部分的体积,只是各部分体积的相加；例如： 将一块体积为 30 立方米的石头,切割成相同大小的石块刚好可以切出 10 块,每块 石头的体积是多少？分析： 依据切出的每块石头大小相同,可以知道每块石头的体积是相等的,而大石头的体 30 10=3（立方米）积 30 立方米,一共贴出 10 块,所以每块石头的体积为：练习：（1）将棱长为 5 厘米的 20 块小正方体拼成一个长方体,其体积最大是多少？表面积最大 是多少？依据切割组合对表面的影响来确定体积的变化 例如： 把一个正方体木块截成两个相同的长方体后,表面积增加了
40、 32 平方分米,原先正方 体的表面积是（ 96）平方分米,体积是（ 64）立方分米；分析： 依据正方体无论怎么切其都将增加两个完全相同的正方形面,而且每个面的大小都等于原先正方体一个面的面积；因此,正方体一个面的面积为 正方体的表面积为 16 6=96（平方分米）,32 2=16（平方分米）,原先依据原先正方体一个面的面积 =棱长 棱长 =棱长的平方 =16,可知 4 的平方 =16 所以原先正方体的棱长为 4 分米,所以,原先正方体的体积为 4 4 4=64（立方分米）练习：（1）一个长方体,假如高增加 3 厘米,就成为一个正方体；这时表面积比原先增加了 96平方厘米；原先的长方体的体积是
41、多少立方厘米？（2）一个长方体,把它的高增加 3 厘米,它就变成一个正方体,并且表面积比原先增加了120 平方厘米,求原先的体积是多少？（3）一个长方体,把它的高削减厘米,它就变成一个正方体,并且表面积比原先削减了200 平方厘米,求原先的体积是多少？（4）一个长方体正好可以分成三个完全一样的正方体,假如切割下一个正方体,剩下的表面积比原先少了 80 平方厘米,求原先长方体的表面积是多少？（5）一个棱长为分米的正方体木块切割成棱长是厘米的小正方体,把切成的全部正方体紧挨着排成一排,可以排多少米？名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - -
42、- - - - 学习必备欢迎下载3 分米的正（6）一块长 1.2 米, 宽 6 分米, 厚 3 分米的长方体木块 , 可以截出多少块棱长为 方体？（7）一段围墙长为 15 米,宽为 38 厘米,高为 2.2 米,砌这样的墙每平米大约需要 385 块砖,修这段围墙一共需要多少块砖？（8）一块钢材体积为 2.7 立方米,现在将其融解后重新铸成长为 1 米,底面积为 225 平方厘米的钢锭,一共可以铸多少块？【学问点 5】填土抬高地面类问题例如： 如图,已知 A部分面积为 25 平方米, B部分面积为 36 平方米, A处比 B处高 2 米,假如将 A 处推到与 B 处同样高, B处大约可以被抬高多少米？A 处大约下降多少米？ A 分析：要使 A、B 两处地面高度相等, 就相当于将 A 处部分体积分摊 B 至 AB 两处,但分摊前后 A 部分体积并没有转变只是占地面积由原先A 处面积变为 AB 两处的面积；A 部分体积 =25 2=50 立方米；分摊到 AB 两处后体积不变仍为 50平方米 =AB 处面积和B 处抬高的高度,因此 50=（25+36） H 解得 H0.82 米,所以 B 处可以被抬高大约 练习：（1）一支修路队用 90 立方米的石子铺一段路,路宽为0.82 米, A 处大约下降 20.82=1.18