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1、五年级下册数学第三单元知识点易错点汇总一、长方体和正方体的认识【知识点1】 要素立体图形棱面顶点数量特征数量特征数量特征长方体12互相平行的棱长度相等6相对的面完全相同8同一个顶点引出的三条棱分别叫做长、宽、高特殊长方体12垂直于正方形面的棱长度相等6两个面是正方形，其余四个面是完全相同的长方形8正方体12所有的棱长度都相等6所有面都是正方形且完全相同8一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有6各面是正方形，但不会存在3个、4个、5个面是正方形！【知识点2】棱长和公式：长方体棱长和=（长+宽+高）4 长+宽+高=棱长和4 长方体棱长和=下面周长2+高4 长方体棱长和=右面周长2+长4 长
2、方体棱长和=前面周长2+宽4 正方体棱长和=棱长12 棱长=棱长和12棱长和的变形：例如：有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带？3020cm20cm 分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的， 因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。 前面和后面的彩带长度=高的长度；左面和右面的彩带长度=高的长度； 上面和下面的彩带长度=长的长度。 需要彩带的长度=高4+长2+打结部分长度 204+302+10=150cm【知识点3】确定长方体中每个面的形状以及长、宽、高分别是多少。长方体一共有（ ）个面
3、，（ ）面完全相同，如：前面和（ ）完全相同，（ ）和（ ）完全相同，（ ）和（ ）完全相同。根据习惯我们一般认为在一个平面中水平方向的为长，垂直方向的为高。根据这一习惯我们我们只需找到需要的面并根据习惯确定长和宽即可。【知识点4】折叠可以组合成正方体:经过折叠可以组合成长方体：练习：下列三个图形中，能拼成正方体的是（ ） 【知识点5】长方体或正方体的切割组合对棱长的影响（1）切割将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条长和4条宽；（棱长增加的最长）将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条宽和4条高；（棱长增加的最短）将正方体沿无论沿那个方向切割
4、成两个长方体后，棱长将比原来增加4条棱。（2） 组合将两个完全相同的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条宽；（棱长减少的最多）将两个完全相同的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条高；将两个完全相同的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条宽和4条高；（棱长减少的最少）将两个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时减少8条棱；一次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来三个正方体时减少16条棱，四个组合减少24条棱，五个组合减少32条（公式：8（N1）例如：将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为14
5、0厘米，原来每个正方体的棱长和是多少？分析：五个正方体棱长共有125=60条； 将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少32条，还剩60-32=28条； 即这28条棱的长度和即为新长方体的棱长和，所以正方体一条棱的长度为：14028=5cm； 所以一个正方体的棱长和为：512=60cm。【知识点6】小正方体拼大正方体的规律由于正方体，每条棱的长度相等，所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是相等的，因此要拼出最小的正方体至少需要222=23=8个（也就是说每条棱上放2个小正方体），接着再往大了拼正方体，就是每条棱上放3个小正方体即333=33=27个，依次类推接下来是4
6、44=43=64个；555=53=125个 从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。这就要求我们能够熟记一些数的立方：23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 103=1000 小正方体拼大长方体的规律规律同正方体，首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的a倍，宽是小正方体棱长的b倍，高是小正方体棱长的c倍，则，大长方体就是由abc个小正方体组成的。二、 长方体和正方体的表面积【知识点1】 长方体表面积=（长宽+长高+宽高）2 =（ab+ac+bc）2
7、 =（前面面积+上面面积+右面面积）2正方体表面积=棱长棱长6=aa6=6a2 =任意一个面的面积6前面面积=后面面积；左面面积=右面面积；上面面积=下面面积 两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体，表面积不一定相等！表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体，棱长和也不一定相等！ 【知识点3】棱长变化对表面积的影响： 正方体正方体的棱长扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；正方体的棱长扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。 长方体长方体的长宽高同时扩大2倍，其
8、棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；长方体的长宽高同时扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；长方体的长宽高同时扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化也无规律，体积扩大abc倍。长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大ab倍 。长方体的宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大bc倍 。长方体的长扩大a倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大ac倍 。【知识点4】n 立体图形的切割：
9、（切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题） 长方体沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推。 正方体无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，增加的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。n 从一个长方体中切出一个最大的正方体问题应该以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长，这样的正方体将是能切出的最大正方体，否则切出的将不是正方体。例如：在一个长是4厘米，宽为3厘米，高为2厘米的长方体中切出一个最大的正方体，该正方体的
10、棱长和是多少？剩余部分的表面积是多少？ 分析：以最短的棱为正方体的棱长，即以高为2cm的棱为正方体的棱长，那么正方体的棱长和为：212=24cm。切去正方体后所剩部分的长为4-2=2cm，宽为3-2=1cm，高仍为2cm，因此所剩部分表面积为：（21+22+12）2=16cm2。n 立体图形的组合（组合只会使表面积减少，因此存在减少最多或最少的问题） 长方体将原来长方体的最大面组合在一起，其表面积比原来减少的最多。将原来长方体的最小面组合在一起，其表面积比原来减少的最少。而且两个组合将减少两个完全相同的面，三个组合减少四个完全相同的面，依次类推。 正方体无论沿那个面组合，都将减少两个正方形的面
11、，减少的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。【知识点5】小正方体拼成的大正方体表面涂漆问题大正方体长、宽、高上有几个小正方体，则将长、宽、高上的正方体数相乘就是大正方体所含小正方体的总数；在顶点位置的小正方体露在外面的面有3个；在棱上（不包含顶点位置）的小正方体露在外面的面有2个；在面上（不包含棱上）的小正方体露在外面得面有1个；用总数3个面的2个面的1个面得=没有露在外面的小正方体的个数。【知识点7】单位换算长度单位：mm、cm、dm、m 相邻两个单位进率为10面积单位：mm2、cm2、dm2、m2 相邻两个单位进率为100体积单位：mm3、cm3、dm3、m3 相邻两个单位进率为100
12、0容积单位：ml、l 相邻两个单位进率为1000特别的：1ml=cm3 1l=1dm3 1方=1m不是同一类型的单位，数据不能比较大小，同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大。大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率。高级单位进率高级单位的数低级单位低级单位的数进率三、长方体和正方体的体积【知识点1】容积与体积基本概念体积是指所占空间的大小；容积是指所容纳物体的体积；一个物体的容积一般都比它的体积小。当容器壁厚度忽略不计时体积=容积；否则体积容积。比如说，一个洗发液的瓶子里面所能装下的洗发液的体积就是它的容积。（容器壁忽略不计）体积计算方法：长方体的体积=长宽高正方体的体积=棱长棱长棱
13、长长方体和正方体的体积=底面积高=右面面积长=前面面积宽体积相等的两个长方体或者一个长方体与一个正方体，表面积不一定相等，棱长和也不一定相等。体积相等的两个正方体，表面积一定相等，棱长和也一定相等。体积相等的情况下正方体的表面积比长方体的小；表面积相等的情况下正方体的体积比长方体的体积大。四、容积与体积的异同【知识点1】容积和体积的差异相同点不同点容积计算公式相同V=shV=abh从容器内部测量容积指容器内部体积计量单位通常为L、ml体积从容器外部测量体积指容器外部体积，或所容纳物体的体积计量单位通常为m、dm、cm、mm【知识点2】也就是说容积体积容积和体积的大小关系一般情况下视为容积等于体积，其前提条件是容器壁厚度忽略不计。在考虑容器壁厚度的情况下，容积是比体积小的。